初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）23.1 一次函数的概念导学案及答案

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知识点01 一次函数的概念
一次函数的定义：
一般地，形如 的函数是一次函数。
注意：一次函数的结构中， 0，x是自变量且自变量指数为 。为任意实数。
【即学即练1】
1．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y=xB．y＝x2﹣1C．y＝x﹣1D．y=−1x
【即学即练2】
2．函数y＝（2m﹣1）xn+3+（m﹣5）是关于x的一次函数的条件为（ ）
A．m≠5且n＝﹣2B．n＝﹣2
C．m≠12且n＝﹣2D．m≠12
知识点02 一次函数与正比例函数的关系
正比例函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做正比例函数。其中，叫做 。
注意：①自变量系数（比例系数）不能为 。
②自变量次数一定是 。
③正比例函数解析式中，自变量后面为 。
正比例函数与一次函数的关系：
当b=0时，y=kx+b及即为y=kx。所以正比例函数是一次函数的特列，一次函数包含正比例函数。
【即学即练1】
3．下列变化过程中，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（ ）
A．圆的周长C随半径r的变化而变化
B．用15m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化
C．正方形的面积S随边长a的变化而变化
D．汽车油箱中有汽油50L，汽车每行驶1千米耗油0.2L，那么行驶过程中油箱的剩余油量Q与行驶路程s之间的关系
【即学即练2】
4．下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A．y＝3x+1B．y＝3x2C．y=3xD．y＝3x
【即学即练3】
5．若函数y=(2−m)xm2−3是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（ ）
A．2B．﹣2C．±3D．±2
【即学即练4】
6．已知函数y＝（4﹣2m）x|m﹣1|+（n+3）．
（1）m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
（2）m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
题型01 判断一次函数
【典例1】下列四个函数中属于一次函数的是（ ）
A．y=1x(x≠0)B．y=12+xC．y＝x2+1D．y＝1
【变式1】下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．y＝x2﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝kx+bD．y=3x
【变式2】下列函数关系式中①y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④y=13x；⑤y＝﹣x；是一次函数的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型02 判断正比例函数
【典例1】下列函数中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝﹣0.2xB．y＝3x2C．y2＝4xD．y＝5x+1
【变式1】下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=23xB．y=23xC．y＝2（x+1）D．y＝3x+1
【变式2】下列函数哪些是正比例函数？是正比例函数的指出比例系数．
（1）y＝﹣4x （2）y＝3x﹣1 （3）y=5x6 （4）y=9x （5）y＝﹣0.9x （6）y＝（5−1）x．
题型03 根据一次函数的定义求值
【典例1】若函数y＝xm﹣2+5是关于x的一次函数，则m＝ ．
【变式1】已知函数y＝（m﹣1）x|m|﹣3是关于x的一次函数，则m的值为 ．
【变式2】已知函数y=(m−3)xm2−8+4是关于x的一次函数，则m的值是 ．
【变式3】若函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2﹣3是一次函数，则k的值为 ．
题型04 根据正比例函数的定义求值
【典例1】若函数y＝x+1﹣m是正比例函数，则m的值是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0
【变式1】若函数y＝mx+4m﹣2（m是常数）是正比例函数，则m＝ ．
【变式2】已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1是正比例函数，则m＝ ．
【变式3】已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝ ．
1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x+1B．y＝2x﹣3C．y＝x2D．y＝x
2．下列函数中，不是一次函数的是（ ）
A．y＝3xB．y＝2−x3C．y=12x−12D．y=1x−3
3．下列函数关系式中①y＝﹣x；②y＝2x2+1；③y＝2x﹣1；④y=13x；⑤y＝2x2﹣1﹣2x（x+1）；是一次函数的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．下列说法正确的是（ ）
A．一次函数是正比例函数
B．正比例函数是一次函数
C．不是正比例函数就一定不是一次函数
D．正比例函数不一定是一次函数
5．下列属于正比例函数关系的是（ ）
A．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h
B．仓库的粮食总量为常数W，每天的销量m与销售的天数t
C．行驶的路程s是常数时，行驶的速度v与时间t
D．正方形的面积S与它的边长a
6．一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（ ）
A．m≠2，n＝2B．m＝2，n＝2C．m≠2，n＝1D．m＝2，n＝1
7．若函数y＝（m﹣3）x+n﹣2是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（ ）
A．m≠3，n＝2B．m＝3，n＝2C．m＝3，n≠2D．m≠3，n≠2
8．若函数y＝（m﹣2）x+4﹣m2是关于x的正比例函数，则m的值是（ ）
A．±2B．1C．2D．﹣2
9．已知函数y＝（m﹣1）x2+m2x+5是一次函数，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．1或﹣1
10．下列说法中正确的有（ ）
①y＝kx是正比例函数；
②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3；
③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数；
④如果y=13x2，那么y与x2成正比例．
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．已知函数y＝（m+3）x+m2﹣9，当m＝ 时，y是x的正比例函数．
12．已知y＝（m+1）x2﹣|m|+n+5．当m，n满足条件 时，y是x的一次函数；当m，n满足条件 时，y是x的正比例函数．
13．若5y+2与x﹣3成正比例，则y是x的 函数．
14．下列说法正确的是 ．（填序号）
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③若y﹣1与x成正比例，则y是x的一次函数；
④若y＝kx+b，则y是x的一次函数．
15．定义[p，q]为一次函数y＝px+q的特征数，若特征数是[3，k﹣2]的一次函数为正比例函数，则k的值是 ．
16．下列函数中，哪些是一次函数，哪些不是一次函数？在一次函数中，哪些又是正比例函数？
（1）y＝﹣x+4；（2）y=25x；（3）y=−2+x3；（4）y＝﹣6x2+7；（5）y=12−3x；（6）y=13x+5．
17．已知2y与x+1成正比例，且其图象过点（2，4），（m，6），求m的值．
18．已知函数y＝（n+1）x2+（2n﹣4）x﹣（n+5）．
（1）当n为何值时，函数是一次函数？
（2）如果函数是一次函数，计算当x=43的函数值．
19．写出下列各题中y关于x的函数表达式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）黑色中性笔每支3元，购买这种中性笔的总价y（元）与购买支数x（支）之间的关系；
（2）甲、乙两地之间的路程为300千米，汽车从甲地出发开往乙地的速度y（千米/时）和到达乙地所需时间x（时）之间的关系．
20．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数，当输入不同的x值时，将输出对应的y值，其中函数y＝（m﹣1）x|m|+1为一次函数．
（1）当x＜1时，求函数的表达式．
（2）当x＝0时，y的值记为y1，当x＝2时，y的值记为y2，则y1 y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
（3）要使输出结果为2，求应输入的x值．
教学目标
掌握一次函数的概念，能够熟练地判断出一次函数并能够熟练地根据一次函数的概念求出待定字母的值。
掌握正比例函数的概念，能够熟练地判断出正比例函数并能够熟练地根据正比例函数的概念求出待定字母的值。
教学重难点
重点
一次函数的概念；
正比例函数的概念。
2. 难点
（1）利用正比例函数和一次函数的概念求值；
（2）弄清正比例函数与一次函数的关系并准确的区分应用。