2025-2026学年福建省龙岩市第一中学等校高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省龙岩市第一中学等校高二（下）期中数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f（x）是定义在R上的可导函数，若，则f′（2）=（ ）
A. B. -1C. D. 1
2.已知平面α的一个法向量为=（1，1，1），点A（2，1，0）为平面α上任意一点，则点P（2，3，4）到平面α的距离为（ ）
A. B. 2C. D.
3.函数f（x）=xlnx在点x=e处的切线方程为（ ）
A. y=2x+eB. y=2x-eC. y=x+eD. y=x-e
4.在空间四边形ABCD中，若向量.点E.F分别为线段BC，AD的中点，则=（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数g（x）=ax-sinx在区间[-1，1]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A. cs1＜a＜1B. cs1≤a＜1C. cs1＜a≤1D. cs1≤a≤1
6.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为4，AA1，BB1，CC1，DD1均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若函数h（x）=ex+b-lnx的最小值为，则b=（ ）
A. B. C. D.
8.曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语.例如，在平面上，点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）的曼哈顿距离为LPQ=|x1-x2|+|y1-y2|.若点P（x1，y1）为圆M：x2+y2=4上一动点，Q（x2，y2）为直线l：k（x-2）-y-4=0，k∈[1，2]上一动点，设L（k）为P，Q两点的曼哈顿距离的最小值，则L（k）的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面四个结论中，正确的是（ ）
A. 点A（1，-1，2）关于xOz平面对称的点的坐标是（1，1，2）
B. 若•＜0，则向量，的夹角是钝角
C. 已知=（0，1，1），=（0，0，-1），则在上的投影向量的模为1
D. 设{，，}是空间的一个基底，则{+，++，}也是空间的一个基底
10.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. f（x）在处取得极大值
B. f（x）有两个不同的零点
C.
D. 若lnx＜kx2在[2，3]上有解，则
11.如图，在长方形ABGH中，AH=3，AB=1，点C，F，D，E是所在边BG和AH上的三等分点，将长方形按照图中虚线进行翻折，使得AD，DE重合，AB，EH重合，GH，BC重合，FC，FG重合，得到六面体ABDFC，其直观图如图所示，则（ ）
A. 该六面体的表面积为3
B. 点A到平面BDF的距离为
C. 二面角A-FD-C的余弦值为
D. 该六面体内能装下的最大的球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知=（3，0，2），=（x2，0，4），若∥，则x= .
13.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AD1∩A1D=O，记向量，若向量，则x+y+z= .
14.若eax-lnx-（1-a）x≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立（其中e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数在x=2处取得极值3-ln2.
（1）求实数a,b的值；
（2）求f（x）在区间[1，e]上的值域.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BA⊥AC，BA=AC=AD=CD=PA=2，.
（1）若BC上有一点F，满足，证明：平面PBC⊥平面PAF.
（2）求平面PBC与平面PED夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为V.
（1）建立V关于x的函数，并求V的最大值；
（2）在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为V0，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长x的取值（用仅含V0的式子表示）.
18.(本小题17分)
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，.
（1）若点N在底面ABCD内，且DN∥平面AFC1，求点N的轨迹长度；
（2）若平面C1FA截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面交BB1于点E，求四边形AFC1E的面积；
（3）在（2）的条件下，已知点M在侧面ADD1A1内，且D1M∥AF，当直线ME与平面AFC1所成角的正弦值最大时，试探究点M的位置.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）讨论f（x）的单调性.
（2）设函数.
（i）当a=1时，证明：.
（ii）若F（x）有两个零点，求实数a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】0
14.【答案】[，+∞）
15.【答案】a=1，b=2 [3- ln2，3]
16.【答案】证明：连接AF，PF．
因为，
所以AF⊥BC．
又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PA⊥BC．
因为PA∩AF=A，PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，且PA∩AF=A，
所以BC⊥平面PAF，BC⊂平面PBC，
所以平面PAF⊥平面PBC．

17.【答案】
18.【答案】 点M为A1A上靠近点A的三等分点
19.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减 （i）证明：当a=1时，．
令，则φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
且，
故，即．
当0＜x＜x0时，φ（x）＞0，g′（x）＞0；当x＞x0时，φ（x）＜0，g′（x）＜0．
∴g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．
∴，
∵，且在上单调递减，
∴，
∴；（ii）