北师版八年级数学下册期末复习 专题03 图形的平移与旋转(期末复习知识清单)

这是一份北师版八年级数学下册期末复习 专题03 图形的平移与旋转(期末复习知识清单)，共10页。学案主要包含了图形的平移，图形的旋转，中心对称与中心对称图形，简单的图案设计，核心易错点与注意事项，思想方法总结等内容，欢迎下载使用。

一、图形的平移
1、平移的定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
二要素：平移方向和距离（缺一不可）
关键特征：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向，平移前后两图形全等
2、平移的性质：
对应线段平行（或在同一直线上）且相等
对应角相等
对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，这些线段的长度等于平移距离
平移前后的图形全等
3、平移作图步骤：
确定要素：明确平移的方向和距离
找关键点：选择图形的顶点、端点等关键位置的点
作对应点：按平移方向和距离，画出每个关键点的对应点
连线成形：按原图形的顺序连接各对应点，得到平移后的图形
4、坐标系中的平移规律：
点(x,y)的平移：
图形平移：图形上所有点按相同规律平移，整体坐标发生相应变化
二、图形的旋转
1、旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
三要素：旋转中心（定点）、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（转动的度数）
关键特征：旋转只改变图形的位置和方向，不改变图形的形状和大小，旋转前后两图形全等
2、旋转的性质：
对应线段相等，对应角相等
对应点到旋转中心的距离相等
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
旋转前后的图形全等

3、旋转作图步骤：
确定要素：明确旋转中心、旋转方向和旋转角度
找关键点：选择图形的顶点、端点等关键位置的点
作对应点：
连接关键点与旋转中心，形成线段
按旋转方向和角度，画出该线段的对应线段
线段端点即为对应点
连线成形：按原图形的顺序连接各对应点，得到旋转后的图形
4、坐标系中的旋转规律（以原点为旋转中心）:
点(x,y)的旋转：
三、中心对称与中心对称图形
1、中心对称定义：
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，对应点叫做关于中心的对称点。
2、中心对称性质：
中心对称的两个图形全等
对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
对应线段平行（或在同一直线上）且相等
3、中心对称图形定义：
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
4、常见中心对称图形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、线段等。
5、中心对称与中心对称图形的区别与联系：
四、简单的图案设计
1、图案设计的基本方法：
平移变换：通过重复平移基本图形形成图案
旋转变换：通过重复旋转基本图形形成图案
中心对称变换：通过中心对称形成图案
组合变换：综合运用平移、旋转、轴对称等多种变换设计图案
2、图案设计步骤：
确定主题：明确图案表达的内容或用途
选择基本图形：选择简单、易变形的图形作为基础
确定变换方式：选择平移、旋转、中心对称等变换
绘制图案：按变换规律重复基本图形，形成完整图案
调整优化：对图案进行修饰，使其更美观、协调
五、核心易错点与注意事项
.
六、思想方法总结
变换思想：通过平移、旋转等变换，将复杂图形转化为简单图形，化难为易
对应思想：抓住图形变换中的对应点、对应线段、对应角，建立数量关系
坐标思想：利用坐标系研究图形变换，将几何问题转化为代数问题
对称思想：利用中心对称的性质，解决图形全等、线段相等、角度相等等问题
应用思想：运用平移、旋转知识解决实际问题，如图案设计、最短路径问题等
题型一 利用平移的性质求解
1．如图，在直角三角形中，，，，，将三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，连接．有下列结论：①三角形是直角三角形；②；③；④四边形的周长是15；⑤三角形的面积是6．其中正确的结论有（ ）
A．①②④B．②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根据平移的性质得到相关结论，逐项判断即可．
【详解】解：①由平移可知，，
∴三角形是直角三角形，故①正确；
②由平移可知，，故②正确；
③由平移可知，，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④∵三角形沿直线平移1.5个单位得到三角形，
∴，，
∴四边形的周长，故④正确；
⑤由平移可知，，，，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有①②③④⑤．
2．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可．
【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作，
由平移得到，
，
，，
，
①当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴，
②当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴，
第二种情况：当点在外时，过点C作，
由平移得到，
，
，，
，
①当时，
设，则，
∵，
，，
，
，
解得：，
∴，
②当时，由图可知，，故不存在这种情况，
综上所述，或或，
∴不可能的值为．
3．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键．
【详解】解：由平移的性质知，，，
，
由平移可知，，
．
4．如图，若将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，则阴影部分的面积为_______．
【答案】24
【分析】根据平移的性质可得阴影部分的长，宽，即可求解．
【详解】解：由平移可得，，，
∴，，
∴．
题型二 利用平移解决实际问题
5．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
(1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为 平方米；
(2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为 平方米；
(3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为 米．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积；
（2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积；
（3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长．
【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合，
则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形，
∴草地的面积为(平方米)．
（2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形，
∴草地的面积为(平方米)．
（3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米；
将路线的纵向部分平移，总长度为(米)；
∴所走路线的长度为(米)．
6．有一个长方形花圃，为方便行人观赏，在其间修了一条宽2米的人行道路（如图）．花圃长50米，宽30米．那么，种花的面积是（ ）平方米
A．1440B．1400C．1344D．1200
【答案】C
【分析】利用平移的思想，把人行道路靠边集中放置，计算处理后图形的长与宽，然后可得面积．
【详解】解：将人行道路横向和纵向分别平移到长方形花圃的边上，
可得种花部分为长米，宽米的长方形，
所以种花的面积是平方米．
7．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为____．
【答案】44
【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用平移的性质求出空白部分长方形的长，宽即可解决问题．
【详解】解：由题意，空白部分是长方形，长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
故答案为：44．
8．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为．则
（1）用含，的式子表示正方形的边长为_____，
（2）图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为_____．
【答案】
【分析】本题考查了整式加减的应用，以及平移的性质，解题的关键在于灵活运用相关知识．
（1）结合图形先推出正方形的边长，进而推出正方形的边长，即可解题；
（2）结合图1中的长方形周长为，推出，利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，再分别求出正方形的周长，阴影部分的周长，即可解题．
【详解】解：（1）正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长为，
故答案为：；
（2）图1中的长方形周长为，
，
整理得，
利用平移的性质可知，阴影部分的周长可化为长方形的周长，
图2的长方形周长为，
正方形的周长为，阴影部分的周长为，
图2中阴影部分的周长与正方形的周长之比为，
故答案为：．
题型三 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
9．在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，正好落在轴上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律及y轴上点的坐标特征．
先根据平移规律得到平移后点的坐标，再结合y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，
∴平移后点的坐标为，
∵平移后的点落在轴上，且轴上的点横坐标为0，
∴，
解得：．
故选：B．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若将点向下平移6个单位得到点，此时，两点关于轴对称，求点的坐标．
(2)若点在第二象限，且点到轴和轴的距离之和为6，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了坐标的平移，关于轴对称的点的坐标特点，点到对称轴的距离，平面直角坐标系中点的坐标特征．
（1）根据点的平移规律求出点的坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特点列方程求解即可；
（2）根据点在第二象限得到点到轴和轴的距离，进而列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵将点向下平移6个单位得到点，
∴点的坐标为，
∵，两点关于轴对称，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（2）解：∵点在第二象限，
∴点到轴的距离为，到轴的距离为，
∵点到轴和轴的距离之和为6，
∴，
解得：．
11．已知点，解答下列问题：
(1)若点到轴和轴的距离相等，求的值．
(2)若点向上平移6个单位后，所得的点与点关于轴对称，求的值．
【答案】(1)或；
(2)．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．
（1）根据点到轴和轴的距离相等列绝对值方程求解即可；
（2）求出平移后的点的坐标，根据“关于轴对称”列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点到轴和轴的距离相等，
∴，
即，
∴，
解得：或；
（2）解：点向上平移6个单位后得到即，
∵所得的点与点关于轴对称，
∴，
即，
解得：．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线是函数的图象，点在第二象限．
(1)若点关于轴的对称点恰好在直线上，求的值．
