湖南省湘潭市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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这是一份湖南省湘潭市第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了已知集合，，则，已知复数，则，设向量等内容，欢迎下载使用。
时间：120 分钟满分：150 分
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.
1. 已知集合，，则 ( )
A. B.
C. D.
2. 已知复数，则 ( )
A. B. C. D.
3. 设向量 .若，则 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 已知数列是等⽐数列，若，则 ( )
A. 13 B. C. 7 D.
5. 为了保障速滑⽐赛的安全，志愿者⼩王、⼩李、⼩⽅需要清理、、、、、六条短道速滑跑道，每⼈⾄少清理⼀条跑道，则⼩王清理三条跑道的情况共有多少种( )
A. 120 B. 80 C. 60 D. 40
6. 在空间直角坐标系中，过点且以为法向量的平⾯的⽅程可以表⽰为 , 若平⾯的⽅程为，则点到平⾯的距离为( )
A. B. C. D.
7. 已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点
, 为坐标原点，，则椭圆的离⼼率为( )
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A. B. C. D.
8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 甲、⼄、丙 3 ⼈进⾏传球游戏，每次抛⼀枚均匀的硬币，若正⾯朝上，则持球者不传球；若反⾯朝上，
则持球者等可能地将球传给其余 2 ⼈之⼀．初始时球在甲⼿中，记第次抛硬币后球在甲⼿中的概率为，球在⼄⼿中的概率为，在前次抛硬币的过程中 3 ⼈之间传球的次数为，则( )
A. B. C. D.
10. 正⽅体的棱⻓为为中点，为侧⾯内⼀动点，且平⾯
,则( )
A. 平⾯ B. 动点的轨迹⻓为
C. 有且仅有⼀点，使得 D. 三棱锥外接球半径的最⼩值为
11. 在中，角，，的对边分别为，， .已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则的⾯积为
C. 当是直角三角形时， D. 的取值范围是
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数是定义在上的偶函数，时，，则函
数的零点个数为 .
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13. 已知是等差数列的前 n 项和，，则满⾜的正整数 n 是 .
14. ⼩郅和⼩豪同学玩纸牌游戏，⼩郅⾯前有标有点数分别为 1、2、3、4、5 的纸牌各 1 张，⼩豪⾯前有标号为 1、2、3、4、5 的纸牌分别有 5、4、3、2、 1 张（抽牌阶段抽到每张牌的概率均等），规定首先⼩豪同学从其⾯前纸堆中抽取⼀张牌点数记为，然后放回牌堆，随后⼩郅同学任意从其⾯前牌堆中抽取张牌，
记这张纸牌的点数和为，则， .
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 不透明的袋⼦中装有编号为 1 ，2 ，3 ，4 的 4 张卡⽚，这 4 张卡⽚除编号外，其余完全相同.现从袋⼦中不放回地抽取 1 张卡⽚，若这张卡⽚的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡⽚的编号为奇数，则再从袋⼦中不放回地抽取 1 张卡⽚，直⾄抽出编号为偶数的卡⽚，结束抽取.
（1）求恰好抽取 2 张卡⽚后结束抽取的概率；
（2）若抽出编号为奇数的卡⽚得 1 分，抽出编号为偶数的卡⽚得 2 分，记抽取结束后的总得分为，求
的分布列与期望.
16. 已知椭圆的离⼼率为，左右焦点分别为，过点的直线与相交
于，且的周⻓是 8 .
（1）求的⽅程；
（2）若的⾯积是，求的⾯积 .
17. 如图，在四棱锥中，平⾯，
为棱的中点．⽤空间向量坐标法解答以下问题：
（1）求与所成角的余弦值；
（2）求⼆⾯角的余弦值；
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（3）在棱上是否存在点，使得⼆⾯角的余弦值为？若不存在，请说明理由；若存在，求的值 .
18. 若正项数列的前项和为，且对任意的正整数，均有成⽴，其中和是实数，则称此数列为“ ”数列 .
（1）若数列是“ ”数列，求的值；
（2）若数列是“ ”数列，且，求数列的通项公式；
（3）是否存在实数，使得数列为“ ”数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由 .
19. 已知函数 .
（1）当时，讨论在区间上的单调性；
（2）设在区间上存在两个极值点， .
①求 a 的取值范围；
②若，求与的等差中项 .
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