重难点04 二次函数的存在性问题(15种题型汇总+专题训练+9种解题方法)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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（15种题型汇总+专题训练+9种解题方法）
【题型汇总】
【命题预测】抛物线与特殊图形的存在性问题多以解答题形式出现，难度较大，多为压轴题，考查几何代数综合.一般是在抛物线的背景下确定特殊图形(如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等)的存在性，多应用分类讨论思想，
题型01 二次函数角度存在性问题
角度存在性问题的解题步骤
【温馨提示】
1）角相等：若无明显条件，首选利用锐角三角函数值构造相等角( 先求已知角);
2）角度和差：可通过外角的性质、相似三角形的性质转化为相等角;
3）倍角：可通过外角的性质、等腰三角形的性质转化为相等角:
1）已知特殊角求解
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线y=−43x2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线解析式及B，C两点坐标；
(2)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·山东临沂·二模）如图，已知抛物线y=ax2−83ax−3的图象经过点D，OE=3OC，C是ED的中点，P是拋物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在x轴上方的拋物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值；
(3)如图，若点Q在坐标轴上，是否存在点Q，使∠EDQ=75°，若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·山西大同·一模）综合与探究
如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线BC．
(1)求点B的坐标及直线BC的表达式；
(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，连接OD交BC于点E，若DEOE=512，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得∠BCF=15°?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2）已知角度关系求解
4．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B4,0，BC=42．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值；
(3)如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0，点B3,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·四川达州·二模）已知抛物线y=ax2+bx−4与x轴相交于点A(−1,0),B(−4,0)），与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求S△AOCS△PAC的值；
(3)如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB=12？若存在，直接写出Q点坐标．
题型02 二次函数与三角形存在性问题
1）等腰三角形存在性问题
解题方法：
几何法：1）“两圆一线”作出点；
2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；
3)分类讨论，求出点P的坐标.
代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；
2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；
3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
①两定一动
8．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−3,0和点B，与y轴交于点C0,3，点D在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线BC上方抛物线上的点，连接BD、CD，求S△BCD的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过点(9,13)的抛物线C1:y=ax2+bx+1（a、b为常数，且a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线x=3．
(1)求抛物线C1的函数表达式和点D的坐标；
(2)将抛物线C1向左平移m(m>0)个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2的顶点为E，连接CE、DE，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得△CDE是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
②一定两动
11．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−3经过A−2,0，B4,0两点，与y轴交点为C，连接BC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P在第四象限抛物线上，连接PB，∠PBC=12∠BCO，求点P的坐标；
(3)点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB方向运动，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA方向运动，M，N同时出发，运动时间为t秒，0