四川省资阳市2025_2026学年高一数学下学期期中试卷含解析

这是一份四川省资阳市2025_2026学年高一数学下学期期中试卷含解析，共10页。试卷主要包含了单选题，由 ，所以 .，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 ，则原图形 的
面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一、根据直观图还原到原图形即可求面积，方法二、根据 直接求解.
【详解】方法一、设矩形 与 相交于点 ，则原图形如下，
，则 ，
所以 .
方法二、由 ，所以 .
故选：C.
2. 已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
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A. B. C. 10 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标公式直接运算即可.
【详解】由 ， 及 ，得 ，所以 ，
故选：D
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 棱柱是有且仅有两个平面平行，其他平面为平行四边形的多面体
B. 圆柱是由一个四边形绕着其中一条边旋转得到的
C. 用一个平面去截圆锥，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台
D. 棱台的所有侧棱所在直线交于同一点
【答案】D
【解析】
【详解】棱柱可能有多组平面平行，如正方体有三组平面平行，并非“有且仅有两个平面平行”，故 A 错
误；
圆柱由矩形绕其一边旋转得到，任意四边形旋转不一定得到圆柱，故 B 错误；
只有当截面与圆锥底面平行时，这个平面和圆锥的底面之间的部分是圆台，否则不是，故 C 错误；
棱台是由棱锥截得的，其侧棱延长线交于同一点，故 D 正确．
4. 数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔
垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶 的仰角分别为 ，
（如图），设乘客眼睛离地面的距离为 ， .若 在同一水平
高度，且 ， ， 在同一竖直平面内，则北塔 高为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
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【解析】
【详解】设 ，因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
所以 .
5. 如图， 是一个正三棱台，而且下底面边长为 4，上底面边长和侧棱长都为 2，则棱台的高
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形，取正三棱台 的上下底面中心为 ，连接 并延长交 于点 ，
连接 并延长交 于点 ，分别计算 的长，利用直角梯形 即可求得答案.
【详解】
如图，取正三棱台 的上下底面中心为 ，则 即为棱台的高.
连接 并延长交 于点 ，连接 并延长交 于点 .
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依题意， ， ，
在直角梯形 中， ，即棱台的高为 .
故选：D.
6. 已知 为锐角， ， ，则 =（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【详解】因为 为锐角， ，所以 .
因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，
所以
.
7. 在 中的角 的对应边分别为 ，且 ，则 的形状为（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角 为直角.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
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即 ，
整理得 ，
角 为直角， 为直角三角形.
8. 在 中，内角 所对应边分别为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若满足 ， 的 有两解，则 a 的取值范围为
B. 若 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是
C. 若 则 是 的外心
D. 若点 O 为 内一点，且 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于 A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于 B，根据余弦定理和已知条件化简，求出
，再用正弦定理对 进行化简，根据 的范围判断即可；对于 C，由向量
的数量积的运算及外心的定义判断；对于 D， 交 于点 ，由向量的线性运算法则及向量共线定理，
可得 ，从而求得面积比.
【详解】对于 A， ，所以 ，
因为 ，要使 有两解，则 ，所以 ，A 正确；
对于 B，因为 ，又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
即 ，即 ，
因为 ，所以 ，即
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所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，B 正确；
对于 C，
则 ，
所以 ，所以点 在 边的高线上，所以 不一定是 的外心，C 错误；
对于 D，若点 O 为 内一点，且 ，
延长 交 于点 ，故存在实数 ，使得 ，
由于 在直线 上，故 ，从而 ，即 ，
所以 ，故 ，D 正确.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若 是关于 的方程 的根，则
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C. 若复数 满足 ，则 的最大值和最小值的和为
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复数定义，可以判断 A 选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关
系，可以判断 B 选项；根据复数的几何意义可以判断 对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以
判断 C 选项；根据复数的乘法运算可判断 D 选项.
【详解】对于 A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故 A 错误.
对于 B，若 是关于 的方程 的一个根，则 也是关于 的方程
的一个根，
所以 ，因此 ,故 B 正确.
对于 C，设 ，若复数 满足 ，则有 ，
所以 在复平面内对应点的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
的几何意义为圆上点到原点的距离， ，
，
所以 ，故 C 正确.
对于 D，由 可得， ，则 ，
因此 ，故 D 正确.
10. 如图， 是圆锥 的底面圆 的直径，点 是底面圆 上异于 、 的动点，点 是母线 上
一点，已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 若 ，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点 的最短长度为
B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
D. 三棱锥 的体积的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】将圆锥沿着 展开，结合勾股定理判断 A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出
其高，结合锥体的体积公式判断 B；由扇形的弧长公式判断 C；求出 面积的最大值，结合锥体的体
积公式判断 D.
【详解】对于 C，由圆锥的侧面积为 ，得圆锥的母线长 ，侧面展开图弧长 ，
因此圆锥的侧面展开图的圆心角 ，C 正确；
对于 A，侧面展开图扇形圆心角 ，点 在 上且 ，则 ，
在展开后的扇形中， 与 （对应底面同一点）的圆心角为 ，
最短路径为线段 ，且 ，A 正确；
对于 B，设圆锥的高 ，该圆锥的体积为 ，B 错误；
对于 D，由圆的几何性质知 ，由勾股定理得 ，
由基本不等式得 ，则 ，
当且仅当 ，即当 时取等号，
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此时 ，因此 ，D 正确.
11. 满足 ，且 ，则（ ）
A. 三个内角 满足关系
B. 的周长为
C. 若 的角平分线与 交于 ，则 的长为
D. 设 为 外接圆上任意一点，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用
角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出 的长度，最后借助数量积的几何意义即可求
出最大值.