(2)在（1）的条件下，若点向下平移个单位后落在直线上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数的性质以及点的轴对称和平移，熟练掌握点坐标的轴对称特性，坐标平移特性，是解题的关键．
（1）先求出关于y轴的对称点B的坐标，代入解析式即可求出m的值；
（2）点向下平移个单位得到，代入解析式，即可求出n的值．
【详解】（1）解：点与点关于轴对称，
点的坐标为，
点在直线上，
（2）解：点向下平移个单位得到，
点在直线上，
，
．
故的值为4．
题型四 期末题型四、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
13．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出与关于轴对称的图形；
(2)已知点，且轴，点P平移得到点．若点与C关于y轴对称，请写出点的坐标并描述点P沿两个坐标轴方向如何平移得到点．
【答案】(1)见解析
(2)，点P沿轴方向向左平移1个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度得到点．
【分析】本题考查了画轴对称，点坐标平移的规律，熟练掌握轴对称的性质及点坐标平移的规律是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作出；
（2）根据轴，可得点的纵坐标为，即，再根据点与C关于y轴对称，得到，由点坐标平移的规律即可求解．
【详解】（1）解：如图所示为所求：
（2）解：∵轴，，
∴点的纵坐标为，即，
∴，
∵点与C关于y轴对称，，
∴，
∵，
∴点P沿轴方向向左平移1个单位长度，再沿轴方向向下平移3个单位长度得到点．
14．已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为．
(1)求点的坐标．
(2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键．
（1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标；
（2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∵点A的坐标为，
∴点C的坐标为，即；
（2）解：设点的坐标为，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或．
15．如图，的三个顶点坐标分别为，，，与关于直线（直线上各点的横坐标都为）成轴对称．
(1)在图中画出与关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
(2)可以看作是向右平移得到的，平移的距离为______个单位长度．
【答案】(1)见解析，
(2)8
【分析】本题考查了轴对称变换和平移变换，坐标与图形．
（1）分别作出点关于轴对称的，再顺次连接即可，即可写出点的坐标；
（2）由点和对应点即可确定平移方式．
【详解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：由图可得，，而，
∴点向右平移8个单位即可得到，
∴可以看作是向右平移得到的，平移的距离为8个单位长度，
故答案为：8．
16．在平面直角坐标系中，点，点，且，．将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D．
(1)当，且点C正好落在原点O时，判断线段平移的方向和距离；
(2)已知点，，连接，．
①点P在直线上，连接，，请用代数式表示三角形的面积；
②以B，C为顶点向下画一个正方形．已知点，，且线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．当x取什么值时m最大，并求出m的最大值（用含代数式表示）．
【答案】(1)线段向右平移2个单位长度
(2)①；②当时m最大，m的最大值为
【分析】本题考查直角坐标系中点的平移；
（1）根据题意可得平移后对应点为，即可得到线段平移的方向和距离；
（2）①根据平移可得平移到与平移到的左右距离和上下距离相等，据此列方程，即可解得，得到，，，，则轴，轴，，，根据平行线间距离相等可得，代入计算即可；
②由向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到，结合图形可得当在上时m最大，得到，再根据求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别为点C，D，且点C正好落在原点O，即平移后对应点为，
∴线段向右平移2个单位长度；
（2）解：①∵将线段平移得到线段，点，点的对应点分别为点，，
∴平移到与平移到的左右距离和上下距离相等；
∴，
解得，
∴，，，，
∴轴，轴，，，
∵，，
∴各点位置，大致如图：
∴，
∴；
②∵，，
∴向右平移2个单位长度，再向上平移两个单位长度得到，
∵线段上的所有点（含端点）都在正方形的边上或内部．
∴，
由图可以发现，当在上时m最大（纵坐标大），
∴，
解得，
∴当时，最大，m的最大值为．
题型五 判断由一个图形旋转而成的图案
17．陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图是一个陶瓷花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个陶瓷花瓶表面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项．通过丰富的空间想象力类比选项中各图形绕对应的直线旋转一周所得几何体的形状即可得到答案．
【详解】解：观察四个选项中的图形可知，只有A选项中的图形绕直线旋转一周后的几何体与题干的陶瓷花瓶外表最为相似，
故选：A．
18．杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可．
【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
B．由图形对称而得出，故本选项符合题意；
C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；
故选：B．
19．综合性学习小组设计了四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判断，该轨迹对应的车轮是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形中心的运动轨迹问题，正确理解图形中心的变化规律是解题的关键．根据车轮中心在运动过程中中心位置的变化情况判断即可．
【详解】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每循环一次，五边形中心的变化每循环一次，六边形中心的变化每循环一次，
用量角器量得图2中一个弧所对的圆心角为，
所以，该轨迹对应的车轮为正方形的．
故选：B．
20．电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ）

A．轴对称，平移，旋转B．旋转，轴对称，平移
C．轴对称，旋转，平移D．平移，旋转，轴对称
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得．
【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转，
故选：A．
题型六 求旋转中心的个数
21．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
【答案】C
【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；
分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解．
【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形；
以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形；
以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
22．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【详解】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
23．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
题型七 旋转中的规律性问题
24．李华利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕点O逆时针旋转（）至，此次旋转称为第1次旋转，然后进行第2次旋转：将绕点O逆时针转动至，…，那么按照这种旋转方式，旋转第2026次后，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可．
【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至，，，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
∵绕原点O逆时针转动至，
∴，
即点与点A重合，
∴点A每旋转4次为一个循环，
∵，
∴在转动2026次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为．
25．如图，长方形的长为4，宽为1，其一条长边在数轴上，左端点表示的数为．将长方形沿数轴向右作无滑动的连续翻滚，每次翻滚，经过99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为（ ）
A．250B．249C．248D．247
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质、数字类规律，熟练找准规律是解题的关键．
根据题意，发现规律第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，令，解出的值，再代入计算即可．
【详解】解：由题知，
第1次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为4，
第2次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为8，
第3次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为9，
第4次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为13，
第5次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为14，
第6次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为18，
依此类推，
所以第次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为，
当，即时，
，
即第99次翻滚后，落在数轴上的边其右端点表示的数为249，
故选：B．
26．如图，在Rt中，，且在直线上，将绕点A顺时针旋转到位置①，可得点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得点，将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得点，按此规律继续旋转，得到点为止，则的长度为__________．
【答案】8105
【分析】观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2026除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，，
∴将绕点顺时针旋转到位置①时，，
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②时，，
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③时，，
……，
以此类推可知，每旋转3次为一个循环组，每一个循环长度增加12，
∵，
∴ ．
27．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得出点坐标变化规律．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，,
∴,
∴,
将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且,
∴,
,
依此规律，
∴每4次循环一周，...
