湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市南雅中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了 已知集合 ， ，则， 已知函数，则， 已知向量， 设函数 ，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
⼀、单项选择题（本⼤题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题所给的四个选项中，只有 ⼀项是符合题⽬要求的）
1. 已知集合 ， ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】 A 【解析】
【分析】由交集概念即可求解.
【详解】由 ， ， 可得： .
故选：A
2. 在 12 件同类产品中，有 10 件正品和 2 件次品，从中任意抽出 3 件 ．其中为必然事件的是( ) .
A. 3 件都是正品 B. ⾄少有 1 件是次品
C. 3 件都是次品 D. ⾄少有 1 件是正品
【答案】 D 【解析】
【分析】根据必然事件的定义判断 .
【详解】 12 件同类产品中，有 10 件正品和 2 件次品，从中任意抽出 3 件，次品的个数可能为 ，正品 的个数分别为 ，因此只有 “ ⾄少有 1件正品” ⼀定会发⽣，它是必然事件，ABC 三个选项中的事件都 有可能不发⽣ .
故选：D .
3. 已知 均值为 10，⽅差为 1，则 的均值和⽅差分别为( )
A. 20 ，2 B. 21 ，2 C. 21 ，4 D. 20 ，4 【答案】 C
【解析】
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【分析】利⽤均值和⽅差的性质可得结果.
【详解】因为 均值为 10，⽅差为 1，
所以 的均值为 ，⽅差为 . 故选：C.
4. 已知函数，则 ( )
A. 1 B. 0 C.
【答案】 A 【解析】
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为 ，
所以 . 故选：A
5. 如图所⽰，梯形 是平⾯图形 ⽤斜⼆测画法得到的直观图， 则平⾯图形 中对角线 的⻓度为( )
D.
,
,
A.
B.
C.
D.
【答案】 A 【解析】
【分析】根据直观图特征，作出其平⾯图形直角梯形 ，求出相关边⻓再求 ⻓即可 . 【详解】由直观图知原⼏何图形是直角梯形 ，
如图，由斜⼆测画法可知 ， ， 所以 .
故选：A .
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6. 已知向量
,
,若
,则 ( )
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】 A 【解析】
【分析】利⽤公式
将条件
化简得到 ，再利⽤数量积的坐标运算求 的值
.
【详解】若 ，则 ，展开整理得 .
⼜向量 ， ， 所以 ， .
故选：A.
7. 若直线 与函数 的图象有两个不同交点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】 C 【解析】
【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从⽽可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定 的取值范 围.
【详解】由题意知函数
的图象如下图所⽰：
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如图
所以
与函数
.
的图象有且仅有两个交点，
8. 如图，正⽅形 的边⻓为 4，点 、分别在边 、 上，且 ， ，将此正⽅形 沿 、 折起，使点 、 重合于点 ．记三棱锥 的体积为 ，其外接球的体积为 ．则
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C 【解析】
【分析】依题意可得 、 ，确定三棱锥的⾼，三角形⾯积公式求出 的⾯积，结合
三棱锥体积公式计算 ；根据 平⾯ ， 可先求 的外接圆半径，再求出外接球半径，最后 ⽤球的体积公式计算 ，进⽽求⽐值.
【详解】正⽅形折叠后， 重合于，可得： ，
,
由原正⽅形的直角得： ，故 ， ⼜ ，且 平⾯ ，因此 平⾯ ，
对 ： ，
故 为直角三角形，⾯积 ， 三棱锥体积： ；
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平⾯ ，且 为直角三角形，斜边为 ，
,
因此： 外接圆半径 ，球⼼到平⾯ 的距离 设外接球半径 ，则 ，
外接球体积： ，
.
因此
⼆、多项选择题（本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分 ．在每⼩题给出的选项中，有多项符 合题⽬要求， 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 设函数 ，则下列结论正确的是( )
A. 的最⼩正周期为π B. 的图象关于直线对称
C. 的⼀个零点为 D. 的值域为
【答案】 AC
【解析】
【详解】对于 A ：函数 ，根据周期公式可得 ，故 A 正确； 对于 B ：令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，所以直线 不是函数 的对称轴，故 B 错误；
对于 C ：令 ，解得 ，
当 时， ，所以 是 的⼀个零点，故 C 正确；
对于 D ：对于函数 ，因为 的值域为 ， 所以 的值域为 ，故 D 错误.
