中考数学一轮复习 难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题 练习（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习 难点与解题模型11与角平分线、中点有关问题 练习（2份，原卷版+解析版），共7页。

题型一：与角平分线有关问题
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2023·湖南·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
【典例1-2】（2023·江苏·中考真题）如图，、、、是直线上的四点，．

(1)求证：；
(2)点、分别是、的内心．
①用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接，则与的关系是________．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析 ②
【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
（1）可证得，结合，即可证明结论．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点即为所求．②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，据此即可求得答案．
【详解】（1）∵，，，
∴．
在和中
∴．
（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作，的角平分线，其交点即为点．

②因为，所以可看作由平移得到，点，点为对应点，点，点为对应点，根据平移的性质可知．
故答案为：．
【典例1-3】（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；
【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；
（2）先证明，可得，可得是的角平分线；
（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
故答案为：
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）如图，点即为所求作的点；
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．
【典例1-4】（2023·河南·中考真题）如图，中，点D在边上，且．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·贵州铜仁·一模）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，的面积为（ ）
A．4B．8C．10D．6
【答案】D
【分析】本题考查了作图—基本作图、角平分线的性质．根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：过点作于T，如图所示：
由题意可知：平分，
，，
，
，
故选：D．
【变式1-2】（2024·山东济宁·一模）如图，在中，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使得点到边 ，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，过点作于点．
求证：；
若，，求的长．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析；．
【分析】（）利用基本作图作的平分线即可；
（）先根据角平分线的性质得到，然后根据“”证明，从而得到；
由，则利用三角形面积公式可求出，再利用的结论得到， 然后计算即可；
本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线．
【详解】（1）如图，作的平分线，则为所求，
（2）证明: ∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式1-3】（2024·河南周口·模拟预测）如图，在中，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、角平分线的性质，正确作出角的平分线是解答的关键．
（1）根据作角平分线的方法步骤画图即可；
（2）过D作于点，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，过D作于点．
平分，即，，
，
．
【变式1-4】（2023·广西桂林·模拟预测）在中，是边上的高．
(1)尺规作图：作的平分线，交于．
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)20
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质．
（1）利用基本作图作平分；
（2）作于，如图，根据角平分线的性质得，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）如图，为所作．
（2）作于，如图，
平分，，，
，
．
【变式1-5】（2023·广东惠州·二模）如图，，，于．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角形．
（1）过点作，交的延长线于点．由证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：过点作，交的延长线于点．
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
又∵
平分；
（2）解：由（1）可得，
在和中，
，
∴，
，
．
题型二：与中线有关问题
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是中线，
∴
故选：B
【典例2-2】（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（ ）