总结规律得：横纵坐标的绝对值是，
∵，
∴与在同一象限，即第三象限，
∴点．
题型八 旋转中的规律性问题
28．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为．
【详解】解：由图可得，初始点的坐标为，
绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标：
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：；
第次旋转后：，回到初始坐标，
∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为，
∴，余数为，
说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为．
29．如图，在中，点B的坐标为，点A的坐标为．
(1)将先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到，画出，点的坐标是______；
(2)将绕点O逆时针旋转后得到，画出，点的坐标是______；
(3)第（2）问中的的面积是______．
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析，
(3)6
【分析】（1）根据平移的坐标变化规律（横坐标左减右加、纵坐标上加下减），对点、的坐标进行计算，确定平移后点的坐标，再画出平移后的三角形．
（2）根据绕原点逆时针旋转的坐标变化规律，计算点旋转后点的坐标，再画出旋转后的三角形．
（3）利用三角形面积公式计算旋转后三角形的面积．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是．
（2）解：如图，即为所求，点的坐标是．
（3）解：的面积．
30．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将先向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出平移后的；（点A、B、C的对应点分别为点）
(2)画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点）
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，△即为所求．
（2）解：如图，△即为所求．
．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，B．
(1)画出将向下平移5个单位得
(2)请画出，使与关于原点中心对称
(3)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别关于原点中心对称得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）将三个顶点分别绕原点逆时针旋转后得到其对应点，再首尾顺次连接即可得．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
题型九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
32．如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质可求出，，，过作轴于C，则，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解.
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∵按顺时针方向旋转，得到，
∴，，
过作轴于C，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标是.
33．将绕原点旋转，再向右平移个单位长度得到点坐标为______．
【答案】
【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可．
【详解】解：∵将绕原点旋转，
∴旋转后的坐标为，
∴向右平移个单位长度得到点坐标为．
34．在平面直角坐标系中，，，点是线段的中点，若将线段绕着原点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为___________．
【答案】
【分析】先根据中点坐标公式求出点的坐标，再将点绕原点逆时针旋转，利用旋转的性质结合勾股定理计算对应点坐标即可．
【详解】解：，，点是线段的中点，
，即，轴，
轴，
如图，设与轴的交点为，连接，则，
是等腰直角三角形，，，
将线段绕着原点逆时针旋转，，此时旋转至位置，
在轴上，
，即点的对应点的坐标为．
35．如图，在平面直角坐标系内，点是坐标原点，点的坐标如图所示，
(1)求直线的函数表达式；
(2)将直线绕着点逆时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式；
(3)将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，求直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点A作轴于点E，过点作轴于点F，证明，得到，则；再利用待定系数法求解即可；
（3）取点，连接，可证明，，则可证明，根据题意可得射线在射线右侧，且，则三点共线，据此利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如图所示，过点A作轴于点E，过点作轴于点F，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：如图所示，取点，连接，
∴，，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵将直线绕着点顺时针旋转后得到直线，
∴射线在射线右侧，且，
∴三点共线；
设直线的函数表达式为，
∴，
∴，
∴直线的函数表达式为．
题型十 中心对称图形的识别
36．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
37．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形 ，然后根据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A选项，图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B选项，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C选项，图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项，图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
38．随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意．
39．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
题型十一 求关于原点对称的点的坐标
40．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数；
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是．
41．点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”这一性质即可求解。
【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点对称的点的坐标为 ．
42．如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边与坐标轴重合，．将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标是_____．
【答案】
【分析】根据长方形的性质求出点B初始位置的坐标，再根据题意可得每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，求出2026除以4的余数为2，则第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，据此可得答案．
【详解】解：旋转前，∵四边形是长方形，
∴，
又∵，
∴，
∵将长方形绕点逆时针旋转，每次旋转，且，
∴每4次旋转为一个循环，点B都会回到初始位置，
∵，
∴第2026次旋转结束时点B的位置与第2次旋转结束时点B的位置相同，
∴第2026次旋转结束时点B的位置即为点绕原点逆时针旋转后的位置，
∴此时点B的坐标为．
43．在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据中心对称的性质，两个图形关于原点成中心对称时，对应点也关于原点成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】解：四边形与四边形关于原点成中心对称，
点与点关于原点成中心对称．
关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数．
点的坐标为，
点的坐标为．
题型一 已知平移后的坐标求原坐标
易错：平移加减方向颠倒；原因：逆向平移不会反向运算，混淆左右、上下坐标变化规律。
1．在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论．
【详解】解：将点向上平移个单位得到点，
，
点在第四象限，
故选：．
【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，．
(1)将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到，请写出点的坐标；（不必画图）
(2)将绕坐标原点旋转得到，请用没有刻度的直尺和圆规画出，并写出点的坐标．（不写画法，保留作图痕迹）
【答案】(1)
(2)图见解析，
【分析】本题考查作图旋转变换、作图平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质可得出答案．
