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(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.3《圆的方程》(含详解)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第8章§8.3《圆的方程》(含详解)，共16页。试卷主要包含了点与圆的位置关系，))等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|常用结论
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.( × )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
教材改编题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
答案 (－eq \r(2)，eq \r(2))
解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，
解得－eq \r(2)题型一 圆的方程
例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 方法一 设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝eq \r(10)，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
教师备选
1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
答案 C
解析 方法一 (待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))
所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq \f(3,2)x－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
方法二 (几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．
由题意知圆E的圆心在x轴上，
所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).
则圆E的半径为
|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案 B
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq \r(－1－02＋2－12)＝eq \r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4
答案 A
解析 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)(2022·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
答案 B
解析 设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，
化简得|4a－3b|＝5，①
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，
则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
教师备选
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又因为P在圆x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案 D
解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，
所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
命题点2 利用函数求最值
例4 (2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
延伸探究 若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，
－2)”，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
答案 10
解析 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
教师备选
1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
答案 B
解析 ∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，
|AB|＝2m(m>0)，
∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，
又C(3,4)，r＝1，
∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
2．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
答案 B
解析 由已知得线段AB为圆的直径．
所以|PA|2＋|PB|2＝4，
由基本不等式得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，
当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(2)时，等号成立．
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
答案 D
解析 设O为坐标原点，P(x，y)，
则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4，
所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，
所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.
(2)已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
答案 B
解析 由x2＋y2－4x－2y－4＝0
得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，
其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．
设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，
则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，
解得k＝±eq \f(3,4)，
所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，
所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).
课时精练
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))
因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3)
B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2,3)在圆M内
答案 ABD
解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为eq \r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．
6．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，
A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根，
∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，
∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．
7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，eq \r(6))在圆C内，则m的取值范围为________．
答案 (0,4)
解析 设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝eq \r(2＋12＋12)＝eq \r(10).
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋(eq \r(6))2<10，解得08．已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．
答案 2eq \r(5)
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))
故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|
＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
9．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
解 (1)设圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵圆经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))和Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－2))，
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－b))2＝r2，,－2－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－b))2＝r2，,a＋b－1＝0，))
解得a＝3，b＝－2，r＝5，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为
d＝eq \f(|3＋2＋5|,\r(2))＝5eq \r(2)>5，
∴直线与圆C相离，
∴|PQ|的最小值为d－r＝5eq \r(2)－5.
10．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则eq \r(x＋32＋y2)＝2eq \r(x－32＋y2)，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l2是此圆的切线，
连接CQ，
则|QM|＝eq \r(|CQ|2－|CM|2)＝eq \r(|CQ|2－16)，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
|CQ|＝eq \f(|5＋3|,\r(2))＝4eq \r(2)，
则|QM|的最小值为eq \r(32－16)＝4.
11．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2xD．y2＝－2x
答案 B
解析 ∵|PA|＝1，
∴点P和圆心的距离恒为eq \r(2)，
又圆心坐标为(1,0)，设P(x，y)，
∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2.
12．等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3)
C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
答案 A
解析 设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6.
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
又eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
所以eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2
＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11
≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
13．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq \r(2)
答案 ACD
解析 因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为eq \r(5－12＋－5＋12)＝4eq \r(2)，D正确．
14．已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________．
答案 x2＋y2＝a2
解析 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
15．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．
答案 eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－16，4))
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝eq \r(2)，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为
d＝|CP|＝eq \f(|6＋m|,5).
所以eq \f(r,d)＝eq \f(\r(2),\f(|6＋m|,5))≥eq \f(\r(2),2)，解得－16≤m≤4.
16．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，
令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，
可得Δ＝m2－8m＞0，
则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，
则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
所以m＝0(舍去)或m＝－eq \f(1,2).
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，
半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明 设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
知识梳理
1．圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )
(2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.( × )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( √ )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
教材改编题
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
答案 D
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝eq \r(13).
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案 D
解析 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
答案 (－eq \r(2)，eq \r(2))
解析 ∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，
解得－eq \r(2)
例1 (1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－1.))