A．15B．18C．24D．36
【答案】B
【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接，
点P是的重心，点D是边的中点，P在上，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为m，则的面积为，的面积为，
四边形的面积为6，
，
，
的面积为9，
的面积是18．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．
【典例2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰的直角边和斜边交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接，，若，则的面积为 ．
【答案】
【分析】连接，作轴于，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数的几何意义得出，证明，得出，求出，再由三角形中线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，作轴于，
，
∵为等腰直角三角形，，
∴点为的中点，
∴，
∵点、是反比例函数上的点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键．
【典例2-4】（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为 ；
（2）的面积为 ．
【答案】
【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．
【详解】解：（1）连接、、、、，
∵的面积为，为边上的中线，
∴，
∵点，，，是线段的五等分点，
∴，
∵点，，是线段的四等分点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴的面积为，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【典例2-5】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，三点是格点，点是与网格线的交点．，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图1中，取的中点，的中点，连接，再作平行四边形；
(2)在图2中，在上画出一点，使；
(3)在图3中，点在格点上，连接，，在上画点，使平分四边形的面积．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】本题考查三角形的中线，相似三角线的判定和性质，平行四边形的判定和性质：
（1）作的中点，连接，则平行四边形即为所求；
（2）找到格点，使得，连接交于点，则点即为所求；
（3）连接，取的中点，过点作，交于点即可．
【详解】（1）解：如图所示，作的中点，连接，则平行四边形即为所求，
（2）如图所示，找到格点，使得，连接交于点，则点即为所求，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图：点即为所求；
由作图可知：，
∴，
∵（平行线间的距离处处相等），
∴．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·云南昆明·二模）如图，，是的两条中线，连接．若，则阴影部分的面积是（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．
【详解】解：是的中线，，
，
是的中点，
，
故选：B
【变式2-2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，是的中线，点E是的中点，连接并延长，交于点F，若．则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作平行线交延长线于点G，可得，通过比例式即可求出，即可解决问题．
【详解】解：过点A作平行线交延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式2-3】（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（ ）
A．50B．54C．60D．63
【答案】C
【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解．
【详解】解：设，由等积法可知：，
∴，即①，
∵，
∴，即②，
联立①②可得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴；
故选C．
【变式2-4】（2024·重庆·模拟预测）如图，在中，，为的中点，为中点，连接交于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵为的中点，为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-5】（2024·辽宁·模拟预测）如图，将沿直线翻折得到，交于点，为的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵沿直线翻折得到，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∵的面积为，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式2-6】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，将沿边上的中线平移到的位置，已知的面积为，阴影部分三角形的面积为，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．先证明，再利用相似三角形的性质求得便可．
【详解】解：如图，
、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
则，即，
解得或（舍），
故答案为：1.5．
【变式2-7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在菱形中，两条对角线相交于点O，，过 点C 作，交的延长线于点E， 连接， 则的面积是
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，证明，得到，求出，求出，再根据点O是中点，即可求解．
【详解】解：菱形中，两条对角线相交于点O，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点O是中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式2-8】（2024·上海浦东新·一模）如图，在中为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点D作，
为的角平分线，

∵为中点，
∴
设，则
则，
故答案为：．
【变式2-9】（2024·广东广州·二模）如图，已知中，，，，，为边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键．
（1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题．
【详解】（1），
．
在中，
，
，
．
（2）为边上的中线，
．
又，
．
题型三：与中位线有关问题
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．
【示例】如图，，是的中线，且，垂足为，像这样的三角形称作“中垂三角形”．设，，．数学兴趣小组想研究“中垂三角形”的三边是否存在某种关系，进行了如下探究过程：
(1)【特例探究】如图2，为“中垂三角形”，当，时，求，的值；
解：∵为“中垂三角形”，即，
又∵，，
∴，，
∵分别是中线，连接，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
…（此处省略部分步骤）
∴，．
完成上述解题过程中的填空；
： ，： ，： ；
(2)【归纳证明】请你观察（）中的解题思路及计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图证明你发现的关系式；
(3)【拓展应用】利用（）中的结论，解答下列问题：如图，在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，直接写出的值．
【答案】(1)，，；
(2)，见解析；
(3)．
【分析】（）判断为等腰直角三角形，计算即可；
（）设，，表示线段，，最后利用勾股定理即可；
（）证出，，即可求解；
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质，角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，连接，
省略步骤为：，
∴，，
∴，
∴，，
故答案为：，，；
（2）解：，理由如下：
连接，
设，，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：连接，
∵四边形为菱形，
∴， ，，
∵，分别为线段，的中点，
∴， ，，，
∴，，
∴，
∴，
即，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故的值为．
【典例3-2】（2024·重庆九龙坡·三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思路如下：如图，在中，点、分别为、的中点，连接，过点在的右边作，使得，延长交于点，然后通过证明和平行四边形来证明三角形中位线定理，请完成下面的作图和填空．

(1)用尺规完成以下基本作图：以点为顶点，在的右侧作，延长，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)求证：，．
证明：∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴① ．
在和中，
，
∴，
∴③ ，，
∵点为的中点，
∴，
∴④ ，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴⑤ ，
∴，．
【答案】(1)画图见解析
(2)①；②；③；④；⑤
【分析】本题考查了尺规作图及几何证明，涉及作角等于已知角，全等的判定与性质，平行四边形的判定与性质，掌握作图方法和几何性质是解题的关键．
（1）根据作角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据所给步骤推理证明即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示：