（2）以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，连接，，即可，根据中心对称的性质可得点的坐标．
【详解】（1）解：由题意得，点的坐标为，即．
（2）解：如图，
以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，
以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，
以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，
连接，，，则△即为所求，
由题意得，点的坐标为．
3．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：点的“第类变换”：将点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；点的“第类变换”：将点向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
(1)①已知点，对点进行1次“第类变换”后得到的点的坐标是________；
②点为平面内一点，若对点进行1次“第类变换”后得到点，则点的坐标是________．
(2)已知点，若对点连续进行5次“第类变换”，再连续进行4次“第类变换”后得到点，求点的坐标（用表示）．
(3)点的坐标，对点进行“第类变换”和“第类变换”共计20次后得到点，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上？如果存在，请求出此时点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)不存在，见解析
【分析】本题考查点的平移，解二元一次方程组，熟练掌握平移规则，是解题的关键：
（1）①根据平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可；②根据平移规则逆推即可；
（2）根据平移规则进行求解即可；
（3）设点经过次“第类变换”，经过次“第类变换”，根据题意，列出方程组进行求解即可．
【详解】（1）解：①点向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，即；
②∵对点进行1次“第类变换”后得到点，
∴将向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点，
∴，即：；
（2）对点连续进行5次“第类变换”后，得到的点的坐标是，化简得，
再进行4次“第类变换”后，得到的点的坐标是，
；
（3）不存在，理由如下：
，
设点经过次“第类变换”，经过次“第类变换”，
得到点的坐标为，
点恰好在轴上，
解得，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
4．【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点（其中，），点为平面内一点，现给出如下定义：将点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，点关于直线的对称点为、那么我们称点为点关于点的“平对点”．
【迁移运用】
在平面直角坐标系中，已知点（其中，），点为平面内一点，点为点关于点的“平对点”，完成下列各题：
(1)当，时，
ⅰ）如图，若点的坐标为，请在图中画出点；
ⅱ）如图，若点的坐标为，连接，求的长；
(2)当点在直线左侧时，连接，，若直线与直线相交所形成的锐角为，求线段的长的最小值（用含，的代数式表示）．
【答案】(1)ⅰ）作图见详解；ⅱ）的长为；
(2)．
【分析】（1）ⅰ）根据“平对点”的概念，先确定，再确定，点关于的对称，即可求出点的位置；ⅱ）由ⅰ）可知点的坐标，若点的坐标为，由此即可求解；
（2）如图，过M作x轴的平行线，交过且平行y轴的线于B，交过Q且平行y轴的线于C，连接，与交于A，设，则，设直线解析式为，求出：，得，由题意可知，求出从而得到，当的长的有最小值时，
，证得到求出即可．
【详解】（1）解：ⅰ）∵，，
∴．
将点向右移动个单位长度为，再向上移动个单位长度为，
∴，
∴点关于的对称点，如图所示；
ⅱ）将点向右移动个单位长度为，再向上移动个单位长度为，
∴．
如图，连接，．
设直线的解析式为，
∴，
∴直线的解析式为．
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∴．
∵点和点关于的对称，
∴，平分，
设与交于点，过点作轴于点G，于点，如图所示，
则，
∴，
设的坐标为，
则，
解得：，
∴
∴
∴，．
∵，
∴；
（2）解：如图，设与交于点，过作x轴的平行线，交过且平行y轴的线于B，交过Q且平行y轴的线于C，连接，与交于A，
设，则，
设直线解析式为
则
解得：，
由题意可知：
，，，
当时，
,
当的长的有最小值时
在与中
，
故的长的最小值为
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的变换规律，掌握直角坐标系中点坐标的平移性质，对称性质是解题的关键．
题型二 平移综合题（几何变换）
易错：平移距离、对应线段找错，坐标变换符号混用；原因：分不清平移方向，不会结合图形与坐标转化。
5．如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形．
(1)直接写出点C和点D的坐标；
(2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可．
（3）根据列式解答即可．
本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．
∴即，即，
故，．
（2）解：设点E的坐标为由题意，得，，．
∵．
∴
∴，
解得．
∴，
解得．
∴点E的坐标是．
（3）解：∵
∴
∴
则点P的坐标是或．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)； ；
(2)点在上运动时，，点P在上运动时，
(3)存在，或.
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标；
（2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答；
（3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，
7．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，

(1)将向右平移格，再向下平移格，得到，在方格纸中画出．内有一点，则平移后它的对应点的坐标是______．
(2)求三角形的面积；
(3)在轴上是否存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)三角形的面积为
(3)存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍，且点的坐标为或
【分析】（1）根据平移的性质，左移横轴减，右横轴加，上移纵轴加，下移纵轴减，由此即可求解；
（2）运用割补法即可求解；
（3）在轴上取一点，用含的式子表示，由（2）可知，根据，由此即可求解．
【详解】（1）解：将向右平移格，是在横轴上平移；再向下平移格，是在纵轴上平移，
∴图像平移后如下图示，

∴是所求图形，
根据平移的规律，内有一点，平移后它的对应点的坐标是，
故答案为：．
（2）解：如图所示，
，，，，
∴，即，
∴三角形的面积为．
（3）解：如图所示，在轴上取一点，已知，，，

∴，点到的距离为，则，
由（2）可知，
∴，
∴，
当时，，即点的坐标为；
当时，，即点的坐标为；
综上所述，存在点，使三角形的面积等于三角形的面积的倍，且点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形的平移规律，不规则几何图形面积计算方法等知识是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现将线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，连接，．
(1)如图1，求点，的坐标及四边形的面积；
(2)如图1，在轴上是否存在点，连接，，使？若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)如图2，点为与轴交点，在直线上是否存在点，连接，使？若存在这样的点，直接写出点的坐标；若不存在，试说明理由；
【答案】(1)12；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根据平移的性质求出点，的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形的面积；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据直线上点的坐标特征设出点的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）∵点，的坐标分别为，，线段先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段，
∴点的坐标为，点的坐标为，，
∴四边形的面积；
（2）存在，
设点的坐标为，
由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为或；
（3）设点的坐标为，
则，
由题意得：，
解得：或，
则点的坐标为或．
【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征，根据平移变换的性质求出点，的坐标是解题的关键．
题型三 根据旋转的性质说明线段或角相等
易错：找错旋转对应边角，误用旋转角；原因：分不清旋转前后对应元素，旋转性质理解不到位。
9．按要求解答下列问题：
(1)【问题初探】
在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：．
①如图2，小辉同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M．
