2026年四川省成都市私立名校（高中）自主招生数学试卷(含答案解析)

这是一份2026年四川省成都市私立名校（高中）自主招生数学试卷(含答案解析)，共4页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+9＝0B．4x2﹣4x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列命题中的假命题是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
5．（3分）下列函数：①xy＝1，②，③y＝kx﹣1（k≠0），④y＝3﹣x，其中，y是x的反比例函数的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
6．（3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（ ）
A．80°B．50°C．40°D．20°
7．（3分）下列语句中，正确的有（ ）个．
（1）三点确定一个圆 （2）平分弦的直径垂直于弦
（3）相等的弦所对的弧相等 （4）相等的圆心角所对的弧相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
9．（3分）如图，是一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象，则关于方程的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝2，x2＝﹣1
10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标（﹣1，﹣4）
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．线段AB的长为3
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，则tanA＝ ．
12．（4分）小虹在距离路灯9米的地方，发现自己在地面上的影长是3米，如果小虹的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米．
13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝ ．
14．（4分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 cm2（用n的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）解方程：2x2﹣5x﹣1＝0；
（2）计算：﹣22+tan60°﹣2﹣1+|1﹣2cs30°|．
16．（6分）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别为30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留根号）
17．（8分）如图，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线y＝在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，△APB的面积为4．
（1）求点P的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标．
18．（8分）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
20．（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知y＝x﹣1，那么x2﹣2xy+3y2﹣2的值是 ．
22．（4分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E，PF⊥BD于F，若BE＝3，BF＝，则∠AOC＝ ．
23．（4分）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是 ．
24．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①ab＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）．其中正确的结论有 个．
25．（4分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、﹣1、2、﹣2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，定义点（m，n）在反比例函数上为事件Qk（﹣4≤k≤4，k为整数），当Qk的概率最大时，则k的所有可能的值为 ．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根．
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．
27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
28．（12分）如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021年四川省成都市私立名校（高中）自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理，可得斜边的长，根据正弦函数，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得
斜边的长为＝5，
sinα＝，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正弦函数是对边比斜边是解题关键．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+9＝0B．4x2﹣4x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0
【分析】逐一分析四个选项根的判别式的符号，由此即可得出结论．
【解答】解：A、Δ＝02﹣4×9＝﹣36＜0，
∴该方程没有实数根；
B、Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴该方程有两个相等的实数根；
C、Δ＝11﹣4×1×1＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根；
