2026年广东清远市清城区初中学业水平第二次模拟测试数学试卷（含解析）

这是一份2026年广东清远市清城区初中学业水平第二次模拟测试数学试卷（含解析），共7页。试卷主要包含了过点作交轴于点等内容，欢迎下载使用。
（本试卷共8页，23小题，满分120分．考试用时120分钟．）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号码，再用2B铅笔把准考证号对应数字涂黑．
2．选择题用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息涂黑；非选择题用黑色墨水的钢笔或签字笔作答．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各数中比大的数是（ ）
A. 0B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先估算出的大致范围，再将各选项的数和比较大小，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，即，
比较各选项可得：，，，，
因此比大的数是2．
2. 下列几何体中；主视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看到的图形即为主视图求解即可．
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意；
C、三棱柱的主视图是长方形，不符合题意；
D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．
3. 清远立足“生态文化体验”核心优势，以“请到清远过大年”为主题，推出多元产品体系，叠加广清城际、高速公路网等交通红利，成为大湾区市民新春出游的热门目的地；2026年春节假期，清远市接待游客3287000人次；数据3287000用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：数据3287000用科学记数法表示为．
4. 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．
根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．
【详解】解：．
故选D．
5. 如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，根据直尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角定理计算即可．
【详解】解：如图，设两直尺分别交于点，
∵ 两个三角尺的竖直直角边在同一直线上（或均垂直于水平线） ， ，
∴ ，
∴ ．
6. 在方差计算公式中，数据2026和25分别表示（ ）
A. 该组数据的个数和方差B. 该组数据的个数和平均数
C. 该组数据的方差和个数D. 该组数据的平均数和个数
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差的定义对比判断即可．
【详解】解：方差的标准计算公式为 ，
∵公式中表示该组数据的个数，表示该组数据的平均数，
∴对比题目给出的方差公式，可得对应公式中的，是该组数据的个数，对应公式中的，是该组数据的平均数，
故选B符合题意．
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为；
故选：B．
8. 如图，点在以为直径的上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆周角定理，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
故选：．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
，
∴．
．
10. 如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断．
【详解】解：∵的图象经过点，
∴，
当时，，
即在函数的图象上．
又∵在的图象上．
∴与相交于点．
则函数图象如图．
则不等式的解集为．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 已知一个边形的内角和是，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题利用多边形内角和公式建立一元一次方程，求解方程即可得到的值.
【详解】解：由题意，，
解得 .
12. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，设另一个根为，则由根与系数的关系得到，解得，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：一元二次方程有一个根为2，
设另一个根为，
，解得，
故答案为：．
13. 篮球运动员在罚球线投篮球的运动轨迹是一条抛物线．设篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，当________米时，篮球达到运动轨迹的最高点．
【答案】
【解析】
【分析】由二次项系数小于0可知抛物线开口向下，顶点为轨迹最高点，求出顶点横坐标即可得到结果．
【详解】解：∵篮球的高度（米）与水平距离米的函数关系式为：，
∴当米时，篮球达到运动轨迹的最高点．
14. 如图，将绕点顺时针旋转，得到，若点的坐标为，则点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】解题的关键在于利用旋转前后的图形全等，结合点所在的象限（第一象限）确定其横纵坐标的符号及数值．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴在中，，，
又∵旋转得到，
∴，
∴，，
又∵在第一象限，
∴坐标为．
15. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，点是边上的一点，且，连接，并将沿折叠，此时，点的对应点恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形性质和已知边长求出的长，在中利用三角函数求出的度数，由折叠性质得出，，，进而判断为等边三角形，得出，从而求出的度数，观察图形可知阴影部分面积等于扇形的面积减去四边形的面积，四边形的面积等于2倍的面积，代入数据计算即可．
【详解】解：连接，如下图，
四边形是矩形，
，
，，
，
在中，，
，
由折叠的性质可知，，
，，，
，
又点在弧上，
，
是等边三角形，
，
，
由图可知，阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积，
四边形的面积
，
，
阴影部分的面积为．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16. 计算：
【答案】
【解析】
【详解】解：原式．
17. 《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．”意思是：每斗粟米，可兑换斗糙米．某农户原存有粟米斗，后续每天可收获新粟米斗，积攒若干天后一次性全部用来兑换糙米．若要求兑换所得糙米总量不少于斗且不超过斗，请问需要积攒多少天才能满足兑换要求？
【答案】需要积攒天到天（包含天和天），即天数为满足的正整数
【解析】
【分析】先设积攒天数为未知数，根据粟米兑换糙米的比例得到糙米总量的表达式，再结合糙米总量的范围要求列出不等式组，求解后结合天数为正整数的实际条件得到结果；
【详解】设需要积攒天，为正整数，
由题意得：每斗粟米，可兑换斗糙米，兑换糙米的比例为，总粟米量为斗，
因此兑换所得糙米总量为，
根据兑换要求列不等式组：，
由得：，
，
由得：，
，
不等式组的解集为，
为正整数，
．
18. 如图，四边形是平行四边形
（1）将平行四边形沿过点的直线翻折，使点落在边上点处，且边与重合．请用尺规作图法作出直线及点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，若，平行四边形的周长为24，求的长．