【详解】因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
对于 A：由余弦定理知， ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，
所以 的周长为 ，故 B 正确；
对于 C：若 的角平分线与 交于 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
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即 ，解得 ，故 C 错误；
对于 D：因为 ，
设 外接圆的圆心为 ，半径为 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
当 ，且点 在 的延长线上时， 取得最大值，如图所示，
此时 ，
所以 的最大值为 ，故 D 正确.
三、填空题（共 15 分）
12. 若复数 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法求出 ，进而求出其模.
【详解】依题意， ，所以 .
故答案为：
13. 边长为 1 的正方形 ABCD 上有一动点 ，则向量 的范围是___________.
【答案】
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【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算求解
【详解】如图，分别以 , 为 建立平面直角坐标系，则 ，
设 ，则 ， ，
当 在边 或 边上时， ，
所以 ，
当 在 边上时， ， ，
当 在 边上时， ， ，
所以 的取值范围为 ，
14. 已知函数 的图象如图所示，点 在 的图象
上，且 ，若将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，得函数 在
上恰有一个最大值，一个最小值，则 m 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
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【分析】结合 型函数图象的几何意义，求解出 ，由图象变换得到 表达式，根据 函数图
象在 恰有一个最大值，一个最小值求解出 的范围.
【详解】因为 ，点 在 的图象上，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由 ，可得 ，所以 ，
而 在 轴左侧，所以 ，即 ，因此 ，
由图象可知， ，则 ，
因为 且 ，所以 ，
设将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍后得到的函数为 ，
所以 ， ，
当 时， ，
当 时， ，故 ，
而 的最大值为 ，最小值为 ，
所以 ，即 ，
因此 的取值范围为
四、解答题（共 77 分）
15. 已知向量 ， ，且 与 垂直.
（1）求 ；
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（2）若 与 互相垂直，求实数 的值.
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据向量垂直得出 的值，然后根据向量模长的公式求模长；
（2）根据向量垂直列方程，求 的值。
【小问 1 详解】
与 垂直，所以 ，得 ，
，
.
【小问 2 详解】
， ，
与 互相垂直，
所以 ，
即 ，即 ，
所以 .
16. 如图，长方体 的三条棱的长分别为 ．
（1）将此长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥 ，求剩下的几何体的体积；
（2）求长方体 外接球的体积和表面积．
【答案】（1）
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（2）体积为 ，表面积为
【解析】
【分析】（1）根据 求解即可；
（2）根据长方体的体对角线为外接球的直径可求解.
【小问 1 详解】
在长方体中， ．
则 ．
，
所以剩余部分的体积为 ．
【小问 2 详解】
长方体的体对角线长为 ，
设长方体的外接球的半径为 ，可得 ，即 ，
所以外接球的体积为 ，
表面积为 ．
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且
， 的中点为 M.
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由 得 ，根据 的范围求值；
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（2）由正弦定理得 ， ，由 ，利用向量运算结合三角恒等变换可
得 ，求出 的范围结合三角函数性质得解.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
又 ，所以 ，
所以 ， .
【小问 2 详解】
由 ，且 可得 ，
又 ， 为 外接圆
半径）
所以 ，又 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
所以 ， .
由 的中点为 M，得 ，
所以
.
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因为 为锐角三角形，所以 ，得 ，
则 ，所以 ， ，
则 ，
故 的取值范围是 .
18. ．
（1）求 的值；
（2）求 在 上的值域；
（3）将函数 的图象上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，
若不等式 对于任意 恒成立，求实数 a 的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接代入即可求解，
（2）在已知 x 的取值范围 的情况下，通过分析 的范围，进而得出函数的值域.
（3）根据三角函数图象的伸缩变换得到 ，通过换元构造函数，令 ，再将
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进行化简，参变分离，转化为 对任意的 恒成立，利用基本不等式求 a 的取值
范围．
【小问 1 详解】
；
【小问 2 详解】
时， ，故 ．
即 在 上的值域为 ．
【小问 3 详解】
将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），
得到函数 ，
则
，
令 ，因为 ，所以 .
则不等式 对任意的 恒成立，
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等价于 对任意的 恒成立，
即 对任意的 恒成立.
整理得 ，因为 ，所以 ，
则 ；
令 ， ， ，，
由于 ，故 ，则 ，
因此 ，
当且仅当 ，即 时取到等号，
所以 .所以 ，
即实数 的取值范围是 .
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（ ）于 年提出的平面几何极值问题：“已
知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．
已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于 时，使得
的点 即为费马点．在锐角 中，角 的对边分别为 ，
且 ．若 是锐角 的“费马点”， ．
（1）求角 ；
（2）若 ；求 的面积；
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（3）若 ，且 ．
①求 的周长；
②求 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）① ；③
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件求解；
（2）利用正三角形的性质，结合费马点定义、余弦定理构造方程求出 ，进而利用三角形面积公
式求解；
（3）利用费马点性质结合余弦定理及三角形面积公式构造方程求出 ，进而求出三角形周长；再结合余
弦定理求出 ．
【小问 1 详解】
由 结合正弦定理 可得 ，
，
，
为锐角三角形，
．
【小问 2 详解】
中， 且 ，
为正三角形，边长 ，
费马点 满足 ，且等边三角形费马点与重心、垂心重合，
设 ，由余弦定理， ，
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即 ，故 ，解得 ，
的面积 ．
【小问 3 详解】
①设 ，由费马点性质， ，故
．
，
由 得：
，即 ，
由余弦定理得， ，
即 ，即 ，
又 ，联立 ，解得 ，
的周长为 ；
②由在 中，由余弦定理得 ，
联立 可得 ，
则 ，
即 ，
．
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