（2）∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，．
故答案为：①；②；③；④；⑤．
【典例3-3】（2024·广西南宁·模拟预测）阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．
在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．证明过程如下：
已知：如图1，D、E分别是的边AB，AC的中点；
求证：且．
证明：如图1，延长DE到点F，使，连接FC，DC，AF．
∵E为AC中点
①
，
∴四边形ADCF是平行四边形，（ ② ）（填推理的依据）
∴CF平行且等于DA
即CF平行且等于BD．
∴四边形DBCF是平行四边形
，，
又，，．
这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
(1)请完成证明过程中的填空：
①_______ ②_______
(2)在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题．
例如：如图2，在四边形ABCD中，，且点E，F分别为AB和CD中点．
猜想：线段AD，BC和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程．
(3)类比运用：如图3，在四边形ABCD中，，且．求证：．
【答案】(1)①CE ②对角线相互平分的四边形是平行四边形
(2)；；证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据线段中点定义和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）连接并延长交的延长线于点，先证明，推出，，利用（1）的结论，根据中位线的性质即可求解；
（3）如图3，过点作AB的平行线，交于点，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到．
【详解】（1）解：①CE ；②对角线相互平分的四边形是平行四边形
故答案为：CE，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2），
证明：延长和交于点
，
为CD中点
在和中
，为的中点
，为AB，中点，
为的中位线
，
，
，
即，
（3）证明：过点作AB的平行线，交于点
，，
四边形为平行四边形