【答案】（1）解：如图，直线及点即为所作；
（2）
【解析】
【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧，交于点，则；再作的平分线交于点，作直线即可；
（2）由平行四边形的性质得，由作图得，可得，从而得，再根据平行四边形的性质可得．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
，
由翻折得，
∴，
∵，
∴，
∵平行四边形的周长为24，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. 【问题背景】解决分式问题时，在分式有意义的情况下，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关；
已知，．
【应用思考】
（1）求的值；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分离常数法拆分分式，通过对比形式求出和的值，再计算它们的和，先将拆成,得出；再将拆成，得出，最后相加即可；
（2）先利用上一问拆分后的和的形式，化简的表达式，合并同类项，再代入求值．
【小问1详解】
解：，
，
，
对比，可得；
，
，
，
对比，可得，
因此：．
【小问2详解】
解：将代入，
，
，
，
当时：．
20. 某学校为改善教学条件、满足日益增长的办学需求，某校计划对现有教学楼进行扩建，并在原有教学楼正前方新建一栋教学综合楼，如图1；在规划设计时，为保证冬至日正午时分，原有教学楼整栋楼都能获得充足日照，符合国家建筑日照规范，设计人员绘制出场地示意图进行测算．已知两栋楼水平间距相关数据为，新建楼高度，该地区冬至日正午的太阳高度角（即阳光与水平线的夹角），如图2；（参考数据：，，）
（1）请计算冬至正午时，太阳光照射到原有教学楼的位置与地面之间的高度；
（2）为满足日照规范要求，使原有教学楼在冬至正午能被阳光完全照射，需将新建的教学综合楼沿水平方向向后平移一段距离（楼体高度保持不变），求该楼至少需要移动多少米？（结果保留2位小数）
【答案】（1）
（2）该楼至少移动1.32米
【解析】
【分析】（1）作于点，得矩形，解求得，求得；
（2）设沿水平方向向后平移，得，解，求出即可解决问题．
【小问1详解】
解：作于点，如图，
则四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设沿水平方向向后平移，即，如图，
则，，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
答：该楼至少移动1.32米．
21. 【问题背景】如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上
【问题情境】
（1）元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由；
【应用思考】
（2）请你利用这四张卡片，设计一种方案对两人都公平的游戏规则．
【答案】（1）这个游戏对双方不公平，理由见解析
（2）小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和是奇数则小明胜，若和是偶数则小亮胜
【解析】
【分析】（1）画树状图表示出所有等可能的结果数与和大于11的结果数，求出相应的概率，进行比较即可判断游戏的公平性；
（2）要让游戏公平，需要让双方获胜的概率相等，据此设计方案即可．
【小问1详解】
解：画树状图如下：
从树状图可得，共有12种等可能的结果，其中和大于11的有8种情况，
所以，小明获胜的概率，
小亮获胜的概率，
因为，所以这个游戏对双方不公平；
【小问2详解】
解：方案：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和是奇数则小明胜，若和是偶数则小亮胜．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22. 如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线和交于点，点的纵坐标为6．过点作交轴于点．点是线段上的动点，连接交反比例函数的图象于点．
（1）点的坐标为__________；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．若为“反直角三角形”，求直线的表达式．
【答案】（1）
（2）是等腰三角形，理由：
∵四边形是矩形，
∴，由是的交点，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（3）的解析式为或
【解析】
【分析】（１）根据中点坐标公式求出点D的纵坐标，代入反比例解析式求出横坐标，可得点D的横坐标即可；
（2）证明可得，从而得是等腰三角形；
（3）根据“反直角三角形”分，，和四种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：矩形中，对角线的中点为点D，点B的纵坐标为6，
所以D的纵坐标为，
因为D在反比例函数上，
当时，，
解得：，
所以；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：∵；
，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
若为“反直角三角形”，
①当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
所以，直线的解析式为；
②当时，如图，在EO上截取，过点P作于Q，
则，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，即点P在的延长线上，不符合题意；
③当时，过点F作交于点M，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∴，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得，
解得，
∴直线的解析式为；
④当时，
∵当点P与点B重合时，最小，此时，
同理可证，此种情况不存在；
综上可知，的解析式为或．
23. 解决下列问题
【问题初探】
（1）如图1所示，矩形中，是对角线上一点，连接，在的下方作，满足，连接，求证：．
【实践探究】
（2）如图2所示，正方形中，对角线、相交于点，是线段上的一点，连接，作，点在边上，交于，求、、之间的数量关系．
【拓展迁移】
（3）如图3所示，正方形中，对角线、相交于点，是边上一点，作，分别交、于点、，满足，连接，如果，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由得，结合，证得，即，再通过导角即可证明；
（2）过点，作于点，延长交于点，由一线三垂直证明，再结合正方形的性质，可得，即可找出、、之间的数量关系；
（3）过点作于延长线于点，连接，过点，作于点，
由一线三垂直证明，可设，正方形边长为，证，根据线段比例关系列方程解出，再由求出，即可求出的值．
【小问1详解】
证明：矩形中，，且，
．
，即，
，
.
，
，即．
【小问2详解】
如图，过点，作于点，延长交于点
在正方形中，，
，
，
四边形为矩形．
同理四边形为矩形．
，
在正方形中，为对角线，
，
为等腰三角形，
，
．
，
，
，
，
在和中，，
，
四边形为矩形，为等腰三角形，
即，
．
【小问3详解】
如图，过点作于延长线于点，连接，过点，作于点，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
在正方形中，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
为正方形的对角线，
，
，为等腰直角三角形．
设正方形的边长为，，
，，
，，
，
，即，
解得，
，
，
，即，解得，
．
本题以矩形和正方形为背景，全面考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质等核心知识，解题的关键在于准确识别图形特征，巧妙构造辅助线，合理运用相似与全等的性质进行推理和计算．