2025-2026人教版七年级数学下期末复习基础训练篇 实数单元检测卷（含解析）

这是一份2025-2026人教版七年级数学下期末复习基础训练篇 实数单元检测卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第八章------实数 单元复习检测卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．3C．D．
2．下列算式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在实数中，有理数的个数是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．在，，这四个数中，相反数最小的数是（ ）
A．B．C．D．
5．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．B．1C．2D．4
6．下列命题中，同位角相等；对顶角相等；③的算术平方根是；若，则或，真命题是（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．0.6B．0.06C．0.006D．0.0006
8．若为实数，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
9．设的小数部分是，的整数部分是，则（ ）
A．B．C．8D．
10．一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，则__________．
12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____．
13．______．
14．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______．
15．当时，的值是__________________．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
17．（8分）一个正数的两个不同的平方根分别是和．
(1)求和的值．
(2)求的平方根．
18．（8分）把下列各数分别填入相应的集合中：
0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），．
（1）整数集合 …；
（2）分数集合 …；
（3）有理数集合 …；
（4）无理数集合 …；
19．（8分）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
20．（8分）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
21．（9分）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以．
任务：
(1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算：
①；
②；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
22．（12分）综合与探究
下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
任务一：
（1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________；
（2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）直接比较和的大小；
任务二：
（4）设，a是整数，b满足，求的值．
23．（12分）综合与实践
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______．
【知识迁移】
（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______．
【拓展延伸】
（3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
2025-2026人教版七年级数学下期末复习基础训练篇
第八章------实数 单元复习检测卷（解析版）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】解：，
的相反数是的相反数即为3．
故选B
2．下列算式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、，原算式错误；
B、，原算式错误；
C、，正确
D、，原算式错误.
故选C
3．在实数中，有理数的个数是（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题根据有理数的定义，逐一判断每个数的类型，统计有理数的个数即可得到结果．有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数是无理数．
【详解】是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
中是无限不循环小数，因此属于无理数；
是负整数，属于有理数；
是有限小数，可以化为分数，属于有理数；
∴ 有理数共有个，
故选：D．
4．在，，这四个数中，相反数最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相反数的定义求出这四个数的相反数，再比较相反数的大小，即可得到对应结果．
【详解】解：的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ，的相反数是 ，
∵，
∴在，，这四个数中，相反数最小的数是．
5．若与是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，求出，即可得解．
【详解】解：与是同一个数的两个不相等的平方根，
，
解得，
，
这个数是．
6．下列命题中，同位角相等；对顶角相等；③的算术平方根是；若，则或，真命题是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质，对顶角的性质，求一个数的算术平方根以及立方根，逐项进行判断．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，该选项缺少条件，故该选项是假命题；
②该选项是真命题；
③的算术平方根是，该选项是假命题；
④该选项是真命题；
综上，真命题有②④．
7．若，则（ ）
A．0.6B．0.06C．0.006D．0.0006
【答案】A
【分析】本题考查立方根，理解一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍是得出正确答案的关键．
根据立方根的定义，一个数缩小1000倍，则它的立方根就缩小10倍，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选A
8．若为实数，且，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由绝对值和算术平方根的非负性质得出，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵为实数，且，
∴，，
∴，，
∴．
9．设的小数部分是，的整数部分是，则（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【分析】利用夹逼法求出的值，再求和即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴.
10．一组按规律排列的式子：，，，，…．则第n个式子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母部分均为，即可得到答案．
【详解】解：∵第个式子为，
第个式子为，
第个式子为，
第个式子为，
...
∴第个式子为．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，则__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键．
由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解．
【详解】解：由 ，
根据平方根的性质，得：
或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
由于 是平方和，具有非负性，即 ，
因此 不成立，舍去；
故 ．
故答案为：．
12．以下各数0，，，，，，，，，0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个零）．有理数的个数是 _____．
【答案】5
【分析】本题考查了实数的分类，熟知整数和分数统称为有理数是解题的关键．先化简每个数，然后根据有理数的定义判断即可．
【详解】解：，， ，，
有理数有：0，，，，，共5个，
故答案为：5．
13．______．
【答案】
【分析】本题考查平方根和绝对值等实数的运算，先计算平方根与绝对值，最后进行实数的加减运算．
【详解】解：．
故答案为：．
14．将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，
∴，
∴阴影部分的面积为．
15．当时，的值是__________________．
【答案】或或
【分析】设，将原方程转化为，通过解方程求出的值，再代回求出，最后计算的值．
【详解】解：设 ，则原方程化为 . 两边立方得 ，即 ，
因式分解得 ，
解得 或 或 .
