福建省龙岩市一级达标校2025-2026学年高二下学期期中测试数学试卷（Word版附答案）

这是一份福建省龙岩市一级达标校2025-2026学年高二下学期期中测试数学试卷（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了函数 的图象在 处的切线方程是，若函数 的最小值为 ，则，下面四个结论中，正确的是，对于函数 ，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120 分钟 总分：150 分）
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 （ ）
A. B.-1 C. D.1
2.已知平面 的一个法向量为 ，点 为平面 上任意一点，则点 到平面 的
距离为（ ）
A. B.2 C. D.
3.函数 的图象在 处的切线方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.在空间四边形 中，若向量 ，点 分别为线段 的中点，
则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均
为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池， 均与曲池的
底面垂直，且 ，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 2 和 4，对应的圆心角为 ，则图中异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.若函数 的最小值为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.曼哈顿距离（或出租车几何）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空
间的几何学用语.例如，在平面上，点 和点 的曼哈顿距离为 .若
点 为圆 上一动点， 为直线 上一动点，
设 为 两点的曼哈顿距离的最小值，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项
符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.下面四个结论中，正确的是（ ）
A.点 关于 平面对称的点的坐标是
B.若 ，则向量 的夹角是钝角
C.已知 ，则 在 上的投影向量的模为 1
D.设 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
10.对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D.若 在 上有解，则
11.如图，在长方形 中， ，点 是所在边 和 上的三等分点，将长
方形按照图中虚线进行翻折，使得 重合， 重合， 重合， 重合，得到六
面体 ，其直观图如图所示，则（ ）
A.该六面体的表面积为 3
B.点 到平面 的距离为
C.二面角 的余弦值为
D.该六面体内能装下的最大的球的体积为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.已知 ，若 ，则 __________.
13.如图，在平行六面体 中， ，记向量 ，若向
量 ，则 __________.
14.若 对任意的 恒成立（其中 为自然对数的底数），则实数 的取值范
围为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知函数 在 处取得极值 .
（1）求实数 的值；
（2）求 在区间 上的值域.
16.（15 分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ，
.
（1）若 上有一点 ，满足 ，证明：平面 平面 .
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（15 分）
将一个边长为 的正方形铁片的四角截去四个边长为 的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容
积为 .
（1）建立 关于 的函数，并求 的最大值；
（2）在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为 ，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的
小正方形的边长 的取值（用仅含 的式子表示）.
18.（17 分）
如图，在长方体 中， .
（1）若点 在底面 内，且 平面 ，求点 的轨迹长度；
（2）若平面 截长方体 所得的截面交 于点 ，求四边形 的面积；
（3）在（2）的条件下，已知点 在侧面 内，且 ，当直线 与平面 所成角
的正弦值最大时，试探究点 的位置.
19.（17 分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
（2）设函数 .
（i）当 时，证明： .
（ii）若 有两个零点，求实数 的取值范围.
2025-2026 学年第二学期期中测试
高二数学参考答案
1.C 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B
8.直线 恒过定点 ，
由点 到直线 的距离为 ，
得 ，
即直线 与圆 相离.
当直线 的斜率 满足 时，作出一条纵截距为负数的直线平行于直线 ，如图所示.
要使得 最小， 应位于切点处，作 轴交直线 于点 ，过 作直线 于点 ，
当 位于点 的左方时， ，
当 位于点 的右方时，同理也有 ，于是有 .
设直线 与圆 相切，则有 ，
即切线的横截距为 ，而直线 的横截距为 ，
，
在 上单调递减， .
综上， ，故 B 正确.
9.AC 10.ACD 11.ABD
11.根据题意，在六面体 中，
，
故此六面体 由两个全等的三棱锥 构成，
表面积 ，故 A 正确.
又 ，
同理可得 ，
又 平面 ，
平面 .
设点 到平面 的距离为 .
，
，故 B 正确.
如图，以 为原点建立空间直角坐标系，
并连接 交平面 于点 ，则 ，
又 为等边三角形，且六面体 关于平面 对称，
，
则 .
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 不妨取 ，则 ，
，又二面角 为钝角，
∴二面角 的余弦值为 ，故 C 错误.
该六面体内能装下的最大的球为其内切球，设半径为 ，
六面体的表面积 ，
，解得 ，球的体积为 ，
即该六面体内能装下的最大的球的体积为 ，故 D 正确.
12. 13. 14.
14.依题意得 对任意的 恒成立，
令 ，因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
令 ，则 .
当 时， ，则函数 在 上单调递增；当 时， ，则函数 在
上单调递减.
故 ，即 .
15.解：（1）由 求导得 ，
因为 在 处取得极值 ，所以
解得 经验证， 在 处取得极值，符合
题意.
故 .
（2）由（1）可得 ，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，
且 ，所以 ，
故 在区间 上的值域为 .
16.（1）证明：连接 （图略）.
，
.
又 平面 平面 ，
.
平面 ，
平面 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.
由 ，
可得 .
设平面 的法向量为 ，
则
，取 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
∴平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.解：（1）∵底边长为 ，高为 ，
.
，
，
令 ，即 ，解得 （ 舍去 .
当 时， ，当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
可得 .
（2）盒子的表面积 ，
由 ，得 ，即 ，
代入表面积公式得 ，则 .
令 ，得 ，即 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，表面积最小.
18.解：以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
.
（1）设 ，则 .
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，则 ，
即 .
因为 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则点 的轨迹是线段 .
（2）连接 ，设 ，得 ，
由于 四点共面，可设 ，
即 ，解得 所以 ，
此时 .因为 ，所以 ，又 ，
所以四边形 是菱形，又 ，
所以四边形 的面积 .
（3） ，设 ，则
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
当 时， 取得最大值 ，
则当 ，即 时，直线 与平面 所成角的正弦值最大，此时点 为 上靠
近点 的三等分点.
19.解：（1） .
①当 时， 恒成立，又 ，
，故 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，易得当 时， ，则 在
上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）（i）证明：当 时，
.
令 ，则 在 上单调递减，
且 ，
故 ，即 .
当 时， ；当 时， .
在 上单调递增，在 上单调递减.
，
，且 在 上单调递减，
，
.
（ii）（方法一） ，令 ，得 .
令 ，则 ，
化简得 .
令 ，则 在 上单调递减，又 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 ，
又 ，当 时， ，
，
与 有两个交点的充要条件是 ，
的取值范围为 .
（方法二）（最大值分析，极值代换）
依题意得 ，
.
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，至多一个零点.
当 时，令 ，得 ，
解得正根为 .
此时 在 上单调递增，在 上单调递减， .
由 ，得 ，代入 得
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
，即 ，
整理得 ，解得 ，