2026年山东省枣庄市峄城区中考二模数学试题（含解析）

这是一份2026年山东省枣庄市峄城区中考二模数学试题（含解析）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 已知有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据倒数及相反数的定义解答即可．
【详解】解：有理数与互为倒数，与互为相反数，
，，
，
．
故选：C．
本题考查的是倒数及相反数的定义，解题的关键是熟知倒数及相反数的定义，两个数的乘积为1，两个数的和为0．
2. 下列气象生活指数图标中，其中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 路况指数B. 运动指数
C. 过敏指数D. 穿衣指数
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合要求；
B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合要求；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合要求；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合要求；
3. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，中央有一个贯通上下的圆孔，是中国古代的一种礼仪重器．观察如图所示的玉琮模型，得到的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，从物体上面看物体得到的平面图形就是物体的俯视图，从而确定答案，注意看得见的棱用实线、看不见的棱用虚线．
【详解】解：根据题意结合图形，从上方看组合体，得到的俯视图是，
故选：A．
4. 山东省大力建设数字基础设施，全省数据中心标准机架规模预计达到架，为人工智能、大数据、云计算提供坚实算力支撑，将用科学记数法表示为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的标准形式为，其中满足，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】解：将的小数点向左移动位可得到，满足，
则，，
故用科学记数法表示为．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
6. 学校的数学探究社团分别以我国古代五位著名数学家祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶的姓名命名，随机分配小梦和小想两位同学加入这5个社团，他俩同时分到同一个数学探究社团的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．先根据题意列表，由表格得出所有等可能的结果数和符合题意的情况，再利用概率的计算公式即可求解．
【详解】解：设这5个社团分别为，
列表如下：
由表格可知，一共有25种等可能的结果，其中同时分到同一个数学探究社团有5种情况，
同时分到同一个数学探究社团的概率．
故选：B．
7. 如图，数轴上四个点表示的数可以使不等式组成立的是（ ）
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再结合数轴判断点的情况即可得出结果．
【详解】，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集是，
∴点B表示的数可以使不等式组成立．
8. 在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示．设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，根据信息，下列所列方程（组）中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目给出的租金关系和数量关系，推导列出正确方程，再对比选项得到答案．
【详解】解：设中巴每辆租金为元，大巴每辆租金为元，大巴租金比中巴贵180元/辆，
∴
∵7200元全部租用中巴比全部租用大巴多2辆，全部租用中巴的数量为，全部租用大巴的数量为
∴可列方程 ，
与选项B一致．
9. 将抛物线向右平移3个单位后，所得到的新抛物线，一定经过下列哪个点（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“左加右减”的平移法则求出平移后新抛物线的解析式，再代入验证即可得到答案．
【详解】解：将抛物线向右平移3个单位后，可得新抛物线为：
即，
当时，，
∴抛物线不经过点与，
当时，
∴点在新抛物线上，点不在新抛物线上．
10. 如图1，在矩形中，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向终点匀速运动．设点的运动时间为秒，的长为，随的变化图象如图2所示，则矩形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先从图象信息中提取关键条件：时，时运动到，得；设，在中用勾股定理得，再结合，通过完全平方公式求出；最后利用是中点的条件，得出矩形面积：
【详解】解：分析图象信息，列关系式当时，点在点处，此时​，即；
当时，点运动到终点，点速度为单位/秒，
∴总路程，
设，，
在中，由勾股定理得：，
又∵，
∴，
∴，即，
∵是中点，
∴，
∴矩形面积．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
．
12. 如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________（结果保留．）
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴．
13. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
．
14. 如图，在中，平分，于点，交于点，交的延长线于点．若，，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形性质、角平分线与全等三角形、相似三角形的综合应用，熟练运用平行四边形对边平行且相等、全等及相似三角形判定定理是解题关键．先利用角平分线垂线证得到，算出长度，再结合平行线证，借助相似比列式求出的长．
【详解】解：在中，，，
平分，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：．
15. 定义一种关于整数n的“G”运算：
（1）当n是奇数时，结果为；
（2）当n是偶数时，结果是（其中m是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取，第一次经G运算是14，第二次经G运算是7，第三次经G运算是12，第四次经G运算是3……，则第2026次运算结果是_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探索，通过计算得出从第四次开始，运算结果以周期4循环，再结合，即可得出结果，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：取，第一次经G运算是14，第二次经G运算是7，第三次经G运算是12，第四次经G运算是3，第五次经G运算是8，第六次经G运算是1，第七次经G运算是6，第八次经G运算是3，…，
从第四次开始，运算结果以周期4循环，
∵，
∴第2026次运算结果是1，
故答案为：1．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：的值，其中使分式值为．
【答案】（1）

（2）
，
【解析】
【分析】（1）分别计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式化简，乘方的运算，再计算加减运算即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式值为的条件求出的取值，最后代入的值计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式