当 时，，则 ;
当 时，，则 ;
当 时，，则 .
验证均满足原方程，故 的值为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了换元法解方程和立方根的性质，解题关键是通过换元将复杂方程转化为简单的一元三次方程，注意不要漏解．
三、解答题（共8小题，共75分，写出必要的计算证明过程）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．（8分）一个正数的两个不同的平方根分别是和．
(1)求和的值．
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，熟记平方根定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据平方根性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，解得，
∴；
（2）解：将代入中，
得，
∵的平方根为，
∴的平方根为．
18．（8分）把下列各数分别填入相应的集合中：
0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），．
（1）整数集合 …；
（2）分数集合 …；
（3）有理数集合 …；
（4）无理数集合 …；
【答案】（1），，
（2），，
（3），，，，，
（4），，，（相邻两个之间依次多个）
【分析】先计算和，然后再根据实数的定义分类即可．
【详解】解：，，
（1）整数集合，，…；
（2）分数集合，，…；
（3）有理数集合，，，，，…；
（4）无理数集合，，，（相邻两个之间依次多个）…；
19．（8分）求下列各式中x的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方根的定义进行解方程即可；
（2）利用立方根的定义进行解方程即可
【详解】（1）解：
∴
（2）解：
∴
解得
20．（8分）已知的平方根是的立方根是2．
(1)求的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】（1）解：的平方根是，
解得：，
的立方根是2，
．
解得：；
（2）解：把代入中得：，
的算术平方根为3．
21．（9分）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：，．所以．
小明：，．
这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以．
任务：
(1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？
(2)运用以上结论，计算：
①；
②；
(3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
【答案】(1)
(2)①；②；
(3)
【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系；根据关系进行计算，即可求解；
（1）根据已知可得，即可求解；
（2）①根据关系得，即可求解；
②根据关系得，即可求解；
（3）可得面积为，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
；
（2）解：①
；
②
；
（3）解：由题意得
，
答：这个长方形的面积为.
22．（12分）综合与探究
下面是小明同学学习了实数后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务：
任务一：
（1）小明的感悟中，依据是：被开方数越大，其算术平方根__________；
（2）已知的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）直接比较和的大小；
任务二：
（4）设，a是整数，b满足，求的值．
【答案】（1）越大；（2）5；（3）；（4）
【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算：
（1）根据算术平方根的性质求解即可；
（2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值；
（3）仿照题干中的做法求出和的范围，即可求解；
（4）求出的整数部分a和小数部分b，再代入求值．
【详解】解：（1）被开方数越大，其算术平方根越大，
故答案为：越大；
（2）∵，
∴，即，
∴的整数部分为2，
∴的小数部分，
∵，
∴，即，
∴的整数部分，
∴；
（3）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴；
（4）∵，
∴，即，
∴，即，
∵，a是整数，b满足，
∴，，
∴．
23．（12分）综合与实践
【问题发现】
（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______．
【知识迁移】
（2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______．
【拓展延伸】
（3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对．
【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根．
（1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解；
（2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答；
（3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答．
【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为；
（2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为；
（3）小思说得对，小明说得不对，理由如下：
设截出的长方形纸片的长为，宽为，
则，
∴（负值舍去），
∴截出的长方形纸片的长为，
∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．
7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法．
如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解．
∵，∴（依据）．
∴．
∴的整数部分是2，小数部分是．
7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数．无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法．
如：确定的小数部分，首先要明确7在完全平方数4和9之间，再求解．
∵，∴（依据）．
∴．
∴的整数部分是2，小数部分是．