D、Δ＝11﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
3．（3分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱．
故选：A．
【点评】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
4．（3分）下列命题中的假命题是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据菱形、正方形、平行四边形的判定来做题即可．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，此命题正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，此命题正确；
C、一个角是直角的四边形是矩形，此命题错误；如图：
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此命题正确．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，解题的关键是掌握菱形、正方形、平行四边形的有关判定定理．
5．（3分）下列函数：①xy＝1，②，③y＝kx﹣1（k≠0），④y＝3﹣x，其中，y是x的反比例函数的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【分析】根据反比例函数的定义（一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数反比例函数）做出判断与选择．
【解答】解：①由原方程知，y＝；符合反比例函数的定义；故本选项正确；
②符合反比例函数的定义；故本选项正确；
③反比例函数的一般式（k≠0）可以转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．故本选项正确；
④y＝3﹣x属于一次函数；故本选项错误；
综上所述，y是x的反比例函数的有①②③；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
6．（3分）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠DCF等于（ ）
A．80°B．50°C．40°D．20°
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴（垂径定理），
∴∠DCF＝∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠DCF＝20°．
故选：D．
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力．
7．（3分）下列语句中，正确的有（ ）个．
（1）三点确定一个圆 （2）平分弦的直径垂直于弦
（3）相等的弦所对的弧相等 （4）相等的圆心角所对的弧相等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，以及圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理对各小题分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故本小题错误；
（2）平分弦的直径，当被平分的弦是直径是直径不垂直于弦，故本小题错误；
（3）相等的弦不在同圆或等圆中，所对的弧不一定相等，故本小题错误；
（4）相等的圆心角不在同圆或等圆中所对的弧不一定相等，故本小题错误；
综上所述，正确的有0个．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，圆幂性质以及圆周角定理，熟记定理与性质是解题的关键．
8．（3分）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵﹣＝1，∴点（﹣3，1）在它的图象上，故本选项正确；
B、k＝﹣3＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；
C、k＝﹣3＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、k＝﹣3＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
9．（3分）如图，是一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象，则关于方程的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣2，x2＝﹣1
C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝2，x2＝﹣1
【分析】根据题意可知，函数图象的交点坐标即为方程的解，根据格点找到交点坐标就可找到方程的解．
【解答】解：由图可知，两函数图象的交点坐标为（1，2）；（﹣2，﹣1）；
则两横坐标为1和﹣2，
∵函数的交点坐标符合两个函数的解析式，
∴函数的交点坐标就是方程组的解，
∴x＝1或x＝﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，找到两图象的交点坐标是解题的关键．
10．（3分）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．顶点坐标（﹣1，﹣4）
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．线段AB的长为3
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据解析式y＝x2+bx+c可知二次项系数为1，根据图象可知对称轴为x＝﹣1，据此可求出b的值，由二次函数的性质可知，c＝﹣3，从而得到二次函数的解析式，然后依据解析式对A、B、C、D进行判断．
【解答】解：由图可知，对称轴为﹣＝﹣1，b＝2；
c＝﹣3，
则函数解析式为y＝x2+2x﹣3．
其顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
由图可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1；x2＝﹣3．
可知线段AB长为1﹣（﹣3）＝4，
由图可知当﹣3＜x＜1时，y＜0．
可见，只有A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，根据图象求出解析式是关键一步，另外，要充分利用图象所提供的条件解答．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，则tanA＝ ．