即．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)写出材料中的依据：_____．
(2)请根据图3的折法，求证：是的中位线．
【答案】(1)平行线分线段成比例
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案；
（2）由第一次对折可得：，，由第二次对折可得：，，，可得，是的垂直平分线，则，如图，连接交于，再结合平行线分线段成比例即可得到结论．
【详解】（1）解：∵．
∴（平行线分线段成比例）
（2）由第一次对折可得：，，
由第二次对折可得：，，，
∴，是的垂直平分线，
∴，
如图，连接交于，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中位线．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，三角形的中位线的含义，线段的垂直平分线的判定与性质，理解对折的含义是解本题的关键．
【变式3-2】（2024·江苏淮安·模拟预测）在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定理，并且能用相关知识解决问题．
【问题再现】
已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点，求证：，
【简单应用】
（1）如图2，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取的中点D、E．测得的长为，则A、B两地的距离为_______．
（2）如图3，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长．
【灵活运用】
如图4，在边长为6的正方形中，点E是上一点， 点F是上一点，点F关于直线的对称点G恰好在的延长线上，交于点H，点M为的中点，若，求的长．
【答案】问题再现：证明见解析；简单应用：（1）40；（2）1；灵活运用：3
【分析】问题再现：过点C作交的延长线于点F，证明．得到，，进一步证明四边形是平行四边形，得到，，即可证明，；
简单应用：（1）根据问题再现的结论求解即可；
（2）如图所示，取中点G，连接，
由问题再现的结论可知，，再证明，可由平行线的唯一性可知三点共线，则；
灵活运用：如图所示，连接，由对称性可得，证明，得到；如图所示，以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设，则，求出，则；再求出，由勾股定理得到，解得或（舍去），则，求出直线解析式为，进而求出点E的坐标即可得到答案．
【详解】解：问题再现：过点C作交的延长线于点F，
∴，
∵E是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
简单应用：（1）∵的中点分别为D、E，
∴由问题再现的结论可知，
故答案为：40；
（2）如图所示，取中点G，连接，
∵点E、F分别是和的中点，
∴由问题再现的结论可知，，
∵，
∴，
∴由平行线的唯一性可知三点共线，
∴；
灵活运用：如图所示，连接，
由对称性可得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴；
如图所示，以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，
设，则，
∵正方形的边长为6，
∴，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴；
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理的证明，全等三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式3-3】（2024·辽宁锦州·二模）【问题提出】
如图1，在中，，，为内一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长到点，使，连接，，．求证：，．
【思路探究】
“神州小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系；
“智慧小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系．
（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；
【思维训练】
王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：
（2）如图4，在中，，，为上一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，为中点，连接并延长交的延长线于点，若，探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【能力提升】
（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，若为平面内一点，，，，其他条件不变，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或
【分析】（1）神州小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点作平行交的延长线于点，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“智慧小组”的解法：结合为的中点构造三角形的中位线，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证．
（2）过点作交于点，取中点，连接，证明，根据平行线的性质与判定证明，即可解答．
（3）分两种情况，点在内部，点在外部，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：神州小组的解法：如图，连接，延长交延长线于点，交于点，
，
，，
，
，
，，
由旋转可得，，
，，
，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
即．
“智慧小组”的解法：如图，延长交于点，
，，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
即，
，
，
，
，．
（2）解：，理由如下：
如图，过点作交于点，取中点，连接，
，，，
，，
，
，
由旋转，得，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，，
，
，，
，
．
（3）解：点在内部，如图，
，
，
，，
，
，，三点共线，
在中，，
，
，
解得；
点在外部，如图，
同理，可得方程，
解得，
综上所述，或．
【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的性质与判定，添加辅助线是解题的关键．
【变式3-4】（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在中，点是的中点，点是的一个三等分点，且，连接，交于点，求证：．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取的中点，连接，再通过“全等三角形的性质”解决问题；
②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点作，交的延长线于点，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4，在中，点是的中点，点，是的三等分点，，与分别交于点，，求的值．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，在射线上取点，使，连接，在上取点，射线，相交于点，当时，求的值．
【答案】（1）详见解析
（2）
（3）
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路．如图1，取的中点，连接．得出是的中位线，根据中位线性质定理得出，，根据平行线性质得出，，再结合，得出，证明，根据全等三角形的性质即可证明．
选择小亮同学的解题思路．如图2，过点作，交的延长线于点，根据平行线性质得出，，证明，根据相似三角形的性质得出．再结合，证出，根据，得出．证明，根据全等三角形的性质即可证明．
（2）如图3，连接．根据点，是的三等分点，得出．由（1）可知，即可得出是的中位线，根据中位线的性质得出．再证是的中位线，根据中位线的性质得出，，证明，根据相似三角形的性质即可得出．
（3）如图4，过点作于点，过点作于点，过点作的延长线于点．根据等腰三角形的性质得出，．设，得出，即可得，证明，得出，设，则，再证明，根据相似三角形的性质得出，设，即可得出，再证明，即可得出，列方程即可得出，，．根据，即可得出．
【详解】（1）选择小鹏同学的解题思路．
证明：如图1，取的中点，连接．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
选择小亮同学的解题思路．
证明：如图2，过点作，交的延长线于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵点是的中点，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：如图3，连接．
∵点，是的三等分点，
∴．
由（1）可知，
∴是的中位线，
∴．
∵点是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
（3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作的延长线于点．
∵，，
∴，．
设，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴．
设，则．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，利用题干中的方法构造“A”型图或“8”字形图解答是解题的关键．
【变式3-5】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在中，D、E分别为的中点，连接：
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，
．
【结论应用】
（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．

①求证：四边形为平行四边形；
②当与满足 时，四边形是矩形，当与满足 时，四边形是菱形.
③若，，，求四边形的面积．
【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．