②如图3，小光同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
(2)【类比分析】
李老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，李老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，点D，E在边上，，连接，点F在边上，连接，且．求证：．
(3)【学以致用】
如图5，在中，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积．
【答案】(1)答案不唯一，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①选择小辉同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小光同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论；
（2）过作于，过作于，证明，得到，；再证明，即可得出结论；
（3）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，，根据含角直角三角形的性质得到的长， 再根据勾股定理算出，即可求出面积．
【详解】（1）解：选择小辉同学的解题思路．
证明：如图2，过作交的延长线于，
，
，
，，
．
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
，，，
，
，．
，
，
，
，
，
，
．
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
选择小光同学的解题思路．
证明：如图3，在上截取，连接．
，
，
．
，
，即．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，
；
（2）证明：如图4，过作于，过作于．
，，
，
，，，
，
，．
，，，
，，
，
．
在和中，
，
，
．
，，
，
，，
，
，即，
；
（3）解：如图5，在边上截取，连接，过作于，
由题意得，，．
，
．
，，
∴，
，
在和中，
，，，
，
．
，，
，
，
，
．
又，
，，
．
，，
，
根据勾股定理得，，
．
10．如图，经过旋转后得到．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______；
（2）点的对应点是点______；
（3）线段的对应线段是______；的对应角是______．
【答案】 C （或） D 线段
【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等．
【详解】解：（1）∵经过旋转后得到，
∴旋转中心是点C，旋转角是（或）；
（2）点的对应点是点D；
（3）线段的对应线段是线段；的对应角是．
11．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证；
（2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，
∴，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴的度数为．
12．如图①，是等边三角形，点D在的内部，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转，得到线段，连接．
(1)判断线段与的数量关系并给出证明；
(2)如图②，延长交直线于点F．当点F与点B重合时，证明： ．
【答案】(1)，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可得出结论；
（2）借助（1）的结论，利用线段的和差证明．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
∵是由绕点A逆时针旋转得到的，
∴，
∴，
∴，
即：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
题型四 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
易错：横纵坐标变换规律记错，忽略基准点平移；原因：未先平移至原点变换，旋转正负方向混淆。
13．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
(1)若和关于原点O成中心对称图形，画出；
(2)将绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的；
(3)在x轴上存在一点P，满足点到点与点距离之和最小，标出点P的位置，并直接写出的最小值为____．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)图形见解析，
【分析】（1）根据中心对称图形的定义画图即可；
（2）根据旋转的定义画图即可；
（3）如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据的最小值为，进行计算即可．
【详解】（1）解：如图为所作图形：
（2）解：如图为所作图形：
（3）解：如图所示，过点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，
的最小值为．
14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点均为格点（网格线的交点）．已知点，．
(1)将平移得到，使得点的对应点为，在所给的网格中画出；线段和的关系是_____________；若内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为_____________．
(2)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，请在所给的网格中画出，点的坐标是_____________．
【答案】(1)见解析；且；
(2)见解析；
【分析】（1）根据平移的性质找到点A，B的对应点，然后顺次连接即可得出，根据平移的性质得出线段和的关系，根据平移规律得出点的坐标即可；
（2）根据旋转的性质找到点A，B的对应点，再顺次连接即可求解．
【详解】（1）解：∵点，，将平移得到，使得点的对应点为，
∴将向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到，
如图，即为所求；
根据平移可得：且；
内任意一点的坐标为，则平移后其对应点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求作的三角形；根据图可得点的坐标是．
15．如下图，已知，，，．
(1)将绕点逆时针旋转得，画出；
(2)画出关于原点成中心对称的图形，画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特点画图即可；
（2）根据成中心对称图形的性质，结合网格特点画图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如图，即为所求：
16．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向左平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．画出平移后得到的；如果把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为______个单位长度；
(2)画出关于原点对称的；
(3)将绕着点顺时针旋转画出旋转后得到的
【答案】(1)图见解析，
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）根据平移规则画出；利用勾股定理求出平移距离即可；
（2）根据中心对称的性质，画出即可；
（3）根据旋转的性质，画出；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
由题意，把这个过程看成是经过一次平移，则平移距离为个单位长度；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
题型五 坐标与旋转规律问题
易错：旋转坐标变换符号、横纵颠倒，找不准旋转中心；原因：没熟记旋转规律，不会拆分平移与旋转。
17．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可．
【详解】解：∵，，
，，
，
∴，即
同理可得，，…
∴序号为奇数时，
∴点的坐标为，即．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，，依此类推，则旋转次后得到的等边三角形的顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到旋转后点的坐标变化规律，进行解答即可．
【详解】解：在等边中，，，
∴，
过点作轴，则
∴，
∴
根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为，
由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为，
由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为，
……，
综上可知，点的横坐标为，纵坐标为，
∴点的坐标为，即为．
19．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点的坐标，然后求出第次后点坐标即可．
【详解】解：点的坐标为，
，
四边形是平行四边形，
且，
点的坐标为，
点的坐标为，
由旋转的规律可知，第一次旋转后点的对应点的坐标为，
第二次旋转后点的对应点的坐标为，
第三次旋转后点的对应点的坐标为，
第四次旋转后点的对应点的坐标为，
循环周期为，
，
第次旋转是第个循环的第二次旋转，
第次旋转结束时，点的坐标为．
20．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作轴，过第二个点作轴，找到规律即可得到答案．
【详解】解：过点作轴，过第二个点作轴，
