2026年广东清远市连州市初中学业水平适应性考试（二）数学试卷（含解析）

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本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
说明：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可．
【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个，
故选：B．
2. 是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值大于等于10时，等于原数变为时小数点向左移动的位数．
【详解】解：将3370万用科学记数法表示为．
3. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. 15D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故选：B
4. 如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体，从左面看得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从左面看得到的图形可得答案．
【详解】解：由图可知，从左面看得到的图形为：
故选：A．
5. 如图，在中，，分别是边，上的中点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，根据，分别是边，上的中点，可得是的中位线，继而得到，再根据平行线的性质可得答案．解题的关键是掌握中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
【详解】解：∵在中，，分别是边，上的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∴，
即的度数为．
故选：B．
6. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（ ）
A. 5B. 6C. 9D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义得出答案．
【详解】解：∵处于这组数据中间位置的两个数是5、x，
∴，
∴，
即这组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，7，7，9，
这组数据中7出现的次数最多，
∴这组数据的众数是7，
故选：D．
本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．
7. 某书城预计2026年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同，设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均增长率的增长规律，用第一年的人次表示出第三年的人次，结合已知第三年的人次即可列出方程
【详解】解：∵设年平均增长率为，第一年进书城人次为
∴第二年进书城人次为
∴第三年进书城人次为
∵已知第三年进书城人次为
∴可列方程为
8. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ）
A. 小明家到体育馆的距离为B. 小明在体育馆锻炼的时间为
C. 小明家到书店的距离为D. 小明从书店到家步行的时间为
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误；
小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误；
小明家到书店的距离为；故选项C正确；
小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误；
故选C．
9. 如图，点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，且，．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形内的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60，解直角三角形得到AB＝，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝，根据概率公式即可得到结论．
【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120，
∵AB＝AC，BO＝CO，
∴AO⊥BC，∠BAO＝60，
∵BC＝2，
∴BO＝1，
∴AB＝BO÷cs30°=，
∴扇形ABC的面积＝，
∵⊙O的面积＝，
∴飞镖落在扇形ABC内的概率是=，
故选：C．
本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，，是边的中点，连接，过点作交于点，连接，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，再利用余弦的定义即可求解．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了立方根的意义以及零指数幂法则、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的意义以及零指数幂法则、特殊角的三角函数值分别化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______．
【答案】
4
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质．
先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可．
【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ，
即，，解得．
故答案为：．
14. 如图，已知，，，则________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，因为，所以，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，写出一个符合题意的二次函数的表达式________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，，当时，开口向上，即可作答．
【详解】解：设，
∵二次函数的图象开口向上，且经过点，
∴，
故答案为：（答案不唯一）
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 以下是小明同学解方程的过程．
【解析】方程两边同时乘，得.
第一步解得
第二步检验：当时，.第三步
所以，原分式方程的解为.第四步
(1)小明的解法从第________步开始出现错误；
(2)写出解方程的正确过程．
【答案】(1)一(2) x＝4
【解析】
【详解】试题分析：
（1）去分母是，每一项都要乘以最简公分母.
(2)去分母，化为一元一次方程，解方程，检验.
试题解析：
(1)一
(2)方程两边同时乘(x－3)，得1－x＝－1－2x＋6，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x－3≠0.
所以，原分式方程的解为x＝4.
点睛：辨析分式与分式方程
（1）分式，整式A除以整式B,可以表示成的的形式.如果B中含有字母,那么称 为分式.分式特点是没有等号，分式加减一般需要通分.
（2）分式方程，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.特点是有等号，要先确定最简公分母，去分母的时候要每一项乘以最简公分母，所以一般不需要通分，而且要检验.
17. 如图，为的直径，点为外一点，，连接交于点，连接，过作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）由，得，由，得，所以，则；
（2）连接，作于点F，由为的直径，得，由，，且，得，，可求得，由，求得，则，可证明，则，所以．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：连接，作于点F，
则，
∵为的直径，
∴，
∵，，且，
∴，，
∴
∵
∴，
∴
∵与相切于点B，
∴于点B，
∴，
∵，
∴
则
∴的长为．
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
18. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？
【答案】（1）；
（2）此球一定能投中．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
（2）令，求出的值，与比较即可作出判断．
【小问1详解】
解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
，，
设二次函数解析式为，
将点代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
【小问2详解】
解：将点坐标代入抛物线解析式得：
，
左边右边，
即点在抛物线上，
此球一定能投中．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 已知：如图，在中，，分别是边，的中点，连接．，且，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，，求证：．
【答案】（1）证明：∵，分别是边，的中点，
∴是的中位线，
∴，．
∵，．
∴，．
∴四边形是平行四边形．
（2）∵，．
∴是等边三角形．
∴．
由，分别是边，的中点，得．
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
∴．
【解析】
【分析】（1）根据中位线的性质得出，，然后结合题意及平行四边形的判定即可证明；
（2）根据题意得出是等边三角形，再由中位线的性质确定，结合菱形的判定和性质即可证明
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
20. 临汾市交警部门在全市开展了安全使用电瓶车专项宣传活动，在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车的市民，就骑电动车戴安全头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表：

活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表
（1）“活动前骑电动车戴安全头盔情况统计表”中“m”的值为________；
（2）全市约有400万人使用电动车，请估计活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数．
（3）小光认为宣传活动后骑电动车“都不戴”安全头盔的人数为170，比活动前增加了2人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．他的说法是否合理？为什么？
【答案】（1）567 （2）约67.2万人
（3）不合理，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
（1）用1000减去A、B、D的人数即可求出m的值；
（2）用该市的总人数乘以“都不戴”安全头盔的人数所占的百分比即可；
（3）分别求出宣传活动前后骑电瓶车“都不戴”安全头盔所占的百分比，再进行比较，即可得出小光的分析不合理．
【小问1详解】
解：（人）；
故答案为：567；
【小问2详解】
解：活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数：（万人）
答：活动前全市骑电动车“都不戴”安全头盔的总人数约有67.2万人．
【小问3详解】
解：小光的分析不合理．
理由：宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽所占的百分比为，
活动前“都不戴”安全帽所占的百分比为，
由于，因此交警部门开展的宣传活动有效果．
21. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．

（1）求的长．
（2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度．（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可解答；
（2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小即可解答．
【小问1详解】
解：如图，过点B作于点E，
在中，
∴，
在中，，，
∵，
∴．
答：．
【小问2详解】
解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，
在中，，
∴，
∴，
在中，,
∴，
∴，
∴，即云梯大约旋转了．
本题主要考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解答本题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 已知二次函数．
（1）若函数图象经过点，解决下列问题：
①求该二次函数的表达式；
②若将平面内一点向左平移个单位，到达图象上的点；若将点向右平移个单位，则到达图象上的点，求点坐标．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】（1）①；②
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键．
（1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答；
（2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可．
【小问1详解】
解：①将代入可得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，
解得：，
把代入，
得，即．
【小问2详解】
证明：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
23. 如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．
【解析】
【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC.
（2）MB=MC．
理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.
∵CE∥BD，
∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点，
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中，
∠MCE=∠MFD，
∠MEC=∠MDF，
MD=ME，
∴△MCE≌△MFD（AAS）.
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中，
MF=MC，
∠FMB=∠CMG，
BM=MG，
∴△MFB≌△MCG（SAS）.
∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，
∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.
∴FC=GB.
∴MB=GB=FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC=CG=BF=MB．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
类别
人数
A类（每次戴）
10
B类（经常戴）
255
C类（偶尔戴）
m
D类（都不戴）
168
合计
1000