【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；（2）①见解析；②；；③；（3）5
【分析】（1）根据旋转性质或全等三角形的判定与性质证明，，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得结论；
（2）①根据（1）中结论，得到，，，，根据平行四边形的判定可得结论；
②根据矩形和菱形的判定，当时，四边形为矩形，当时，四边形为菱形；、
③先根据（1）中结论求得，，再根据平行线的性质求得，过H作于M，利用正弦函数定义求得，然后根据平行四边形的面积公式求解即可；
（3）连接，取的中点M，连接，，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行线的性质和三角形的外角性质可推导出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）操作1：将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，则，，，
∴，即，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
操作2．延长到点F，使，连接．
∵E分别为的中点，
∴，又，
∴,
∴，，
∴，即，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
∴三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，
故答案为：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
（2）①∵四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形；
②当时，四边形为矩形，
理由：∵，，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形；
当时，四边形为菱形，
理由：∵，，，
∴，
∴四边形为菱形；
③∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
过H作于M，则，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形的面积为；
（3）连接，取的中点M，连接，，
∵点P和点Q分别为边和边的中点，，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即小路的长度为5．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与行线、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．
题型四：与等腰三角形底边中点有关问题
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱AD（D为底边中点）的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质以及勾股定理．由等腰三角形的性质求得的长，由含30度直角三角形的性质得到，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
解得，
故答案为：．
【典例4-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点．
(1)求证：与半圆相切；
(2)连接．若，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证；
（2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图
为等腰三角形，是底边的中点
，平分
与半圆相切于点
由
是半圆的切线
（2）解：由（1）可知，
，
，
又，
在中，，
，
解得：
【典例4-3】（2022·山东德州·中考真题）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，．
(1)AB与的位置关系为_______；
(2)求证：是的切线；
(3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：)
【答案】(1)相切
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【详解】（1）解：，点为圆心，为半径，
圆心到直线AB的距离等于圆的半径，
为的切线，
与的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点作于点，连接，如图，
，为底边的中点，
为的平分线，
，，
，
为的半径，
为的半径，
是的切线；
（3）解：过点作于点，如图，
，，
，
，
．
，
，
，，
为的平分线，
．
在中，
，
∴
的直径．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱（为底边中点）的长为，，则它的跨度为 m.
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
由等腰三角形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得,再由勾股定理求出的长，进而求得的长即可．
【详解】解：∵，D为底边的中点，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式4-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）
(2)如图①，在三角形中，是的一条中线，，求的长．
(3)如图②，在中，，点是边上两个不同的动点，以为边在内部（包括边界）作等边三角形，点，F分别是的中点，当的周长取最大值时，求线段的长．
【答案】(1)①，或②，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的中位线定理即可求解；
（2）延长至点E，使得，可得，则，可证明，则，在中，，故由即可求解；
（3）当点P落在边上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，然后根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可求解．
【详解】（1）解：选择①，，
选择②，，；
