福建省福州市2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷（五）（含答案）

这是一份福建省福州市2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷（五）（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（本题5分）已知集合，全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．（本题5分）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（本题5分）函数是（ ）
A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数
4．（本题5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（本题5分）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（本题5分）已知的展开式中的系数为5，则（ ）
A．4B．3C．D．
7．（本题5分）已知函数，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（本题5分）设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第三象限D．
10．（本题6分）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若是锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，，，则有两解
11．（本题6分）已知四面体中，，则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积为
B．四面体的外接球的表面积为
C．若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分
D．若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______.
13．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前7项和为__________.
14．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________．
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）已知向量.设.
(1)求函数的最小正周期；
(2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长.
16．（本题15分）已知函数.
(1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；
(2)若恒成立，求a的取值范围.
17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
18．（本题17分）某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同的红球4个和白球2个，每次从盒中随机摸出1个球，记录颜色后放回.规定：摸到红球记为发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息.发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式A，B中的一种发送信息；接收者乙收到信息后，也随机选择A，B中的一种方式进行解码，且二者选择A，B的概率均为.已知：若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的概率为1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为.
(1)求乙正确得到该次球颜色的概率p；
(2)独立进行3次通信，记随机变量X为这3次中乙显示为红球的次数，求X的概率分布列及数学期望；
(3)现加入窃听者丙，每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择A，B中的一种方式进行“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.设无窃听者时，乙正确得到信息的概率为，有窃听者时为.
（i）求，；
（ii）为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行n次通信，记乙正确得到信息的次数为Y.规定统计量，当时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断存在窃听.现进行了64次通信，乙正确得到信息40次，请根据上述标准判断通信过程中是否存在窃听，并说明理由.
19．（本题17分）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点.
(1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程；
(2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为.
（i）直线与轴的交点为，求点的坐标；
（ii）求的取值范围.
《2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷05》参考答案
12．
13．5
14．
15．【详解】（1）由题意，
，所以函数的最小正周期；
（2）由得，因为，所以，解得，
因为，所以，由余弦定理得，所以.
16．【详解】（1）当时，，，
设点的坐标，由题意得：，解得：，
所以，因此点的坐标为.
（2），
令，则，
因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，
即：a的取值范围是.
17．【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，，
取的中点，连接，
在菱形中，，所以是等边三角形，则，
又因为平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面.
（2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系.
因为，所以，因为E为PD的中点，所以，，设平面的法向量为，
则，取，得.，设平面的法向量为，则，取，得，
二面角为钝角，故，
所以二面角的余弦值为.
18．【详解】（1）记事件“甲、乙采用相同编码方式”，“乙正确得到该次球颜色”.
因为甲、乙独立随机选择编码方式，且选择A，B的概率均为，
所以，.
又由题意可知，
由全概率公式，得
所以；
（2）记事件“摸到红球”，“乙显示为红球”.由题意可知，，
由第（1）问可知，乙正确得到颜色的概率为，因此乙判断错误的概率为，所以，.由全概率公式，得
而独立进行3次通信，故.于是，.
概率分布列为：
数学期望为；
（3）（i）无窃听者时，由第（1）问可知，
有窃听者时，记D=“丙正确得到甲发送的信息”，E=“乙正确得到丙转发的信息”.
由题意可知，，乙最终正确得到甲发送的信息，有两种互斥情形：，.
因此，所以，；
（ii）由题意，，，且.
代入统计量，得，
因为，所以根据题中判断标准，应判断通信过程中存在窃听.
故结论为通信过程中存在窃听.
19．【详解】（1）因为是圆上任意一点，点为线段的垂直平分线与半径的交点，
则,故，又因为，则
所以的轨迹是以为两焦点，长轴长为4的椭圆，即,
故的轨迹方程为.
（2）（i）由已知直线与直线不重合，
设过的直线方程为，，
联立，化简得，显然，且，
又因为，则直线的方程为，令，得，
将代入上式，可得，
所以点的坐标为.
（ii）由（i）得，
同理得，，
则
将代入，化简得，，
故令，则，
，
由，则，
当时，，当时，，
所以的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
B
B
D
D
A
ABD
ABD
题号
11









答案
ABD









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