四川省资阳市2023_2024学年高一数学下学期期中试题含解析

这是一份四川省资阳市2023_2024学年高一数学下学期期中试题含解析，共71页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，共计40分.）
1. 已知向量，，则的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由垂直的坐标表示计算后可得．
【详解】，．
故选：D．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】使用诱导公式及逆用余弦的差角公式进行求解.
【详解】．
故选：D．
3. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（ ）
A. B. C. 16D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积.
【详解】在正方形中可得，
由斜二测画法可知，，
且，，
所以四边形为平行四边形，
所以．
故选：B.
4. 已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数模的运算及除法运算化简复数，然后利用复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，所以，所以，
复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
5. 在中，已知，且，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由两边平方得，由化简得，得为等腰直角三角形.
【详解】由得，所以，所以，所以为直角三角形；
由得，
所以 ，所以，
即，因为，所以，所以为等腰三角形；
综上，为等腰直角三角形.
故选：C
6. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，b=2，，则c=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理边角互化可求得，结合面积公式即可求得.
【详解】因为，由正弦定理可得，即，因为，
所以，即，结合△ABC的面积为可知，
解得.
故选：B.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线是图象的一条对称轴
B. 图象的对称中心为，
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
【答案】C
【解析】
【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.
【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ，
所以 ，
将点代入函数解析式中，得：，结合，
所以，故，
对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;
对于B，令，则，
即图象对称中心为，，故B错误；
对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，
故在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；
故选：C
8. 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且E是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察，滑动横档使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，的影子恰好是.然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.

若在一次测量中，，横档的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意推得垂直平分，可得，于是解直角三角形可得的值，由二倍角正弦公式即可求得答案.
【详解】由题意知垂直平分，故，
在中，，则,
则，
而，故，
即太阳高度角的正弦值为，
故选：B
二、多选题（共4小题，共计20分）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 棱柱中每一个面都不会是三角形
B. 各个侧面都是正方形的四棱柱不一定是正方体
C. 经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形
D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形
【答案】BC
【解析】
【分析】ABD可举出反例；C选项，圆锥的两条母线相等，C正确.
【详解】A选项，三棱柱的上底面和下底面是三角形，A错误；
B选项，各个侧面都是正方形，若上下底面是菱形，则这样的四棱柱不一定是正方体，B正确；
C选项，圆锥的两条母线相等，故经过圆锥的两条母线的截面一定是一个等腰三角形，C正确；
D选项，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图不一定是菱形，如图所示，
正方形的直观图不是菱形，

故D错误.
故选：BC
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数（i为虚数单位），则
B. 若复数z满足，则
C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是
D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据复数的运算及相关概念一一判断可得；
【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；
对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；
复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；
若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；
故选：AD
【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.
11. 在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）
A. 若 ，则 ；
B. 若，则一定为等腰三角形；
C. 若，则为直角三角形；
D. 若为锐角三角形，则 .
【答案】AC
【解析】
【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.
【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；
对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；
对于C，，
则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；
对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.
故选：AC.
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 点在所在的平面内，若，则点为的重心
B. 若，为锐角，则实数m的取值范围是
C. 点在所在的平面内，若，，分别表示，的面积，则
D. 点在所在的平面内，满足且，则点是且的内心
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A:设边上的中点为，证明点在边的中线上即可；对于B:利用为锐角，得到,且不共线，计算即可；对于选项C: 由，，设的中点为，设的中点为，可判断三点共线，进而可得面积关系；对于选项D:利用数量积公式可得，，进而得到点是且的内心.
【详解】对于选项A：设边上的中点为,则易得,
因为，所以,
所以，又点公共点，
所以三点共线，即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点为的重心，故A正确；
对于选项B:因为，
所以
因为为锐角，所以,且不共线，
所以，解得且，故选项B错误；
对于选项C: 因为，所以，
如图，设的中点为，设的中点为，
则,所以，
又点为公共点，所以三点共线，且，
所以,又，
所以，故C正确；
对于选项D:由，可得
即，
由，所以，
所以是的角平分线，
由，可得,
即，
由，所以，
所以是的角平分线，
所以点是且的内心，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示及夹角的坐标公式，数形结合法求参数或最值，利用向量的线性关系确定的位置，进而判断面积关系或哪种心.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
本题可通过三角恒等变换将转化为，然后代入进行计算即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
故答案为：.
14. 如图，在边长为2正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.
【详解】由题可知，
所以
.
故答案为：
15. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________．
【答案】2.
【解析】
【详解】
【分析】分析：要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
详解：
由题意知底面圆的直径AB＝2，
故底面周长等于2π.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝，
解得n＝90，
所以展开图中∠PSC＝90°，
根据勾股定理求得PC＝2，
所以小虫爬行的最短距离为2.
故答案为2
点睛：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
16. 在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积的运算化简可得，再设，结合三角形中的余弦定理，根据基本不等式求解即可
【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为
故答案为：
四、解答题（共计70分）
17. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥的表面积；
（2）三棱锥体积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接按照锥体表面积计算即可；
（2）利用正方体的体积减去三棱锥，，，的体积即可.
【小问1详解】
∵是正方体，
∴，
∴三棱锥的表面积为．
【小问2详解】
三棱锥，，，是完全一样的．
且正方体的体积为，故．
18. 在平面四边形中，，，．
（1）若的面积为，求；
（2）记，若，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，然后利用余弦定理可求得的长；
（2）求得，，在中利用正弦定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【小问1详解】
解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
【小问2详解】
解：在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
19. 已知函数（其中）的最大值为2，最小正周期为．
（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称轴方程；
（2）求函数f（x）在上的值域．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，再求出，得到，然后利用定义求出单调性和对称轴方程即可
（2）根据，得出，然后就可以根据，得出函数在上的值域
【详解】解：（1）函数的最大值是2，
，
函数的周期，
则，
则，
由，
得，
即，
即函数的单调递减区间是，
由，
得，
即，
即函数的对称轴方程为；
（2），
，，
则当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为，
即函数在上的值域为．
【点睛】本题考查三角函数的函数性质，解题关键点在于求出的与，属于简单题
20. 在直角梯形中，//.

（1）求；
（2）若与共线，求的值；
（3）若为边上的动点（不包括端点），求的最小值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，求得的坐标，利用数量积的坐标运算即可求得结果；
（2）根据（1）中所求点的坐标，写出与的坐标，根据向量共线的坐标表示，即可求得参数值；
（3）设，求出点的坐标，再求得关于的函数关系，进而求得函数的最小值即可求得结果.
【小问1详解】
过作，易知，又，故可得；
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：

则，，
故.
【小问2详解】
由（1）可知，，
故，
若与共线，则，解得.
【小问3详解】
设，则，易知，
则
则，
对，其对称轴，故其最小只能为；
故的最小值为.
21. 已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值；
（2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解.
【小问1详解】
解：由向量，，
因为，可得，整理得，
即，又因，则.
【小问2详解】
解：由
，
因为，则，所以，
因为对于任意，而恒成立，
则，所以实数的最小值为.
22. 在锐角中，角的对边分别为，S为的面积，且．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理可得，然后利用同角关系式即得；
（2）利用正弦定理及三角恒等变换可得，结合条件可得，进而即得范围，最后换元应用单调性可解.
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴（舍），.
【小问2详解】
∵，
∴，
∴
∵为锐角三角形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
令，
单调递减，单调递增，
当，当，