湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段检测数学试卷含解析（word版+pdf版），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 设集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知集合 ,故 .
2. 在复平面内,复数 满足 ,则复数 的虚部为
A. -1 B. -iC. -2 D. -2i
【答案】C
【解析】 ,所以 的虚部为 -2.
3.如图，在梯形 中， ，设 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 .
4.已知 ,则 的最小值是
A. 4 B. 3C. 2 D. 1
【答案】A
【解析】 ,当且仅当 , 即 时取等号,所以 的最小值是 4.
5.为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上的所有的点
A. 保持 不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 1 个单位长度
B. 保持 不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移 1 个单位长度
C. 保持 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 1 个单位长度
D. 保持 不变，横坐标缩短为原来的一半，再向右平移 1 个单位长度
【答案】A
【解析】把函数 的图象的所有的点保持 不变,横坐标伸长为原来的 2 倍得到函数 的图象,向左平移 1 个单位长度得到函数 的图象.
6.复数 满足 ,则 的最大值为
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】复数 满足 ，其对应的点是以原点为圆心,1 为半径的圆上的点， 的几何意义是复数 对应的点到点 的距离,所以 的最大值为 .
7.在 中,内角 所对的三条边分别为 ,则 的必要不充分条件是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 选项, ,故为充要条件;
B 选项, 或 ,为必要不充分条件;
C 选项, ,则 ,为充要条件;
D 选项, 且 , ,即 ,为充要条件.
8.已知 都是锐角, ,则 的值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 都是锐角,所以 ,又 ,则 , 注意到 ,故 , 所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量 ，下列结论正确的是
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 为钝角，则
【答案】AC
【解析】对于 A 选项,当 时, ,故 A 选项正确;
对于 选项,当 时, ,故 选项不正确;
对于 选项,若 ,则 ,所以 ,所以 选项正确;
对于 选项,依题意, ,且 ,故 ,故 选项错误.
10.函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
A.
B. 函数 图象的对称轴是
C. 函数 的一个单调递减区间为
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】由图知 , , ,故 A 正确;
由图知 B 显然错误;
由 ,解得 ,令 ,即为 ,故 正确;
的周期为 ,而 ,则 ,故 正确.
11.在锐角 中,内角 的对边分别是 ,已知 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于 选项,由正弦定理可得 ,但是不能得到 ,故 错误;
对于 选项, ,故选项 正确；
对于 选项,由 为锐角,故 ,从而 ,
故 ,因此 ,故 正确;
对于 选项,由 可知 ,则 , 由 ,得 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则与向量 方向相同的单位向量为________.
【答案】
【解析】由 得 ,则与向量 方向相同的单位向量是 .
13.函数 的零点为_______.
【答案】
【解析】设 ,令 ,去分母,得 ,整理得 ,即 ,即 .
14.已知 ,若对任意实数 均有 ,则满足条件的 的取值范围为________.
【答案】
【解析】令 ,依题意, 恒成立. 当 或 时显然 恒成立. 当 且 时, 的周期依次为 ,由于两个函数周期不相同且都过原点,于是当正数 足够大时,在区间 内函数 的图象与 的图象会发生交错,故不等式 不能恒成立,不合题意. 所以满足条件的 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.如图，某货轮在 处看灯塔 在货轮的北偏东 ,距离为 海里,在 处看灯塔 在货轮的
北偏西 ，距离为 海里，货轮由 处向正北航行到 处时，再看灯塔 在北偏东 ,求:
(1)A 处与 处的距离；
(2)灯塔 与 处的距离.
【解析】(1) 在 中,由已知得 , 2 分
由正弦定理得 ， 5 分
处与 处的距离为 24 海里. 6 分
(2)在 中，由余弦定理得 ， 9 分
解得 . 12 分
灯塔 与 处之间的距离为 海里. 13 分
16.如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任一点 的斜坐标定义如下:若 (其中 分别为与 轴, 轴同方向的单位向量),则点 的斜坐标为 . 此时有 ,试在该斜坐标系下探究以下问题:
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的模长.
【解析】(1) 由题知 ,
又 ,所以 , 3 分
所以 . 7 分
(2) ,即 , 9 分
即 ，解得 ， 12 分
从而 ,则 , 14 分
从而 . 15 分
17.已知函数 为奇函数.
(1)求实数 的值；
(2)设函数 ，若对任意的 ，总存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
【解析】
(1)由题意可得,函数的定义域为 ,
因为 是奇函数,所以 ,可得 , 2 分
经检验, 成立,所以 . 4 分
(2)由(1)可得 ，
因为 ，所以 ，
,所以当 时, 的值域 ; 7 分
又因为 ,
设 ,则 , 10 分
当 时,取最小值 ,当 时,取最大值 ,
即 在 上的值域 , 12 分
又对任意的 ,总存在 ,使得 成立,
即 ,所以 解得 ,即实数 的取值范围是 . 15 分
18.已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的值.
(2)设 的外接圆半径为 ，内切圆半径为 .
( i )若 ，求 的周长;
(ii) 求 的最大值.
【解析】(1) ,故 ,
从而 , 2 分
即 , 4 分
因此 或者 或者 ,
即 或 (舍) 或 (舍),故 . 5 分
(2)(1)依题意，由 ，
又 ,从而 , 7 分
又 ,即 ,
故 ,故 , 9 分
故 . 10 分
(ii) 由 (i) 可知: ,则 ,
依题意,则 , 12 分
因此
15 分
又 ,所以 ,所以 ,
因此 ,即 的最大值为 . 17 分
19.学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时, 发现书中有以下三角恒等式:
(1)证明: .
(2)运用上面的公式解决下列问题:
( i ) 已知 ,求 的值;
(ii) 若 ,求 的最大值.
【解析】(1)利用余弦的和角、差角公式: ,
将两式相加,得 , 2 分
两边同时除以 2,得 . 4 分
(2)(j)已知 ，
利用(1)的恒等式，令 ，
则: 6 分
8 分
结合已知条件 ,得 . 9 分
(ii)
11 分
13 分
, 15 分
当 且 时取到最大值,最大值为 . 17 分