2025年广东省清远市连州中学中考模拟试二数学试卷（含答案）

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本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．
说明：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中，是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查有理数判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断．
【详解】解：A． 是无理数；
B． 为无理数；
C． 为无理数；
D．为有理数；
故选：D．
2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
B选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
C选项既是中心对称图形又是轴对称图形；
D选项既不是中心对称图形又不是轴对称图形；
故选：C．
3. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故选C．
4. 如图，在中，外角，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
【详解】解：由三角形的外角性质，得．
因为，，
所以．
故选B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式的除法法则，单项式的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方法则分别计算即可得解．
本题考查整式的运算，涉及单项式的除法法则，单项式的乘法法则，合并同类项法则以及积的乘方法则，熟记运算法则是解题关键．
【详解】解：A、，故A选项正确；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项错误；
故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，点关于轴对称的点的坐标为．
正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故选A．
7. 把一副普通扑克牌中的5张红桃牌2，3，4，5，6洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，则抽到牌面数字是3的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可．熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：共有5张牌，其中是3的倍数有2张，为3，6，则所求概率为．
故选D．
8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小陶家有一个菱形中国结装饰如图1所示，其示意图如图2所示，测得，，则该菱形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，，
．
故选：B．
9. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：，
可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵，，是抛物线上的三点，
且，
∴，
故选：D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，若，则的值为（ ）
A. 1.5B. 2C. 2.5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入即可求得b的值．
【详解】解：联立，
解得或，
∵，
∴，即点的坐标为．
如图，分别过点作轴，轴，垂足分别为．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
又∵，
∴，
∵，即，
∴，即点的纵坐标为2．
将代入，得，即点的坐标为．
由平移的性质得直线的解析式为，
将点代入，得．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：_______．
【答案】
【解析】
【分析】将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为．
故答案为：．
13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 已知是分式方程的解，则m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的解， 把代入分式方程，即可得出关于m的方程，求解即可．
【详解】解：把代入，可得出：
，
解得：，
故答案为：
15. 如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接．若，，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形的边角性质，含的直角三角形的边的性质，扇形的面积计算公式，熟练掌握把不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
过点E作于点H，根据矩形四个角都是直角，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，根据，得到，，然后根据求解即可．
【详解】过点作，垂足为，
四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
．
，
，
．
．
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的性质，零指数幂的意义，先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解：原式．
17. 如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）作的角平分线，与的交点即为M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，进而可得，即为半径．，由此可得直线与相切．
问题主要考查了角平分线的判定和性质，以及切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，点为所求．
【小问2详解】
证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
18. 某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图是某款篮球架，图是其示意图，已知立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，，，．

（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）；
（2）该运动员能挂上篮网，理由见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度，再根据的长度判断能否挂上篮网．
根据可知，根据直角三角形两锐角互余可得；
延长交于点，根据对顶角相等可知，利用锐角三角函数可求出，从而可得，所以该运动员能挂上篮网．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
如图，延长交于点，
，，
，
又，
在中，，
，
该运动员能挂上篮网．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 学校图书馆有励志、文学、科技及漫画四类图书．为了解学生上周图书借阅情况（每人仅限借阅一本），图书管理员统计后绘制了如图所示的不完整的表格和扇形统计图．
请根据图表中所给的信息解答以下问题：
（1）借阅人数最少的是________类图书，表示“文学类”的扇形的圆心角是________°；
（2）借阅科技类图书人数多少？
（3）如果借阅漫画类图书的人数占全校学生总人数的2％，那么全校学生总人数是多少？
【答案】（1）科技，115.2；
（2）60； （3）3450．
【解析】
【分析】本题主要考查扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图的特点，求出各部分的数量．
（1）先求出总人数，再分别求出四种图书的借阅人数，进行比较可得借阅人数最少的图书；用360度乘以文学类所占的百分比可得“文学类”的扇形的圆心角；
（2）由（1）可得答案；
（3）根据借阅漫面类图书的人数估算出全校学生的总人数即可．
【小问1详解】
调查的总人数：人，
科技类人数：人，
漫画类：人，
∵，
∴借阅人数最少的是科技类图书．
“文学类”的扇形的圆心角是：．
故答案为：文学，115.2；
【小问2详解】
由（1）可知，借阅科技类图书人数是60人．
【小问3详解】
由题意可得（人），
即全校学生总人数是3450．
20. 今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
（1）求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
（2）今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？
【答案】（1）2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为；
（2）当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键：
（1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可；
（2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可．
【小问1详解】
解：设年平均增长率为，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为．
【小问2详解】
当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元．
设总利润为元，依题意，
得．
当时，有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
21. 如图1，在中，，D为的中点，连接，过点D作交于点E．
（1）若，求的面积；
（2）如图2，F为边上一点，连接，过点D作交于点G，请判断线段与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）含30度角的直角三角形，求出的长，斜边上的中线，得到，进而得到为等边三角形，求出的长，过点作，求出的长，再利用面积公式进行计算即可；
（2）证明，得到，再根据，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
过点作，则：，
∴，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 如图1，在正方形中，P为对角线上一点，且，垂足为E．
【知识技能】
（1）图1中线段和之间的数量关系是__________；
【数学理解】
（2）若将图1中的绕点C顺时针旋转，使P点落在上，连接，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探索】
（3）在（2）的基础上，延长交于点F，若，求的长．
【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求解；
（2）作且，构造是等腰直角三角形，证明，再证四边形是平行四边形，推出,即可证明；
（3）过点B，D作的垂线，垂足为K，M，证明，再结合（2）中结论证明平分，推出是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，，，
是等腰直角三角形，
,
，，
是等腰直角三角形，
,
,
即，
图1中线段和之间的数量关系是；
（2）（1）中的结论是否仍然成立，．
证明：如图，作且，则是等腰直角三角形，连接，，
,
，
，即，
在和中，
，
,,
,
,
,
又,
四边形是平行四边形，
,
是等腰直角三角形，
，
；
（3）如图，过点B，D作的垂线，垂足为K，M，
,
,
又,,
,
,
四边形是正方形，，
,
,
,
,
,
，
由（2）知四边形是平行四边形，
，
，
由（2）知是等腰直角三角形，
平分，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等，综合应用上述知识，正确添加辅助线是解题的关键．
23. 【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．

【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】
（1）；
（2），，；
（3）或或或16
【解析】
【分析】（1）先设出抛物线的解析式，利用待定系数法，将三点坐标代入求出抛物线的解析式；
（2）先利用平行四边形性质，得出，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标；
（3）分，，三种情形，分别求解，求出的长．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上所述，的长为或或或16．
【点睛】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形判定与性质等知识点，熟悉相关性质，进行分类讨论，并结合图形进行求解是解题关键．
借阅人数
励志类图书
75
科技类图书
文学类图书
96
漫画类图书