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．
答案 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
解析 方法一 设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－a2＋－3－b2＝r2，,－2－a2＋－5－b2＝r2，,a－2b－3＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，,r2＝10，))
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
方法二 线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋4＝0，,x－2y－3＝0，))
得交点坐标O(－1，－2)，
又点O到点A的距离d＝eq \r(10)，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，
即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
教师备选
1．已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4)B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16)D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,4)
答案 C
解析 方法一 (待定系数法)
设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))
所以圆E的一般方程为x2＋y2－eq \f(3,2)x－1＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
方法二 (几何法)
因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－eq \f(1,2)＝2(x－1)上．
由题意知圆E的圆心在x轴上，
所以圆E的圆心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0)).
则圆E的半径为
|EB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq \f(5,4)，
所以圆E的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq \f(25,16).
2．在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
答案 B
解析 由直线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝eq \r(－1－02＋2－12)＝eq \r(2)，所以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.
思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
跟踪训练1 (1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4
答案 A
解析 根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
(2)(2022·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
答案 B
解析 设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，
由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝eq \f(|4a－3b|,5)＝r＝1，
化简得|4a－3b|＝5，①
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝－1(舍去)，
把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，
解得a＝2或a＝－eq \f(1,2)(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，
则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
题型二 与圆有关的轨迹问题
例2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
教师备选
已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y)．
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)．
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2
＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为
x2＋y2－x－y－1＝0.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
跟踪训练2 (1)当点P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝1B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))
又因为P在圆x2＋y2＝1上，
所以(2x－3)2＋4y2＝1，
所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
答案 D
解析 由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，
因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，
所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例3 已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求eq \f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
解 (1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq \r(2).
又|QC|＝eq \r(2＋22＋7－32)＝4eq \r(2)，
∴|MQ|max＝4eq \r(2)＋2eq \r(2)＝6eq \r(2)，
|MQ|min＝4eq \r(2)－2eq \r(2)＝2eq \r(2).
(2)可知eq \f(y－3,x＋2)表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴eq \f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq \r(2)，
可得2－eq \r(3)≤k≤2＋eq \r(3)，
∴eq \f(y－3,x＋2)的最大值为2＋eq \r(3)，最小值为2－eq \r(3).
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴eq \f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，
∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
命题点2 利用函数求最值
例4 (2022·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 12
解析 由题意，得eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4
＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值为6×4－12＝12.
延伸探究 若将本题改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，
－2)”，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为________．
答案 10
解析 由题意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，
eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，
故y2＝－(x－3)2＋4，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).
由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，
所以当x＝5时，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值为2eq \r(6×5－5)＝10.
教师备选
1．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
答案 B
解析 ∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，
|AB|＝2m(m>0)，
∴|OC|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，
又C(3,4)，r＝1，
∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.
2．若点P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4eq \r(2) D．4
答案 B
解析 由已知得线段AB为圆的直径．
所以|PA|2＋|PB|2＝4，
由基本不等式得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PA|＋|PB|,2)))2≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝2，
所以|PA|＋|PB|≤2eq \r(2)，
当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(2)时，等号成立．
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝eq \f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
跟踪训练3 (1)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－eq \r(7))2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为( )
A．9 B．14 C．16 D．26
答案 D
解析 设O为坐标原点，P(x，y)，
则|AP|2＋|BP|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.
圆C的圆心为C(3，eq \r(7))，半径为r＝1，OC＝4，
所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝9，
所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.
(2)已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为( )
A．2 B.eq \f(17,4) C.eq \f(29,5) D.eq \f(13\r(13),4)
答案 B
解析 由x2＋y2－4x－2y－4＝0
得(x－2)2＋(y－1)2＝9.
eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)＝2＋3×eq \f(y－1,x＋3)＝2＋3kPA，
其中A(－3,1)为定点，点P(x，y)为圆上一点．
设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，
则eq \f(|5k|,\r(1＋k2))＝3，
解得k＝±eq \f(3,4)，
所以－eq \f(3,4)≤kPA≤eq \f(3,4)，
所以eq \f(2x＋3y＋3,x＋3)的最大值为2＋3×eq \f(3,4)＝eq \f(17,4).
课时精练
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为( )
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2,3)，4 D．(2，－3)，16
答案 C
解析 将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.
2．圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
答案 A
解析 已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝eq \f(|3a＋4|,\r(32＋42))＝eq \f(3a＋4,5)＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0，故选D.
