中考数学二轮提升训练中考大题03 利用函数（方程）解决实际问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮提升训练中考大题03 利用函数（方程）解决实际问题（2份，原卷版+解析版），共14页。试卷主要包含了列出一元一次方程，解方程即可；等内容，欢迎下载使用。
函数（方程）解决实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，解答题中常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一类考点， 所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而丢分.
题型一： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（最值）
1．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示
(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？
(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；
(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？
【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名
(2)6
(3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元
【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可；
（2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于234+645≈6辆，即可解答；
（3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车6−a辆，列出不等式组，解得4≤a≤5.1，设租车费用为y元，得出y=120a+1680，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答．
【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名，
38x+6=40x−6，
解得：x=6，
∴38x+6=38×6+6=234，
答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名；
（2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，
∴汽车总数不超过6辆，
∵要保证所有师生都有车坐，
∴汽车总数不少于234+645=163（辆），则汽车总数最少为6辆，
∴共需租车6辆，
故答案为：6．
（3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车6−a辆，
400a+2806−a≤230045a+306−a≥240，
解得：4≤a≤5.1，
∵a为整数，
∴a=4或a=5，
方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆；
方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆；
设租车费用为y元，
y=400a+2806−a=120a+1680，
∵120>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=4时，y最小，y=120×4+1680=2160，
综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式．
2．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）为响应教育部立德树人和“五育”并举的号召，学校举行班级篮球循环赛，比赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得−1分．
(1)小明班级篮球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．那么他们胜了几场，平了几场？
(2)第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，但每一场必须决出胜负．如果一个球队获胜x场，得分是y分，求y与x的函数关系式；
(3)为了文明比赛，学校规定，给无犯规的球队加4分；如果有犯规，按每3次扣1分计入该队的总分，循环赛结束得分在9分（含9分）以上的球队进入复赛．小明班级篮球队预计犯规次数是获胜次数的2倍，按这个计划实施，他们想进入复赛最少要胜多少场？
【答案】(1)胜了6场，平了1场
(2)y=4x−7
(3)5场
【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次方不等式的应用，
（1）设他们胜了x场，则平了9−2−x场，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）首先得到每个球队要比赛7场，然后根据比赛计分规则表示出得分y即可；
（3）设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了7−a场，小明班级篮球队预计犯规次数是2a，根据题意列出一元一次方不等式求解即可．
【详解】（1）设他们胜了x场，则平了9−2−x场，
根据题意得，3x+9−2−x×1−2×1=17
解得x=6
∴9−2−x=9−2−6=1
∴他们胜了6场，平了1场；
（2）∵第二轮从第一轮球队中选拔8个得分高的球队，仍然采取单循环赛，
∴每个球队要比赛7场
∵一个球队获胜x场，得分是y分，
∴y=3x−7−x=4x−7；
（3）设他们想进入复赛最少要胜a场，则负了7−a场，小明班级篮球队预计犯规次数是2a
∴3a−7−a−2a3≥9
解得a≥245
∴他们想进入复赛最少要胜5场．
2．（2023·贵州·模拟预测）此京冬奥会吉祥物体现了中华文化的创盘和应用，冬奥会冰与雪的可爱化身“冰墩墩”“雪容融”成为热卖品，小星决定进货并销售，进货价和销售价如下表：
(1)小星第一次用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个，求“冰墩墩”“雪容融”各购进多少个？
(2)小星第二次进货时，商家规定“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，小星计划购进两款吉祥物共60个，应如何设计进货方案才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
(2)购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，列出方程、不等式和一次函数是解此题的关键．
（1）设“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”购进30−m个，根据“用1100元购进了“冰墩墩”“雪容融”两款吉祥物共30个”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设购进x个“冰墩墩”，则购进“雪容融”60−x个，一共获利为w元，根据““冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半”得出不等式，求出x的范围，求出w关于x的解析式，一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”购进30−m个，
根据题意得：40m+3030−m=1100，
解得m=20，
∴30−m=30−20=10，
∴“冰墩墩”购进20个，“雪容融”购进10个；
（2）解：设购进x个“冰墩墩”，则购进“雪容融”60−x个，一共获利为w元，
∵“冰墩墩”进货数是量不得超过“雪容融”进货数量的一半，
∴x≤1260−x，
解得x≤20，
根据题意得：w=56−40x+45−3060−x=x+900，
∵1>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，w取最大值，最大值为20+900=920（元），
∴60−x=60−20=40，
∴购进20个“冰墩墩”，购进“雪容融”40个，获得最大利润，最大利润是920元．
题型二： 利用一次方程（函数）与不等式解决实际问题（方案选择）
（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)活动一更合算
(2)400元
(3)当300≤a0．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP=5m，MA=40m，塔桥AD高度为25m．
(1)求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
(2)若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
(3)厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
【答案】(1)y=180x−402+5
(2)20m
(3)10m或70m
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意得P40,5，D0,25，利用待定系数法求解即可；
（2）设点N在A点右侧20m处，则xN=40−20=20，令x=20，代入解析式求出y值，再乘以2即可；
（3）令y=16.25，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，点P40,5，D0,25，
设主索所在抛物线的解析式为y=ax−402+5，
将D0,25代入该解析式可得，25=a0−402+5，
∴ a=180，
∴该悬索桥主索所在抛物线的解析式为y=180x−402+5；
（2）解：设点N在M点左侧20m处，则xN=40−20=20，
当x=20时，y=180×20−402+5=10，
则这两条吊索的总长度为：2×10=20m，
∴这两条吊索的总长度为20m．
（3）解：吊索长度为16.25m，
则180x−402+5=16.25，
解得x1=10或x2=70，
答：应将该吊索安置在距A点10m或70m的桥面上．
题型七： 利用方程（函数）解决几何问题
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，BE=y米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
【答案】(1)y=4−17x800，
∴0