高考数学二轮复习解答题核心考点提升训练第5讲 数列通项公式与前n项和（2份，原卷版+解析版）

这是一份高考数学二轮复习解答题核心考点提升训练第5讲 数列通项公式与前n项和（2份，原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了已知等比数列满足，记为等差数列的前项和，为数列的前项和，已知，，记为数列的前项和，已知数列满足，，数列满足，，设等差数列的前项和为，且，等内容，欢迎下载使用。
1．已知等比数列满足：，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由已知可得
解得
故．
（Ⅱ）若，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
从而．
若，则是首项为，公比为的等比数列，
从而故．
综上，对任何正整数，总有．
故不存在正整数，使得成立．
2．记为等差数列的前项和．已知．
（1）若，求的通项公式；
（2）若，求使得的的取值范围．
【解析】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，
若，则，变形可得，即，
若，则，
则，
（2）若，则，
当时，不等式成立，
当时，有，变形可得，
又由，即，则有，即，则有，
又由，则有，
则有，
综合可得：的取值范围是，．
高考预测二：裂项相消求和
3．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，．
（Ⅰ）若等差数列满足，求，的通项公式；
（Ⅱ）若＝______，求数列的前项和．
在①；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．
【解析】解：（Ⅰ）设数列的公比为，则．
，
，①
，
，解得（舍负），
代入①得，，
；
则，，②
设数列的公差为，
，
则；
（Ⅱ）选择①：
，，
则，
．
选择②：
，，
则，
，
；
选择③：
由（Ⅰ）知；
．
．
．
4．为数列的前项和，已知，．
（1）求通项公式；
（2）设，数列的前项和，若，求整数值．
【解析】解：（1），，
，
，，
两式相减，得．
，
，
．
数列为常数列，
，所以．
（2）由（1）可得，
令，则，，
，
数列的前项和，
，，
若，且为整数，
当为奇数时，，，由，可得，
当为偶数时，，，由，可得，
．
5．记为数列的前项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】解：（1）由题意，当时，，
整理，得，解得，或（舍去）．
当时，由，可得：
，
两式相减，可得，
整理，得，
，．
数列是首项为4，公差为3的等差数列．
数列的通项公式为，．
（2）由（1）知，．
故
．
6．已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
【解析】解：由题设可得：，
，
；
由（Ⅰ）可得：，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
综上，．
7．已知数列满足，，数列满足，．
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
数列为首项、公比均为2的等比数列，
，
；
（2）解：由（1）可得：，即，
又，
当时，，
又当时，也适合上式，
，
，
．
高考预测三：错位相减求和
8．已知数列满足为实数，且，，，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求的值和的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ）数列满足为实数，且，
，，且，，成等差数列，
所以，即．所以，
由于，所以，解得．
①当时，，②当时，．
所以数列的通项公式为：．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
所以①，则，②
①②得，整理得．
9．设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，得解得，．
因此．
（2）由题意知：
所以，
，
两式相减得
整理得，
所以数列的前项和．
10．设等差数列的公差为前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前项和．
【解析】解：（1）由题设知：，
解得：或，
当时，，；当时，，．
（2）当时，由（1）可得，，，则，
，
又，
两式相减可得：，
整理得：．
高考预测四：分组求和
11．已知等差数列前10项的和是120，前20项的和是440．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的第2项和第5项分别是6和162，求数列的前项和．
【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由题设条件知：，解得：，，
；
（2）设等比数列的公比为，由题设条件知：，解得：，，，
，
所以其前项和为
．
12．已知为数列的前项和，且，，2，
（1）求证：数列为等比数列：
（2）设，求数列的前项和．
【解析】证明：当时，，
整理得，
，
，
，
，
是以1为首项，以2为公比的等比数列．
解：由得，
．
当为偶数时，
；
当为奇数时，可得．
综上，，为奇数），为偶数）．
13．设是等差数列，是等比数列．已知，，，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，其中．
求数列的通项公式；
求
【解析】解：（Ⅰ）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．由，，，，
可得，，
解得，，则，；
（Ⅱ）由数列满足，其中．
；
所以，数列的通项公式为：
；
原式
．