【分析】根据cs30°＝得到∠A＝30°，则tanA＝tan30°，然后根据tan30°＝即可得到答案．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，csA＝，
∴∠A＝30°，
∴tanA＝tan30°＝．
故答案为．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin30°＝，cs30°＝，tan30°＝．
12．（4分）小虹在距离路灯9米的地方，发现自己在地面上的影长是3米，如果小虹的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 6.4 米．
【分析】先根据题意画出图形，利用相似三角形的判定定理得出△ECD∽△EBA，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AB的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ECD∽△EBA，
∴，
而CD＝1.6，AD＝9，DE＝3，
∴AE＝9+3＝12
∴＝，
∴AB＝6.4米．
故答案为：6.4．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意画出图形，利用相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．
13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则BC＝ 6 ．
【分析】由已知可证∠BDA＝30°；根据BD为⊙O的直径，可证∠BAD＝90°，得∠DBC＝30°，即∠DBA＝60°，所以BC＝AD＝6．
【解答】解：连接CD．
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠CBA＝∠BCA＝30°．
∴∠BDA＝∠ACB＝30°．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，∠BDA＝30°，
∴∠DBC＝90°﹣30°﹣30°＝30°，
∴∠DBA＝60°，∠BDC＝60°，
∴BC＝AD＝6．
【点评】本题重点考查了同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．
14．（4分）如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 cm2（用n的代数式表示）．
【分析】过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E，根据正方形的性质可得A1D＝A1E，四边形A1EFD是正方形，再根据同角的余角相等求出∠BA1D＝∠CA1E，然后利用“角边角”证明△A1BD和△A1CE全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可．
【解答】解：如图，过点A1分别作正方形两边的垂线A1D与A1E，
∵点A1是正方形的中心，
∴A1D＝A1E，四边形A1EFD是正方形，
∴∠BA1D+∠BA1E＝90°，
又∵∠CA1E+∠BA1E＝90°，
∴∠BA1D＝∠CA1E，
在△A1BD和△A1CE中，
，
∴△A1BD≌△A1CE（ASA），
∴△A1BD的面积＝△A1CE的面积，
∴阴影部分的面积＝正方形A1EFD的面积＝×12＝（cm2），
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为cm2，
∴重叠部分的面积和＝×（n﹣1）＝（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形求出阴影部分的面积是正方形的面积的是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分）
15．（12分）（1）解方程：2x2﹣5x﹣1＝0；
（2）计算：﹣22+tan60°﹣2﹣1+|1﹣2cs30°|．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x＝求出即可；
（2）求出﹣22＝﹣4，＝2，tan60°＝，cs30°＝，代入求出即可．
【解答】解：（1）a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣1）＝33，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
解：（2）原式＝﹣4+2×﹣+|1﹣2×|，
＝﹣4+6﹣+﹣1，
＝+．
【点评】本题考查了解二元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点的应用，主要培养学生的计算能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
16．（6分）广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别为30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留根号）
【分析】设AP＝x，先在Rt△APE中利用30的正切可表示出AE＝x，再在Rt△BFP中利用等腰直角三角形的性质表示出BF＝BP＝x+1，接着利用AE＝CD+BF得方程x＝5+x+1，然后解方程求出x，最后计算PA+AB+BO即可．
【解答】解：如图，
设AP＝x，
在Rt△APE中，∵∠AEP＝30°，
∴tan∠APE＝tan30°＝＝，
∴AE＝x，
在Rt△BFP中，∵∠BFP＝45°，
∴BF＝BP＝AB+AP＝x+1，
∵AE＝CD+BF，
∴x＝5+x+1，解得x＝3+3，
∴PO＝PA+AB+BO＝3+3+1+0.5＝3+4.5．
答：此气球有高度为（3+4.5）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．
17．（8分）如图，直线y＝x+1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线y＝在第一象限内的交点，PB⊥x轴，垂足为点B，△APB的面积为4．
（1）求点P的坐标；
（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标．