4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案 A
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))
因为点Q在圆x2＋y2＝4上，
所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，
即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
5．(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A．圆M的圆心坐标为(1,3)
B．圆M的半径为eq \r(5)
C．圆M关于直线x＋y＝0对称
D．点(2,3)在圆M内
答案 ABD
解析 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为eq \r(5)，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内．
6．(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是( )
A．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B．所有圆Ck均不经过点(3,0)
C．经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D．所有圆的面积均为4π
答案 ABD
解析 圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，
A正确；
令(3－k)2＋(0－k)2＝4，
化简得2k2－6k＋5＝0，
∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴2k2－6k＋5＝0无实数根，
∴B正确；
由(2－k)2＋(2－k)2＝4，
化简得k2－4k＋2＝0，
∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，
∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确．
7．已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)，B(1,3)，若M(m，eq \r(6))在圆C内，则m的取值范围为________．
答案 (0,4)
解析 设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，
得(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.
半径r＝|CA|＝eq \r(2＋12＋12)＝eq \r(10).
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋(eq \r(6))2<10，解得0
答案 2eq \r(5)
解析 因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝eq \r(5)的圆．
设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))
故A′(－4，－2)．
连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|
＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
9．已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
解 (1)设圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵圆经过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))和Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－2))，
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－b))2＝r2，,－2－a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2－b))2＝r2，,a＋b－1＝0，))
解得a＝3，b＝－2，r＝5，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)∵圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为
d＝eq \f(|3＋2＋5|,\r(2))＝5eq \r(2)>5，
∴直线与圆C相离，
∴|PQ|的最小值为d－r＝5eq \r(2)－5.
10．已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则eq \r(x＋32＋y2)＝2eq \r(x－32＋y2)，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题意知直线l2是此圆的切线，
连接CQ，
则|QM|＝eq \r(|CQ|2－|CM|2)＝eq \r(|CQ|2－16)，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，
|CQ|＝eq \f(|5＋3|,\r(2))＝4eq \r(2)，
则|QM|的最小值为eq \r(32－16)＝4.
11．点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )
A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2
C．y2＝2xD．y2＝－2x
答案 B
解析 ∵|PA|＝1，
∴点P和圆心的距离恒为eq \r(2)，
又圆心坐标为(1,0)，设P(x，y)，
∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2.
12．等边△ABC的面积为9eq \r(3)，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－5－2eq \r(3) B．－5－4eq \r(3)
C．－6－2eq \r(3) D．－6－4eq \r(3)
答案 A
解析 设等边△ABC的边长为a，
则面积S＝eq \f(\r(3),4)a2＝9eq \r(3)，
解得a＝6.
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝eq \f(1,3)OC，
则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3eq \r(3))，M(0，eq \r(3))，
由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上．
设N(x，y)，则x2＋(y－eq \r(3))2＝1，
即x2＋y2－2eq \r(3)y＋2＝0，
且eq \r(3)－1≤y≤1＋eq \r(3)，
又eq \(NA,\s\up6(→))＝(－3－x，－y)，eq \(NB,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，
所以eq \(NA,\s\up6(→))·eq \(NB,\s\up6(→))＝(x＋3)(x－3)＋y2
＝x2＋y2－9＝2eq \r(3)y－11
≥2eq \r(3)×(eq \r(3)－1)－11＝－5－2eq \r(3).
13．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是( )
A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B．满足条件的圆C有且只有一个
C．点(2，－1)在满足条件的圆C上
D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq \r(2)
答案 ACD
解析 因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；它们的圆心距为eq \r(5－12＋－5＋12)＝4eq \r(2)，D正确．
14．已知长为2a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为________．
答案 x2＋y2＝a2
解析 如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
15．已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是______．
答案 eq \r(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－16，4))
解析 圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝eq \r(2)，
若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠MPN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为
d＝|CP|＝eq \f(|6＋m|,5).
所以eq \f(r,d)＝eq \f(\r(2),\f(|6＋m|,5))≥eq \f(\r(2),2)，解得－16≤m≤4.
16．在平面直角坐标系Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
解 由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，
令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.
设A(x1，0)，B(x2，0)，
可得Δ＝m2－8m＞0，
则m＜0或m＞8，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.
令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．
(1)若存在以AB为直径的圆过点C，
则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，
所以m＝0(舍去)或m＝－eq \f(1,2).
此时C(0，－1)，AB的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))即圆心，
半径r＝|CM|＝eq \f(\r(17),4)，
故所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4)))2＋y2＝eq \f(17,16).
(2)证明 设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))
故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(4,5))).定义
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
方
程
标
准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C(a，b)
半径为r
一
般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)
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