；
分式的值为，
，，
解得，
将代入得，原式．
17. 杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为．
（1）求动力F与动力臂l的函数关系式．
（2）小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？
【答案】（1）动力F与动力臂l的函数关系式为
（2）小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论．
【小问1详解】
依题意，得．
∴．
答：动力F与动力臂l的函数关系式为．
【小问2详解】
当时，
解得．
∵小华最多能使出的力，
∴．
答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为．
18. 如图，，平分，交于点E．
（1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点O，交于点F，连接（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
（2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）猜想：四边形是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查角平分线画法，菱形的判定，平行四边形判定及性质等．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接与这点即为的平分线，即可得到本题答案；
（2）根据题意先证明四边形是平行四边形，后继而证明出四边形是菱形．
【小问1详解】
解：以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于一点，连接点与这点交于点，即为的平分线，作图如下：
【小问2详解】
解：猜想：四边形是菱形，证明如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
19. 【综合与实践】某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验．从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）．有关生产和销售的信息整理如下：
信息一：单株产量（单位：千克）
信息二：口感评分频数分布
农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8－9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）；
农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表：
信息三：产品销售
农场将收获的部分草莓进行了包装销售．其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元．已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有________株；
（3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案？请说明理由；
（4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的，每盒“家庭装”的成本是售价的，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半．作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）2.0，8.4
（2）1400 （3）推荐采用A温室的种植方案，理由见解析
（4）每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获得最大利润2400元
【解析】
【分析】（1）由单株产量表和口感评分频数分布直方图即可求解；
（2）由不低于1.8千克的占比即可求解；
（3）比较单株产量或口感评分的平均数、方差或中位数即可；
（4）设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，根据题意列出不等式与一次函数表达式即可求解．
【小问1详解】
解：由单株产量表可得A温室的单株产量的众数；由口感评分频数分布直方图可得B温室的草莓口感评分从小到大排列第5个和第6个数据分别为8.3和8.5，则中位数．
【小问2详解】
解：（株），
∴A温室单株产量不低于1.8千克的草莓约有1400株．
【小问3详解】
解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下：
A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高；
A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀．（选择一条回答即可）
【小问4详解】
解：设售出“精品礼盒”盒，则“家庭装”售出盒，总利润为元，
由题意得，，
解得，
由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的最大值为（元），此时（盒），
∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元．
20. 如图，在中，，点O是边上一点，以点O为圆心，的长为半径画圆，交边于点E，切边于点F，连接，，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证；
（2）证，根据相似比求解即可．
【小问1详解】
证明：∵与圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∵是所对的圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∴平分．
【小问2详解】
解：∵是直径，
，
又，
，
，即，
，，
，
∴在中，．
21. 综合与实践
校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下：
（1）请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程；
（2）按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米．
（用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）．
【答案】（1）8.9米
（2）线段；或；或：；
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用．
（1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题；
（2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度．
【小问1详解】
解：设路灯的高度为米，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
米，
，
解得米，
即米；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
米，米，
米，
，
解得；
要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米；
，
米，米，，
，
，
，
要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米；
故答案为：线段，或；或，．
22. 已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点均在抛物线上，且对于任意，都有．
①求的值（用含的代数式表示）；
②求证：．
【答案】（1）直线
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可；
（2）①分和两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质求解即可；②先求出，再用的代数式表示出，再根据二次函数的性质求证即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
①解：当时，∵点均在抛物线上，且对于任意，都有．
∴点为抛物线的顶点，
由（1）得，当时，
∴；
当时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意；
综上：；
②证明：∵点在抛物线上，
∴
∴
，
∵，
由①可得，
∴当时，取得最大值，即．
23. 综合探究
【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法．
【初步探究】
（1）如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，根据条件填空：
①的度数为 ；
②若，则的长为 ；
【类比探究】
（2）如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，，为对角线，且满足，若，，请求出的长．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；
②结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得，设正方形边长为，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案；
（3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案．
【详解】解：（1）①将 绕点逆时针旋转得，
，，
为等腰直角三角形，
；
②为等腰直角三角形，，
，
故答案为：①；②；
（2）将绕点逆时针旋转得，如图，
由旋转的性质可得，，，，
，
，，共线，
，
，
，，，
，
，
，
，
设正方形边长为，则，，
在 中，，
即，
解得或（负值舍去），
正方形的边长为；
（3）如图，将绕逆时针旋转至，连接，
由旋转的性质可得，，，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．①大巴租金比中巴贵180元／辆；
②用7200元恰好可租4辆大巴和5辆中巴；
③若将7200元全部租用中巴，比全部租用大巴多2辆．
A温室
1.2
1.5
1.6
1.8
1.8
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
B温室
1.0
1.5
1.5
1.6
1.8
1.8
2.0
2.0
2.0
2.0
温室
单株产量
口感评分
平均数
众数
平均数
方差
中位数
A
1.77
8.7
0.49
8.9
B
1.72
2.0
8.4
0.74
活动主题
测量运动场围网外路灯的高度
数学抽象
如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点．
测量工具
激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺．
方案设计
如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下：
第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数；
第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数；
第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）．
数据测量
测量对象
测量结果
米
解决问题
根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：……
（结果精确到0.1米，参考数据：； ．
实践反思
我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3：
第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米；
第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上；
第三步：测量……．