则∠PMA=∠P1NA=90°，
AP=AP1,∠PAP1=90°，
∴∠PAM+∠P1AN=90°，
，
∴△PMA≌△P1NA(AAS)，
∴PM=P1N=2,AN=AM=2，
∴P1(5,2)，
同理P2(8,1),P3(10,1),P4(13,2)，
纵坐标每次旋转为一个周期，故，与第四次旋转后的纵坐标一致，
横坐标x=1+25×12=301，
故正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为．
题型六 已知两点关于原点对称求参数
易错：横纵坐标符号记错，漏解参数；原因：不熟原点对称坐标特征，正负变换混淆。
21．将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值．
【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数，
∴，即 ，
一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，
∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得
，
解得：，
将代入，得，
解得，
∴ ．
22．已知点与点关于原点对称，则的值是______．
【答案】
【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此求出、的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：点与点关于原点对称，
，，
，
．
23．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，以及第三象限内点的坐标符号特征，根据关于原点对称的点横纵坐标互为相反数得到点的坐标，再结合第三象限内点的坐标符号列出不等式，求解即可得到的取值范围．
【详解】解： 点 与点关于原点对称，
点的坐标为，
点在第三象限，第三象限内点的横坐标小于，纵坐标小于，
，
解得：．
24．若点与点关于原点成中心对称，则________．
【答案】
5
【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征列方程求出和的值，再计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴，，
解得，，
∴．
题型一 用函数平移规律解题
1.平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项，只针对解析式变换。
2.左右平移改变x，向左平移x加，向右平移x减，务必给x整体加括号。
3.上下平移改动常数，向上加数值，向下减数值。
4.已知平移前后解析式，反向套用规律，逆推平移方向与单位。
5.图像上定点跟着同步平移，可代入点坐标验算平移结果。
1．【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式．
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；
小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式．
在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究：
【解决问题】
（1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为
（2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
【拓展应用】
（3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式．
【答案】（1）；（2），下，6；（3）
【分析】本题考查了坐标与图形变换-平移，轴对称，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点．
（1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解；
（2）平移后的直线的解析式的不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移 3 个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得，也就求得了所求的直线解析式；
（3）根据上述方式在直线上找两点，求出其关于y轴对称的坐标，再根据待定系数法直线解析式即可．
【详解】解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为，
设平移后的直线解析式为，
代入得，则，
所以过点的直线的解析式为；
故答案为：；
（2）可设平移后的直线解析式为，
∵原直线经过点，
∴点向左平移 3 个单位后点，
代入新直线解析式得：，
，
∴平移后直线的解析式为：，
由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线；
故答案为：，下，6；
（3）当时，，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，直线与轴的交点坐标为，
点关于轴的对应点的坐标分别为，
把分别代入得，
解得，
∴直线的表达式为．
2．[问题情境]
老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数表达式，
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；小谢认为平移前后直线中的“k”不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式．
在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小雯继续进行探究验证：
[解决问题]
（1）小雯用小谢的方法进行了尝试：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为______，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为 ；
（2）小雯又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ，利用上下平移的规律，将直线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
[拓展应用]
（3）对于平面直角坐标系内的图形M，将图形M上所有点都向上平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
【答案】（1），；（2），下， 6；（3）将直线进行两次“斜平移”后的函数解析式为
【分析】本题考查了坐标与图形变换－平移，待定系数法求解析式，解题的关键是得到平移后经过的一个具体点．
（1）由平移的性质可求点坐标，设平移后的直线解析式为，利用待定系数法可求解；
（2）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，可求向左平移3个单位后的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得m，也就求得了所求的直线解析式；
（3）平移后的直线的解析式的k不变，设出相应的直线解析式，找到点进行两次“斜平移”后的对应点的坐标，代入设出的直线解析式，即可求得n，也就求得了所求的直线解析式．
【详解】（1）点向上平移3个单位后的点的坐标为，
设平移后的直线解析式为，
代入得，则，
所以过点的直线的解析式为；
故答案为：，；
（2）可设新直线解析式为，
∵原直线经过点，
∴点O向左平移3个单位后点，
代入新直线解析式得：，
∴，
∴平移后直线的解析式为：，
由（1）可知，另外直接将直线向下平移6个单位也能得到直线；
故答案为：，下，6；
（3）直线上的点，进行一次“斜平移”后的对应点的坐标为，进行两次“斜平移”后的对应点的坐标为，
设两次斜平移后的直线的解析式为，
代入得，，
则，
所以，两次斜平移后的直线的解析式为．
3．[问题情境]
老师在黑板上写了一道题目：在平面直角坐标系中，将直线向下平移4个单位长度，求平移后直线的函数表达式．
小明利用直线上下平移的规律“上加下减”求得平移后直线的函数表达式为；小丽认为平移前后直线中的不变，只要求出的值即可．她的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数表达式．
在课堂交流中，老师肯定了他们的做法，感兴趣的小明继续进行探究验证：
[解决问题]
(1)小明用小丽的方法进行了尝试：将点向下平移4个单位长度后的对应点的坐标为________，利用待定系数法求得过点的直线的函数表达式为________；
(2)小明又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验这个方法：将直线向右平移2个单位长度，平移后直线的函数表达式为________，利用上下平移的规律，将直线向________（填“上”或“下”）平移________个单位长度也能得到这条直线；
(3)[拓展应用]对于平面直角坐标系内的图形将图形上所有点都先向下平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，我们把这个过程称为图形的一次“斜平移”．请你求出将直线进行两次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
(4)请你直接写出次“斜平移”后得到直线的函数表达式．
【答案】(1)，
(2)，下，
(3)
(4)
【分析】（1）根据点的平移规律求出平移后的坐标，再利用待定系数法求一次函数表达式；
（2）先根据直线的平移规律求出平移后的表达式，再根据点的平移规律确定点的平移方向和距离；
（3）先根据一次“斜平移”的定义求出一次“斜平移”后的直线表达式，再对其进行二次“斜平移”，从而得到表达式；
（4）根据一次、二次、三次……“斜平移”后的表达式，分析规律即可得出次．
【详解】（1）解：向下平移4个单位长度，
即，
，
平移前后直线中的不变，
设过点的直线的函数表达式为，
代入，
得 ，
解得，
．