（2）解：延长至点E，使得，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
即：，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：平移，使得点N与点C重合，过点C作于点D，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴当点N与点C重合时，与重合，
∴当点P落在边上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式4-3】（2024·广西·模拟预测）如图，已知为等腰三角形，点O是底边上中点，腰与相切于点D.
(1)求证：是的切线；
(2)当，的半径为1时，求图中阴影部分的面积；
(3)设与的交点为G、H，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用．
（1）过点O作于点E，连接，根据等腰三角形的性质，证得平分，根据角平分线的性质，即可证得，即可证明是切线；
（2）根据阴影部分的面积的面积的面积的面积-扇形的面积，计算即可；
（3）根据切割线定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：过点O作于点E，连接，
∵与相切于点D，
∴，
∵为等腰三角形，O是底边的中点，
∴是的平分线，
∴，即是的半径，
∵经过的半径的外端点且垂直于，
∴是的切线；
（2）解：在中，，，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，，
∵，，
∴，
同理，，
∴，
∴
；
（3）解：∵与相切于点D，
∴，
∴.
【变式4-4】（2024·辽宁·模拟预测）问题情境
数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片（各等腰三角形形状不同）探究旋转的特性，如图①，，为底边的中点．将以点为旋转中心，逆时针方向旋转，设旋转后得到的三角形记为，旋转角为．同学们经过操作探究后发现：旋转角等于2倍底角的度数时，边总能落在原三角形边所在的直线上．在此基础上同学们进行如下探究：
独立思考：
小明：“设与相交于点，当与垂直时，则．”
小红：“若，过点作，垂足为，交于点F，则．”
实践探究
奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
（1）问题1：在等腰三角形中，，由绕底边中点旋转得到，当旋转角时，边总能落在原三角形边所在的直线上．
（i）如图②，设与相交于点，当与垂直时，求证：；
（ii）如图③，若，过点作，垂足为，交于点，求证：．
问题解决
小明经过探究发现：在问题1的基础上，若给出等腰三角形腰与底的长，图中用字母标记的线段都可求，可以将问题进一步拓展．
（2）问题2：如图④，在等腰三角形中，，．若与的延长线相交于点，请直接写出的长．
【答案】（1）（i）见解析；（ii）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，熟练运用相关知识是解题关键．
（1）（i）结合，易得，由题意可知，解得的值，即可证明结论；（ii）连接，由等腰三角形的性质可得，结合题意可得为等腰直角三角形，进一步解得，的值，可证明，进而可得，再证明，即可证明结论；
（2）过点作交于点，由题意易得，由相似三角形的性质可得的值，进而可得，结合，可知，然后求解即可．
【详解】（1）证明：（i）∵，
∴，
∴，
由题意，得，
∴，解得；
（ii）如下图，连接，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）
提示：如图②，过点作交于点，
∵，，且为中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，解得．
题型五：倍长中线模型
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．
(1)请在①，②中任选择一个填空：
你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）
(2)如图①，在三角形中，是的一条中线，，求的长．
(3)如图②，在中，，点是边上两个不同的动点，以为边在内部（包括边界）作等边三角形，点，F分别是的中点，当的周长取最大值时，求线段的长．
【答案】(1)①，或②，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的中位线定理即可求解；
（2）延长至点E，使得，可得，则，可证明，则，在中，，故由即可求解；
（3）当点P落在边上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，然后根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可求解．
【详解】（1）解：选择①，，
选择②，，；
（2）解：延长至点E，使得，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
即：，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：平移，使得点N与点C重合，过点C作于点D，
∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴当点N与点C重合时，与重合，
∴当点P落在边上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【典例5-2】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3）
【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解；
（3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解．
【详解】（1）解：如图②，为的中线，
，
又，，
，
，
在中，，，，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：如图④，延长至点，使，连接，
点是的中点，
．
，，
，
，，
，
，
，
∴ ，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图⑤，连接，，
由（2）可知：，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，°，为边BD上一点，连接，，为的中点，延长BM交DE的延长线于点，交BM于点，连接交CE于点．