【分析】（1）求出直线y＝x+1与x轴，y轴于点A，C，根据点P在直线y＝x+1上，可设点P的坐标为（m，m+1），根据S△APB＝AB•PB就可以得到关于m的方程，求出m的值．
（2）根据△APB的面积为4．就可以得到k＝4，解反比例函数与一次函数解析式组成的方程组，就得到直线与双曲线的交点．
【解答】解：（1）y＝x+1，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，1）．（1分）
∵点P在直线y＝x+1上，可设点P的坐标为（m，m+1），
又∵S△APB＝AB•PB＝4，
∴（2+m）（m+1）＝4．（2分）
即：m2+4m﹣12＝0，
∴m1＝﹣6，m2＝2．
∵点P在第一象限，
∴m＝2．（3分）
∴点P的坐标为（2，2）；（4分）
（2）∵点P在双曲线y＝上，
∴k＝xy＝2×2＝4．（5分）
∴双曲线的解析式为y＝．（6分）
解方程组得，（8分）
∴直线与双曲线另一交点Q的坐标为（﹣4，﹣1）．（9分）
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式．
18．（8分）有一个可自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1，2，3，4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0，1，3的三个小球（除数不同外，其余都相同），小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；
（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平．
【解答】解：
（1）画树状图如下：
或列表如下：
由图（表）知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，所以，积为0的概率为．
（2）不公平．
因为由图（表）知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种．所以，积为奇数的概率为，
积为偶数的概率为．
因为，所以，该游戏不公平．
游戏规则可修改为：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢．
【点评】本题考查用树状图或列表法解决需两步完成的概率题，判断游戏的公平性，并修改游戏规则．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【分析】（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE＝BE＝DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3＝90°即∠ADB＝90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD．
∴AE＝CF．
在△AED和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BE＝DE．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴2∠2+2∠3＝180°．
∴∠2+∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴▱四边形AGBD是矩形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
20．（10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC＝30°，CD⊥OC于C，ED⊥AB于F，
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF＝，求证：△DCE≌△OCB．
【分析】（1）△DCE为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角∠ABC的度数，求出圆心角∠AOC的度数为60°，再由OA＝OC，得到三角形OAC为等边三角形，可得出三内角为60°，再由OC与CD垂直，根据垂直的定义得到∠OCD为直角，利用平角的定义求出∠DCE为30°，又EF垂直于AB，得到∠AFE为直角，由∠A为60°，得出∠E为30°，可得出∠DCE＝∠E，根据等角对等边可得出DC＝DE，即三角形DCE为等腰三角形；
（2）由半径为1及OF的长，根据AO+OF求出AF的长，在直角三角形AEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长得出AE的长，再由AE﹣AC求出CE的长，在直角三角形ABC中，由AB为直径，∠B为30°，根据锐角三角函数定义求出BC的长，发现BC＝CE，再由三角形BOC与三角形DCE都为底角为30°的等腰三角形，得到两对底角相等，利用ASA可得出两三角形全等．
【解答】解：（1）△DCE为等腰三角形，理由为：
∵∠ABC＝30°，圆周角∠ABC与圆心角∠AOC都对，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
又∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝60°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵EF⊥AF，
∴∠AFE＝90°，
∴∠E＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴∠DCE＝∠E，
∴DC＝DE，
则△DCE为等腰三角形；
（2）∵OA＝OB＝1，OF＝，
∴AF＝AO+OF＝1+＝，OA＝AC＝OC＝1，
在Rt△AEF中，∠E＝30°，
∴AE＝2AF＝+1，
∴CE＝AE﹣AC＝+1﹣1＝，
又∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴cs30°＝，即BC＝ABcs30°＝，
∴CB＝CE＝，
在△OBC和△DCE中，
∵，
∴△OBC≌△DCE（ASA）．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）已知y＝x﹣1，那么x2﹣2xy+3y2﹣2的值是 1 ．
【分析】将代数式x2﹣2xy+3y2﹣2化简，再将y＝x﹣1代入即可求得代数式的值．
【解答】解：∵y＝x﹣1，∴x2﹣2xy+3y2﹣2＝（x2﹣6xy+9y2）﹣2＝（x﹣3y）2﹣2＝×9﹣2＝1．
【点评】熟悉完全平方公式的变形，注意该题的简便方法．