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10. 已知正⽅体 的棱⻓为 1， 则下列选项正确的是( )
,其中 ，
,且 ，
A. 平⾯ B. 异⾯直线 与 所成的角为
C. 的轨迹⻓度为 D. 取最⼩值
【答案】 AC 【解析】
【分析】由题意可得 在线段 上，通过⾯⾯平⾏的判断定理可得平⾯ 平⾯ ，再由性 质定理即可判断 A ；由异⾯直线所成角， 可知直线 与 所成的角为 ，根据 是边⻓为 的等边三角形，即可判断 B ；由 A 可知的轨迹为线段 ，即可判断 C ；将矩形 与正三角
形 展开在同⼀平⾯内，利⽤余弦定理求解后，即可判断 D .
【详解】因为 ，其中 ， ，且 ， 所以 在线段 上，
在正⽅体 中， ⼜因为 平⾯ , 所以 平⾯ ，
平⾯
,
,
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同理可得 平⾯ ，
⼜因为 ， 平⾯ , ， 所以平⾯ 平⾯ ，
⼜因为 平⾯ ，
所以 平⾯ ，故 A 正确； 因为 ，
所以异⾯直线 与 所成的角为 ， 易知 是边⻓为 的等边三角形，
所以 ，
即异⾯直线 与 所成的角为 ，故 B 错误；
由 A 可知的轨迹为线段 ，其⻓度为 ，故 C 正确；
将矩形 与正三角形 展开在同⼀平⾯内，如图所⽰：
的交点时，
取最⼩值，
当 为 与
,
,
,
此时在 中，
由余弦定理可得
, 即
取最⼩值为
,故 D 错误.
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11. 把向量 绕其起点沿逆时针⽅向旋转 角得到 ，叫做把 点 绕点 沿逆时针⽅向旋转 角得到点． 已知平⾯内点 ，点 ， ，
（其中 为坐标原点），点绕点 沿逆时针⽅向旋转 得到点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】 BC 【解析】
【详解】先由点 ， ，得 ，
由 ，得 ，解得 . ⼜由 ，得 ，则 ，
因此 ，点 ，故 A 错误，B 正确. 将 绕点 逆时针旋转 ，，
得： ，
因此点的坐标为 ，故 C 正确.
,故 D 错误.
三、填空题（本⼤题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分）
12. 已知复数 ，则复数 的模为 .
【答案】 【解析】
【详解】 ， 则 .
13. 第十五届全国运动会的吉祥物 “ 喜洋洋” 和 “ 乐融融” ⼀亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事 中扮演着重要角⾊，还成为了⽂化⾃信与家国情怀的象征．现⼯厂决定从 只 “ 喜洋洋” ，只 “ 乐融融”
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和 个全运会会徽中，采⽤分层随机抽样的⽅法，抽取⼀个容量为 的样本进⾏质量检测，若 “ 喜洋洋”
抽取了 只，则 .
【答案】 【解析】
【分析】根据分层随机抽样的⽐例即可得到答案.
【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为 、 和 ，
已知“喜洋洋”抽取了 只，抽样⽐为，根据分层随机抽样，
则样本中“乐融融”的抽取数量为 ，会徽的抽取数量为 ，
因此，样本总量 .
14. 在 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，已知 ， 则 的取
值范围是 .
【答案】 【解析】
【分析】由三角恒等变换可得 ，从⽽可得 ， ，从⽽可求得
,由正弦定理及三角恒等变换得 ，结合余弦函数的性质求解即可 . 【详解】因为 ，即 ，
所以 ，即 ， 所以 ，
因为 ，所以 ， 所以 ， ， 由 ，解得 ，
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所以
,
,
因为 ，所以
所以 .
,
四、解答题（本⼤题共 5 ⼩题，共 77 分 ．解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知复数
（1）如果复数 是纯虚数，求 的值
（2）如果复数 在复平⾯上所对应的点在第四象限，求 的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）由复数 为纯虚数，根据复数的定义，列出关系式，即可求解；
（2）先求得复数 在复平⾯内对应的点为 ，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【⼩问 1 详解】
解：由复数 ，
因为复数 为纯虚数，则满⾜，解得 .
【⼩问 2 详解】
解：由复数 在复平⾯内对应的点为 ，
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因为复数 在复平⾯上所对应的点在第四象限，
则满⾜，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
16. 某学校举办了⼀场党史知识竞赛活动，共有 名学⽣参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得 分情况，从中抽取了 名学⽣的得分（得分均为整数，满分为 分）进⾏统计，所有学⽣的得分都不低 于 分，将这 名学⽣的得分进⾏分组，第⼀组 ，第⼆组 ，第三组 ，第四组 ,得到如下的频率分布直⽅图 .
（1）求图中 的值，并估计此次竞赛活动中学⽣得分的第 百分位数；
（2）根据频率分布直⽅图，估计此次竞赛活动学⽣得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进⾏奖励，
请估计在参赛的 名学⽣中有多少名学⽣获奖.