（2）解：直线向右平移2个单位长度，平移后的函数表达式为，利用上下平移的规律，将直线向下平移6个单位长度也能得到这条直线．
（3）解：直线一次“斜平移”为 ，
直线一次“斜平移”为．
（4）解：一次“斜平移”后得到表达式，
二次“斜平移”后得到表达式，
三次“斜平移”后得到表达式，
……
次“斜平移”后得到表达式．
题型二 用对称平移求最值
1.遇线段和最小，作定点关于直线对称，连线交对称轴即为动点位置，两点之间线段最短。
2.求差最大，两定点同侧，连线延长交直线，利用三角形三边关系求值。
3.平移转化定点，把零散线段拼接成一条直线，统一后再用对称找点。
4.动点在坐标轴、折线上，画图锁定对称点，代入解析式算出坐标与最值。
4．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求方程|x﹣1|＝3的解，探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点对应点的数为x﹣1，由绝对值的定义可知，点与O的距离为|x﹣1|，可记为：O＝|x﹣1|．将线段O向右平移一个单位，得到线段AB，此时点A对应的数为x，点B的对应数是1，因为AB＝O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
（1）求方程|x﹣1|＝3的解，因为数轴上 所对应的点与1所对应的点之间的距离都为3，所以方程的解为 ．
探究二：探究的几何意义，探究的几何意义
如图②，在直角坐标系中，设点M的坐标为(x，y)，过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则点P点坐标(x，0)，Q点坐标(0，y)，|OP|＝x，|OQ|＝y，在RtOPM中，PM＝OQ＝y，则MO＝＝＝，因此的几何意义可以理解为点M(x，y)与原点O(0，0)之间的距离MO．
探究三：探究的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点的坐标为(x﹣1，y﹣5)，由探究（二） （1）可知， O＝，将线段O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时A的坐标为(x，y)，点B的坐标为(1，5)．因为AB＝O，所以AB＝，因此的几何意义可以理解为点A(x，y)与点B(1，5)之间的距离AB．
（2）探究的几何意义，请仿照探究二（2）的方法，在图④中画出图形，并写出探究过程．
（3）的几何意义可以理解为： ．
拓展应用：
（4）的几何意义可以理解为：点A(x，y)与点E(2，﹣1)的距离与点A(x，y)与点F （填写坐标）的距离之和．
（5）的最小值为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）﹣2或4，x＝﹣2或4；（2）图见解析，过程见解析；（3）点(x，y)与点(a，b)之间的距离；（4）(1，-5)；（5）
【分析】探究一：（1）因为数轴上的－2或4所对应的点与1所对应的点之间的距离都为3，即可求解；
探究二：（2）参考（1）的过程画出函数图象即可求解；
（3）根据前面的探究可知几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，即可求解；
拓展应用：
（4）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点F（1，－5）的距离之和；
（5）当点A位于线段EF之间时，此时EF=AF+AE，进而求解．
【详解】解：探究一：
（1）因为数轴上的﹣2或4所对应的点与1所对应的点之间的距离都为3，所以方程的解为x＝﹣2或4，
故答案为：﹣2或4，x=﹣2或4；
探究二：
（2）如图④，
在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O=，
将线段A′O先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（﹣3，﹣4），
因为AB=A′O，所以AB=；
因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（﹣3，﹣4）之间的距离AB；
（3）根据前面的探究可知的几何意义是表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离，
故答案为：点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
拓展应用：
（4）由探究二（4）可知：+表示点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（1，﹣5）的距离之和，
故答案为（1，﹣5）；
（5）当A（x，y）位于直线EF外时，此时点A、E、F三点组成△AEF，
∴ 由三角形三边关系可知：EF＜AF+AE，
当点A位置线段EF之间时，此时EF=AF+AE，
∴ +的最小值为EF的距离，
∴ EF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题也考查了学生的综合能力，属于中等题型．
5．综合与实践
【问题情景】学习了“最短路径问题”后，老师将课本上的“牧民饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使得的值最小．你能求出点的坐标吗？
【方法探究】
（）小明按照课堂上学习的方法在图先画出点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时的值最小；然后连接，利用，列方程求出点的坐标．请按小明的方法完成画图，并求出点的坐标；
【类比推广】
（）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址问题”放在坐标系中，设计了如下问题：如图，在平面直角坐标系中，，，直线经过点，且与轴平行，分别在轴和直线m上找点，使得轴，且的值最小，请在图中画出点和点的位置，并求出点的坐标；
【拓展创新】
（）如图，在平面直角坐标系中，，，点线段上，且，交于点，求点的坐标．
【答案】（）画图见解析，；（）画图见解析，，；（）
【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，平移的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（）先完成画图，再设，接着求出的坐标，求出，然后分别用表示出，，根据，列出关于的方程求解即可求得的坐标；
（）在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所作，先得出的坐标，设，从而可用表示出的坐标，再求得，然后用、，再得到关于的方程求解，从而可得，；
（）先说明，从而可得，，进而得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据，得到关于的方程求解，进而求得．
【详解】（）解：画图如下：
设，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
；
（）如图，在射线上取一点，使得，连接交直线于点，过点作轴于点，则点和点即为所求．
∴由作图可知：与平行且相等，
∵直线与轴平行，
∴，
∵，即，
∴，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得，
，；
（）如图，过点作交延长线于点，过点作轴于点，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，解得，
，
，
．
6．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离．
【探究发现】
（1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究．
①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点；
②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位．
③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线．
④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，．
【深入探究】
（2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）．
【拓展升华】
（3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ．
【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3）
【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式；
（2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解；
（3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长，
在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则，
那么．
【详解】解：（1）①当，
当，则，
∴，
则作图如图：
②对于直线，当，
∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合，
故答案为：4；
③同理可求直线与轴交点为，而，
∴向左平移4个单位与点重合，
∴直线向左平移4个单位得到直线，
故答案为：左，4；
④点即为所求
过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为；
（2）记直线与与轴分别交于点，如图
同上可求，
∴，
∴，
同理，
由题意得，
则为等腰直角三角形，
∴，
设，
则由勾股定理得：，
解得：（舍负），
即平移距离为
故答案为：；
（3）同上可得，延长交于点，
由得，
∴，
同上可得，
∴，
∴
∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长，
在等腰中，，同上可得，
由平移得，
∴，
∵四边形为正方形，