22．（4分）如图，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E，PF⊥BD于F，若BE＝3，BF＝，则∠AOC＝ 45° ．
【分析】首先由∠CBD＝∠ABC，PE∥AB，可证得△PBE是等腰三角形，又由BE＝3，BF＝，即可求得PE与EF的长，再由PF⊥BD，由特殊角的三角函数值，即可求得∠PEF的度数，继而求得∠AOC的度数．
【解答】解：∵PE∥AB，
∴∠BPE＝∠ABC，
∵∠CBD＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠BPE，
∴PE＝BE＝3，
∵BF＝，
∴EF＝BF﹣BE＝，
∵PF⊥BD，
∴在Rt△PEF中，cs∠PEF＝＝，
∴∠PEF＝45°，
∵∠PEF＝∠PBE+∠BPE＝2∠PBE＝2∠ABC＝45°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意有平行线与角平分线，可以构造等腰三角形．
23．（4分）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y＝（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是 1≤k≤4 ．
【分析】设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，则A（1，1），而AB＝AC＝2，则B（3，1），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，E为BC的中点，由中点坐标公式求E点坐标，当双曲线与△ABC有唯一交点时，这个交点分别为A、E，由此可求k的取值范围．
【解答】解：如图，设直线y＝x与BC交于E点，分别过A、E两点作x轴的垂线，垂足为D、F，EF交AB于M，
∵A点的横坐标为1，A点在直线y＝x上，
∴A（1，1），
又∵AB＝AC＝2，AB∥x轴，AC∥y轴，
∴B（3，1），C（1，3），且△ABC为等腰直角三角形，
BC的中点坐标为（，），即为（2，2），
∵点（2，2）满足直线y＝x，
∴点（2，2）即为E点坐标，E点坐标为（2，2），
∴k＝OD×AD＝1，或k＝OF×EF＝4，
当双曲线与△ABC有唯一交点时，1≤k≤4．
故答案为：1≤k≤4．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．注意直线，三角形的特殊性，根据双曲线上点的坐标特点求解．
24．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①ab＞0；②a+c＞b；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤m（am+b）＜a+b（m≠1的实数）．其中正确的结论有 4 个．
【分析】由对称轴的位置判断ab的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，故此选项错误；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＞b，此选项正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，此选项正确；
④当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，
即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，此选项正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确．
故有②③④⑤4个正确．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
25．（4分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、﹣1、2、﹣2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，定义点（m，n）在反比例函数上为事件Qk（﹣4≤k≤4，k为整数），当Qk的概率最大时，则k的所有可能的值为 ±2 ．
【分析】首先根据题意列出表格，然后根据表格求得k取不同值时的概率，比较大小即可确定k的所有可能的值．
【解答】解：列表得：
∴点（m，n）共有16种可能性，
∵若点（m，n）在反比例函数上，
则k＝mn，
∵P（k＝﹣4）＝＝，P（k＝﹣1）＝＝，P（k＝﹣2）＝＝，P（k＝1）＝＝，P（k＝2）＝＝，P（k＝4）＝＝，
∴当Qk的概率最大时，k＝±2．
故答案为：±2．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率与反比例函数的性质．此题难度适中，解题时注意列表法与树状图法可以不重不漏的列出所有等可能的情况，然后根据概率公式求得概率．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
26．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．
（1）m取何值时，方程有两个正实数根．
（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．
【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，而a、b都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b＝m+1＞0，ab＝m2+1＞0，可解得m＞﹣1，综合可得到m的取值范围；
（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2＝（）2，变形有（a+b）2﹣2ab＝5，把a+b＝m+1，ab＝m2+1代入得（m+1）2﹣2（m2+1）＝5，整理得到m2+4m﹣12＝0，解方程得到m1＝2，m2＝﹣6，然后即可得到符合条件的m的值．
【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，
∵关于x的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，
∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，
a+b＝m+1＞0，ab＝m2+1＞0，解得m＞﹣1，
∴m≥时，方程有两个正实数根；
（2）∵矩形的对角线长为，
∴a2+b2＝（）2，
∴（a+b）2﹣2ab＝5，
∴（m+1）2﹣2（m2+1）＝5，
