2025-2026学年福建省龙岩市第一中学等校高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省龙岩市第一中学等校高一（下）期中数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足zi=-3+4i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A. 3B. -4C. -3D. 4
2.如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，则=（ ）
A.
B.
C.
D.
3.如果a,b表示直线，α，β表示平面，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 若a∥b,b⊂α，则a∥αB. 若a∥α，b∥α，则a∥b
C. 若a∥b,b∥α，则a∥αD. 若a∥α，a⊂β，α∩β=b,则a∥b
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知b=2，，A=60°，则c=（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
5.已知向量，满足，，，则在上的投影向量等于（ ）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,面积为S.若a=1，，且4S=csC+ccsA，则sinC=（ ）
A. B. C. D.
7.在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，P为菱形ABCD所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
8.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面的边长分别为2，6，高为4，P，Q分别是侧棱AA1，CC1的中点，经过P，Q作该正四棱台外接球的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A. 8πB. 10πC. 12πD. 14π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数z=（3+4i）（1+i），则（ ）
A. z的虚部为7B. z在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. z是方程x2+2x+50=0的一个根
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则（ ）
A. 若a＞b＞c,则sinA＞sinB＞sinC
B. 若，则△ABC是锐角三角形
C. 若，则
D. 若满足，的△ABC有两个，则边长BC的取值范围是
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，Q为DD1的中点，动点P在侧面BCC1B1内且满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体QPBC的体积为
B. 若λ=2μ，则BP∥AQ
C. 若存在点P，使PQ∥平面B1AD1，则PQ长度的最小值是
D. 若λ+μ=1，则AP+PQ的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，△ABC的斜二测画法的直观图是△A1B1C1，其中A1B1=B1C1=2，那么△ABC的面积为 .
13.在梯形ABCD中，，，设（λ，μ∈R），则λ+μ= .
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若csin（C-A）=asin2C，且a=4，则△ABC面积的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，.
（1）若向量，求实数k的值；
（2）若向量满足，求的值.
16.(本小题15分)
已知复数z=a+i（a∈R），且2z+z2为实数，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
（2）在复平面内，设复数，z+i,z2+1对应的点分别为A，B，C，若四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，求点D对应的复数.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知cs2A-cs2B=（sinC+sinA）sinC.
（1）求B；
（2）若∠ABC的平分线交边AC于点D，且AD=2DC，BD=2，求△ABC的面积.
18.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P分别为棱D1C1，B1C1，AA1的中点.
（1）求证：D，B，F，E四点共面.
（2）设平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,求证：BD∥l.
（3）棱A1D1上是否存在一点M，使PM∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c.
（1）已知.
（ⅰ）求角B；
（ⅱ）若c=1，且△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
（2）设P为△ABC内一点，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，若cs2B+cs2C-cs2A=1，PB+PC=tPA，求实数t的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】16
15.【答案】k=-2
16.【答案】z=-1+i 5-3 i
17.【答案】
18.【答案】连接D1B1，
因为E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，
所以EF∥D1B1，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1且DD1=BB1，
所以四边形DBB1D1为平行四边形，
所以DB∥B1D1，
所以EF∥BD，
所以D，B，F，E四点共面 由（1）知EF∥BD，
又EF⊂平面A1B1C1D1，BD⊄平面A1B1C1D1，
所以BD∥平面A1B1C1D1，
因为平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l，BD⊂平面A1BD，
所以BD∥l 存在，
19.【答案】（ⅰ）；（ⅱ）