∴轴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
同理为等腰直角三角形，
∴，
由得，
∴，
∴，
∴平移得最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的平移变化，难度较大，涉及勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，综合性较强．
7．【定义】若线段 上所有的点到x轴的距离的最大值为 W，W就叫线段 的界值，记做 ．
【理解】如图（1），线段上所有的点到x轴的最大距离是3，则线段 的界值
(1)【应用】如图（2），已知，，．
①________．
②平移线段，使点 A 与点 C 重合，平移后线段的界值W为________．
(2)【拓展】如图（3），，，将线段向上平移个单位得到线段．
①当时， 的取值范围为________．
②当时，用含m的式子表示．
【答案】(1)①3；②3
(2)①；②
【分析】该题考查了坐标与图形，平移，不等式的性质，点到直线的距离等知识点，解题的关键是理解题意．
（1）①根据线段的界值的定义即可求解；
②由平移后点的对应点为， 得出平移规律，根据规律得到的对应点坐标，进而求出平移后线段的界值；
（2）将线段向上平移个单位长度到线段．假设点A与点C重合，点B与点D重合， 根据平移规律求出， ．
①当时，利用不等式的性质得出， ， 再根据线段的界值的定义即可求出的取值范围；
②当时，利用不等式的性质得出，， 再根据线段的界值的定义即可求出．
【详解】（1）解：①因为，，
而，
所以 ，
故答案为：3．
②因为平移线段，使点与点重合，
所以需将线段 向上平移4个单位，所以平移后的对应点的坐标为，所以平移后线段的界值 W为3．
故答案为：3．
（2）解：已知，，将线段向上平移个单位得到线段 ，则，．
①因为，所以，，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： ．
②因为，
所以，．
又因为，
所以
题型三 用倍长中线解题
1.见到三角形中线，延长中线至一倍长，构造对顶全等三角形。
2.利用SAS证全等，实现中线一侧的边平移相等，转化分散线段。
3.题目出现线段等量、倍分关系，优先倍长，集中边角条件。
4.结合三边关系、勾股，求解线段取值或边长。
8．【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线．
【初步尝试】
（1）如图1，小红同学发现：延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为_____，与的位置关系为_____；
【类比探究】
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小红同学的思考进一步探究发现：与之间有数量关系，请写出结论并进行证明：
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，张老师提出新的探究方向：若延长与交于点G，的度数不发生变化，请猜想的度数并说明理由．
【答案】（1）（2），理由见解析（3），理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键：
（1）证明，得到，，结合，即可得出结论；
（2）延长至点M，使得，连接，利用（1）中结论，结合旋转的性质，推出，得到，即可得出结论；
（3）作于点，证明，得到，即可．
【详解】解：（1）延长至点M，使得，连接，
∵为的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
延长至点M，使得，连接，则：
由（1）知：，，
∴；
∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下：
作于点，则：，
∴，
由（1）知：，由（2）知：，
∴，
又∵，
∴，
∴．
9．在一节数学综合实践课上，张老师将两个等腰直角三角形摆放在一起，带领同学们进行了如下探究．如图，在和中，，，．
(1)【初步感知】如图1，点在边上，连接，若，．求的长度；
(2)【深入探究】如图2，将绕点逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线、交于点、，当是等腰三角形时，求旋转角的度数；
(3)【拓展延伸】小明课下继续探究，将绕点继续旋转，当点、、在同一条直线上，连接．如图3，小明发现，只要过点作，即可探究、和之间的数量关系，请你帮助小明完成上述探究．
【答案】(1)
(2)满足条件的旋转角的度数为或或
(3)，探究见解析
【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝AC＝5，求出EC＝EF＝3即可解决问题；
（2）分三种情形分别画出图形，利用等腰三角形的性质求解即可；
（3）结论：．如第3题详解图中，利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
在中，，
∴，
∴，
图1
（2）解：如图2-1中，当时，．
如图2-2中，当时，．
如图2-3中，当时，，．
综上所述，满足条件的的值为或或．

图2-1 图2-2 图2-3
（3）解：，理由如下：
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．问题提出 如图（1），已知，，将边绕点顺时针旋转至处，连接，为的中点，为边中垂线上一点，．探究的值．
问题探究 （1）先将问题特殊化．
①如图（2），当时，不存在确定的点，请说明理由；
②如图（3），当在的延长线上时，连接，发现，请证明这个结论；
（2）再探究一般情形．如图（1），当时，证明（1）②中的结论仍然成立．
问题拓展 （3）当时，若，请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析．
②见解析；
（2）．
（3）或．
【分析】（1）①当时，在图中找到的中垂线，看能否满足即可；
②先证明≌，根据，得到，最后利用，即可证明结论；
（2）先证明出，得到，再证明出，通过性质可证明出，得到，根据，得到，最后根据，即可得证；
（3）仿照（2）的过程依次证明，，再通过角的转换即可得到答案．
【详解】解：（1）①当时，
为的中位线，
经过点的的垂线与的中垂线重合，
∴此时点在的中垂线上任何位置都能满足，
故不存在确定的点．
②证明：连接．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∵在的中垂线上，
∴，
∴．
∵，
∴≌．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）延长至，使得，连接，．连接并延长交于点．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∵，
∴．
（3）延长至F，使得，连接、并延长交于点G，连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
由（2）可得，
∴，
，
∴，
∴，
当时，延长至F，使得，连接、，
同理可得，
∵
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查三角形旋转的综合问题、全等三角形的性质和判定及辅助线作图，解题关键是作出正确的辅助线并找出三角形全等．
11．【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是 ．

【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________．
【答案】（1）；（2）；理由见解析（3）12.5
【分析】（1）延长到点G，使，连接，先根据证明得，再证明可得，即可得出结论；
（2）将绕点C逆时针旋转得，连接，可证，得，可证是直角三角形，即可得出结论；
（3）过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，先证，可得，再证，可得,由勾股定理可得长，再求四边形面积，即可求得结论．
【详解】（1）解：结论是：，理由如下：
延长到点G，使，连接，
，
，
在和中
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
将绕点C逆时针旋转得，连接，
，，
，
，
，
，
在和中
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，，
，
．
（3）解：过点A作垂足为M，作，交延长线于点N，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
四边形面积=四边形面积=．
【点睛】本题考查的是三角形全等的综合题，主要涉及全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形性质及判定、勾股定理等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
平移方向
坐标变化规律
向右平移a个单位
(x+a,y)
向左平移a个单位
(x−a,y)
向上平移b个单位
(x,y+b)
向下平移b个单位
(x,y−b)
旋转方式
坐标变化规律
顺时针旋转90°
(y,−x)
逆时针旋转90°
(−y,x)
旋转180°
(−x,−y)
区别
中心对称
中心对称图形
研究对象
两个图形之间的关系
一个图形本身的性质
对称点位置
分别在两个图形上
在同一个图形上
联系
都是绕着某点旋转180°后重合；中心对称的两个图形可看作一个整体（中心对称图形），中心对称图形可看作两个图形成中心对称
易错点
注意事项
平移要素判断
平移必须同时具备方向和距离两个要素，缺一不可
旋转方向混淆
旋转方向有顺时针和逆时针两种，需明确区分，不可随意颠倒
旋转中心确定
旋转中心是固定不动的点，作图时需准确标记
中心对称与轴对称混淆
中心对称是旋转180°重合，轴对称是沿直线折叠重合，两者变换方式不同
坐标平移符号错误
左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加），不要搞反
旋转作图漏标要素
完成旋转作图后，需标注旋转中心、旋转方向和旋转角度
中心对称图形判断
必须绕对称中心旋转**180°**后与原图形完全重合，不可用其他角度判断
图案设计缺乏整体感
设计时要注意图形间的间距、方向和角度，保持整体协调美观