即m2+4m﹣12＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥，
∴m＝2，
所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＞0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．
27．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
【分析】（1）根据对称性可得HD＝HA，那么可得∠HDQ＝∠A，加上已有的两个直角相等，那么所求的三角形相似；
（2）分0＜x≤2.5；2.5＜x≤5两种情况讨论，得到y关于x的函数关系式，再利用二次函数的最值即可求得最大值；
（3）等腰三角形有两边相等，根据所在的不同位置再分不同的边相等解答．
【解答】（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴∠HQD＝∠C＝90°，HD＝HA，
∴∠HDQ＝∠A，
∴△DHQ∽△ABC．
（2）解：①如图1，当0＜x≤2.5时，
ED＝10﹣4x，QH＝AQtanA＝x，
此时y＝（10﹣4x）×x＝﹣+x，
当x＝时，最大值y＝，
②如图2，当2.5＜x≤5时，
ED＝4x﹣10，QH＝AQtanA＝x，
此时y＝（4x﹣10）×x＝﹣x＝（x﹣）2﹣．
当2.5＜x≤5时，y有最大值，
当x＝5时，最大值为y＝，
∴y与x之间的函数解析式为y＝，
则当2.5＜x≤5时，y有最大值，其最大值是y＝．
综上可得，y的最大值为．
（3）解：①如图1，当0＜x＜2.5时，
若DE＝DH，∵DH＝AH＝＝x，DE＝10﹣4x，
∴10﹣4x＝，x＝．
∵∠EDH＞90°，
∴EH＞ED，EH＞DH，
即ED＝EH，HD＝HE不可能；
②如图2，当2.5＜x≤5时，
若DE＝DH，4x﹣10＝，x＝；
若HD＝HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x＝5，
若ED＝EH，则∠ADH＝∠DHE，
又∵点A、D关于点Q对称，
∴∠A＝∠ADH，
∴△EDH∽△HDA，
∴＝，x＝，
∴当x的值为，5，，时，△HDE是等腰三角形．
【点评】本题综合考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等问题，注意分不同位置，边长相等的不同情况探讨三角形为等腰三角形的条件．
28．（12分）如图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知了顶点的横坐标，可用顶点式来设二次函数的解析式如：y＝a（x﹣4）2+k，根据二次函数过点（0，），可得出＝16a+k；由于A、B关于x＝4对称，且AB＝6，不难得出A、B的坐标为（1，0），（7，0），可将它们的坐标代入解析式中即可求出a、k的值．
（2）本题的关键是确定P的位置，由于对称轴垂直平分AB，因此P不论在对称轴的什么位置都有PA＝PB，连接DB，如果P是交点时，PA+PD的长就是BD的长，两点之间线段最短，因此要想PA+PD最小，P必为DB与对称轴的交点．可根据B、D的坐标求出BD所在直线的解析式，然后求出与抛物线对称轴的交点．即可得出P点的坐标．
（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB与三角形ABC相似，三角形QAB必须为等腰三角形．要分两种情况进行讨论：
①当Q在x轴下方时，Q，C重合，Q点的坐标就是C点的坐标．
②当Q在x轴上方时，应该有两个符合条件的点，抛物线的对称轴左右两侧各一个，且这两点关于抛物线的对称轴相对称．因此只需求出一点的坐标即可．以AQ＝AB为例：可过Q作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，根据BQ即AB的长以及∠QBx的度数来求出Q的坐标．然后根据对称性求出另外一点Q的坐标．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y＝a（x﹣4）2+k，＝16a+k①
又∵对称轴为直线x＝4，图象在x轴上截得的线段长为6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0＝9a+k②
由①②解得a＝，k＝﹣
∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣4）2﹣
（2）∵点A、B关于直线x＝4对称
∴PA＝PB
∴PA+PD＝PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x＝4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM＝∠BDO，
又∵∠PBM＝∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，）
（3）由（1）知点C（4，），
又∵AM＝3，
∴在Rt△AMC中，cs∠ACM＝，
∴∠ACM＝60°，
∵AC＝BC，
∴∠ACB＝120°
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N
如果AB＝BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ＝6，∠ABQ＝120°，则∠QBN＝60°
∴QN＝3，BN＝3，ON＝10，
此时点Q（10，），
如果AB＝AQ，由对称性知Q（﹣2，）
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，
此时点Q的坐标是（4，），
经检验，点（10，）与（﹣2，）都在抛物线上
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC
点Q的坐标为（10，）或（﹣2，）或（4，）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质等知识点．要注意（2）中确定P点位置的方法．在（3）中不确定Q位置的情况下要分类进行讨论，不要漏解1
2
3
4
0
0
0
0
0
1
1
2
3
4
3
3
6
9
12
（1，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（2，﹣2）
（﹣2，﹣2）
（1，2）
（﹣1，2）
（2，2）
（﹣2，2）
（1，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（2，﹣1）
（﹣2，﹣1）
（1，1）
（﹣1，1）
（2，1）
（﹣2，1）