(1)求证；
(2)若，，求证：四边形为矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，则，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到；
（2）由和都是等腰直角三角形得到，则可得到，，进而可得，，于是可判断四边形为平行四边形，加上，则可判断四边形为矩形．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴为斜边上的中线
∴
（2）由（1）知，又，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
又由（1）知，
∴，，
又和都是等腰直角三角形．
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴平行四边形为矩形，
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质、直角三角形斜边中线定理、矩形的判断，掌握矩形的证明步骤-先证明是平行四边形，再证明有直角是解题关键．
【变式5-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践
【问题情境】
如图1，在中，，点D，E分别在边AB，上，，连接DE，CD，，为CD的中点，连接．
【数学思考】
（1）线段与的数量关系，说明理由．
【猜想证明】
（2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【深入探究】
（3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出CD的长．
【答案】（1），理由见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）CD的长为2．
【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、三角形的中位线定理，直角三角形的性质的综合运用；
（1）先证明，进而判断出，在由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论；
（2）延长到点F，使，连接，由，可得，，进而可得，再由，证明即可得出，由此得出，继而得出结论；
（3）延长到点M，使得，连接．先证明可得，由中位线性质定理得．由此即可得出．
【详解】解：（1）．
理由：，
．
，
，
为CD的中点，
．
（2）结论成立．
证明：如图1，延长到点F，使，连接．
，，，
，，
，
，
，
又，，
，
．
，
（3）CD的长为2．
解：如图2，延长到点M，使得，连接．
，
．
，
．
，
，
．
为的中点，，
，
．
【变式5-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边中，为边上一点，于．
(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接BM、，当取得最小值时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据等边三角形性质，可得，在中，求出，，进而在中求出．
（2）延长至H，使，连接，，易得，再证明，可得是等边三角形，从而可得，即可得出结论；
（3）延长到，使，连接、，，由旋转相似模型可以证明，从而可得，即点M直线上运动，根据将军饮马模型可得当、M、C三点共线，点N与C点重合时，此时最小，最小值为，根据最小值的图形解三角形即可求解．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，
，
∴，
在中，，
则；
（2）证明：延长至H，使，连接，，如图，
∵点G为AD的中点，
∴．，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵点F在线段CD的垂直平分线上，
∴，
，，
在和中，
，
∴
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
，
∴，，
∴；
（3）如图3-1，延长到，使，连接、，，
∴，
又∵在等边中，，
∴，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
∴，
又∵，即，
∴
∴，
∴，
∴点M直线上运动，
作点B关于MG的对称点，连接、、、，
由对称性质可知：，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴当、M、C三点共线，点N与C点重合时， 如图3-2，此时最小，最小值为，
设边长为，作，垂足为K，作，垂足为H，
∴，
，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了解三角形、相似三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形性质和判定等，解题（2）关键倍长中线构造全等三角形证明是等边三角形，解题（3）关键利用旋转相似模型构造，证明，即点M直线上运动，由将军饮马模型得出最小值时M、N的位置上．
题型一：与角平分线有关问题
题型二：与中线有关问题
题型三：与中位线有关问题
题型四：与等腰三角形底边中点有关问题
题型五：倍长中线模型
常考模型及步骤
第一步：依据特征找模型——找是否存在角平分线
第二步：抽离模型——判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系
第三步：利用性质解题——利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质解题
与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质,如图,在△ABC中,AD是△ABC的中线则BD=CD,
与中位线有关的解题关键
利用中位线的性质解题,如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,则 DE//BC,
三角形中位线的折法
如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线，
如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线．
第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕；
第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线．
理由如下：设与交于点Q．
第一次折叠可得，第二次折叠可得，且．
∴．
∵．∴（依据）．
∵，∴，AE=CE．
∴是的中位线，
如图3，继续探究其他折法：
第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕；
第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线．
操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置．
操作2．延长到点F，使，连接．
试探究与有怎样的位置关系和数量关系？
三线合一法
解题关键是利用等腰三角形“三线合一”,即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合,利用角平分线、中线和高线的性质解题.
题眼
1．普通三角形+中点
2．等腰三角形+底边中点
3．直角三角形+斜边中点
4．两个中点
大致图形
辅助线名称
倍长中线
三线合一
斜边中线
中位线
具体做法
延长到点E，
使，连接
连接
连接
连接
产生效果

①
②
倍长中线法
题中已知三角形及中线,或已知过一边中点的线段,常考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形.
类型
倍长中线
倍长类中线
图示
条件
在△ABC中.AD是边BC的中线
在△ABC中点D是边BC的中点,点E是边AB上一点,连接ED
作法
延长 AD 至点E,使 DE=AD,连接 BE
延长 ED 至点F,使DF=DE,连接 CF
结论
△ACD≌△EBD
△BDE≌△CDF
题眼
1．普通三角形+中点
2．等腰三角形+底边中点
3．直角三角形+斜边中点
4．两个中点
大致图形
辅助线名称
倍长中线
三线合一
斜边中线
中位线
具体做法
延长到点E，
使，连接
连接
连接
连接
产生效果

①
②