【答案】（1） ，第 百分位数为 分
（2）平均值为 分， 名学⽣ 获奖
【解析】
【分析】（1）根据频率和为 可求得 ；由频率分布直⽅图估计百分位数的⽅法可求得结果；
（2）根据频率分布直⽅图估计平均值的⽅法可求得 ，进⽽估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和 频数关系可求得估计值.
【⼩问 1 详解】
由频率分布直⽅图知： ，解得： ； 设此次竞赛活动学⽣得分的第 百分位数为 分，
数据落在 内的频率为 ，落在 内的频率为
, ,
,解得： ，
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即此次竞赛活动学⽣得分的第 百分位数为 分.
【⼩问 2 详解】
由频率分布直⽅图及（1）知：数据落在 ， ， ， 的频率分别为 ，，
, ,
此次竞赛活动学⽣得分的平均值 ，
此次竞赛活动学⽣得分不低于 分的频率为 ，
在参赛的 名学⽣中，估计有 名学⽣获奖.
17. 如图，已知正三棱柱 中， ，点为 的中点 .
（1）证明： 平⾯ ；
（2）求 与平⾯ 所成角的余弦值 .
【答案】（1）连接 交 于点 ，连接 ，
因为三棱柱 为正三棱柱，所以侧⾯ 为矩形，所以为 的中点，
⼜因为点为 的中点，所以在 中， 为中位线，故 ， 因为 平⾯ ， 平⾯ ，所以 平⾯ .
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交 于点 ，连接 ，即可得到 ，从⽽得证；
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（2）过 点作 ， 即可证明 平⾯ ，则 为 与平⾯ 所成角，再由 勾股定理求出 ，再由锐角三角函数计算可得.
【⼩问 1 详解】 略.
【⼩问 2 详解】
过 点作 ，
在正三棱柱 中， 平⾯ ， ，
因为 平⾯ ，所以 ， ⼜为 的中点，所以 ，
因为 ， ， 平⾯ ，所以 平⾯ ， 因为 平⾯ ，所以 ，
⼜因为 ， ， 平⾯ ， ，所以 平⾯ ， 所以 为 与平⾯ 所成角，
因为 ，点为 的中点 .
在 中， ，
所以 ，即 与平⾯ 所成角的余弦值为 .
18. 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的⼤⼩；
（2）若 为 的中点， ，求 的⾯积.
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【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤余弦定理将角化边，再利⽤余弦定理计算 ，即可得解；（2）通过中线⻓性质
得到 ，利⽤数量积性质得到 ，结合余弦定理和⾯积公式即可求 .
【⼩问 1 详解】
由余弦定理知， ，
化简为 ，
化简为 ，
,
,
.
【⼩问 2 详解】
因为 ，
所以 ， 即 ，得 ， 中，由余弦定理得 ，
即 ，
联⽴ ,可得 ，
.
19. 如图，在三棱锥 中， 为 中点，平⾯ 平⾯ ， ， ，
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,三棱锥 平⾯ 平⾯ .
. ,
的体积为
分别是直线 ，
上⼀点，且
平⾯
,记
（1）证明：平⾯ 平⾯ ；
（2）求⼆⾯角 的平⾯角的正弦值；
（3）若 与 所成角的余弦值为 ，求 的值 .
【答案】（1）证明：如图，过作 ，垂⾜为 .
因为平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ， 平⾯ ，所以 平⾯ ， 因为 平⾯ ，所以 ，
因为 ， 为 中点，所以 ，
因为 ， ， 平⾯ ，所以 平⾯ ， ⼜ 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ .
（2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）只需证明 平⾯ ，再结合⾯⾯垂直的判定定理即可得证；
（2）由定义可得 为⼆⾯角 的平⾯角，从⽽ ，求出可得结果；
（3）依题意有 ， ，分别讨论 在线段 上和在线段 的延⻓线上即
可求解.
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【⼩问 1 详解】
略.
【⼩问 2 详解】
因为 平⾯ ， 平⾯ ，所以 ， 因为 ，所以 为⼆⾯角 的平⾯角 .
因为三棱锥 的体积为 ，
所以 ，解得 ， 所以⼆⾯角 的正弦值为 .
【⼩问 3 详解】
所成角
因为 平⾯ ， 平⾯ ，平⾯ 平⾯ ，所以 ，故 与 等于 与 所成角 .
由（2）知 ，所以 . 由题意得 ，则 .
①如图，当 在线段 上时，
因为
,
,
所以
.
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在 中，由正弦定理得，，即 解得 ，所以 ，故 .
@如图，当 在线段 的延⻓线上时，
,
因为 ， ，
由图知，
则 ，
在 中，由正弦定理得，
,即
,
解得，所以
,
.
综上得，
或 .
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