初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）分式的乘除教学设计

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）分式的乘除教学设计，共7页。教案主要包含了教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教材分析
《分式的乘除》是浙教版初中数学七年级下册第五章第三节的内容．它是在学生学习了整式乘除、因式分解以及分式基本性质的基础上进行的深入探究．从知识体系来看，它既是对分数乘除法运算的拓展，将运算对象从数延伸到代数式，完善了代数式运算的知识架构；为后续分式的混合运算、分式方程的学习筑牢基础．通过对分式乘除法则的学习，学生能够进一步理解代数式的运算规律，提升运算能力和逻辑思维能力，体会数学知识之间的紧密联系与类比转化思想，在初中数学学习中起着承上启下的关键作用．

二、学情分析
学生在学习本节课之前，已掌握整式的乘除运算、因式分解等知识，对分数的乘除法法则也较为熟悉，这为学习分式的乘除奠定了良好基础．他们具备一定的运算能力和逻辑思维能力，能够进行简单的代数式运算和推理．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生在知识迁移、理解复杂代数式运算以及灵活运用法则方面可能存在困难，如在分式分子分母为多项式时进行因式分解和约分，容易出现错误．需要教师在教学中给予更多引导与鼓励，帮助不同层次的学生更好地掌握知识．

三、教学目标
1．理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，体会类比的思想．
2．会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理．
3．能解决一些与分式乘除有关的实际问题．
4．教学中渗透类比转化的思想，培养学生主动探究、合作交流的能力．

四、教学重难点
重点：掌握分式的乘除运算法则．
难点：理解分式乘除运算的算理，以及在实际问题中，准确分析数量关系，构建分式乘除模型并求解．

五、教学过程
情景导入
火车提速后，平均速度v提高到原来的x倍．那么火车行驶同样的路程s，时间可缩短到原来的几分之几？
解：我们可列出算式sxv÷sv ．
师生活动：教师展示火车提速情境，提出问题引导学生思考并列出算式；学生积极思考，尝试列出算式并参与讨论．
设计意图： 从生活实际问题出发，引发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时为引出分式乘除运算做铺垫，自然地导入新课．
探究新知
活动一：探究分式的乘除法法则
回顾分数的乘除法法则：
分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分数除以分数，把除数的分子和分母颠倒位置后再与被除数相乘．
1．根据分数的乘除法法则计算:
−23×45； （2）76÷149 ．
解： （1）−23×45=−2×43×5=−815 ；
（2）76÷149=76×914=34 ．
2．请对照上面分数的计算,完成下列填空:
（1）3x∙zy= ； （2）b3a÷2ab= ．
解：（1）3x∙zy=3×zx×y=3zxy ；
b3a÷2ab=b3a×ab2=b26 ．
运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式．
分数的乘除法法则可以推广到分式的乘除运算．
分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
符号语言：ab∙cd=acbd；ab÷cd=ab∙dc=adbc ．
师生活动：教师引导学生回顾分数乘除法法则，让学生计算分数乘除题目，再类比完成分式填空；学生独立计算、填空，小组交流讨论，总结分式乘除法法则．
设计意图：通过回顾旧知，利用类比的方法探究分式乘除法法则，符合学生的认知规律，便于学生理解和接受，培养学生的类比推理能力和自主探究能力．
活动二：利用分式的乘法法则计算
计算（1）7b6a2∙8a37b2 （2）a+2a−2∙1a2+2a
解：（1）7b6a2∙8a37b2=7b∙8a36a2∙7b2=4a3b ；
（2）a+2a−2∙1a2+2a=a+2a−2∙aa+2=1a2−2a；
讨论：如何进行分式乘法运算？
步骤：
第一步：确定结果的符号；
第二步：若分子分母都是单项式，根据分式的乘法法则运算；
若分子分母含多项式，先分解因式，再根据分式的乘法法则运算；
第三步：结果化为整式或最简分式.
师生活动：教师出示题目，引导学生分析解题思路，学生尝试计算，教师巡视指导，最后组织学生讨论分式乘法运算规律．
设计意图：通过具体题目练习，让学生熟练掌握分式乘法法则的应用，在讨论中总结运算规律，加深对知识的理解和掌握，提高学生的运算能力和归纳总结能力．
活动三：利用分式的除法法则计算
计算：（1）2ab÷−3b2a； （2）a2+2aa2−6a+9÷a2−4a2−3a； （3）m2−1612−3m÷m2+4m．
解：（1）2ab÷−3b2a=2ab∙−a3b2=−2ab∙a3b2=−2a23b；
（2）a2+2aa2−6a+9÷a2−4a2−3a=aa+2a−32∙aa−3a+2a−2=a2a−3a−2=a2a2−5a+6 ；
（3）m2−1612−3m÷m2+4m=m+4m−434−m∙1mm+4=−13m ．
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的式子．
讨论：如何进行分式除法运算？
步骤：
第一步：确定结果的符号；
第二步：利用除法法则，将除法运算转化为乘法运算；
第三步：若分子分母都是单项式，根据分式的乘法法则运算；
若分子分母含多项式，先分解因式，再根据分式的乘法法则运算；
第四步：结果化为整式或最简分式.
师生活动：教师给出除法题目，引导学生将除法转化为乘法进行计算，强调运算步骤；学生按要求计算，小组讨论分式除法运算规律．
设计意图：使学生理解并掌握分式除法运算的方法，明确将除法转化为乘法这一重要思想，培养学生知识迁移能力和运算的准确性．
应用新知
例1． （1） 3a4b2∙16b39a2 （2）−3ab4x2y÷21b10xy
（3）−3xy÷2y23x （4）x+yx−y÷xy+x2
解：（1） 3a4b2∙16b39a2=48ab336a2b2=4b3a
（2）−3ab4x2y÷21b10xy=−3ab4x2y∙10xy21b=−30abxy84x2yb=−5a14x
（3）−3xy÷2y23x=−3xy×3x2y2=−9x22y
（4）x+yx−y÷xy+x2=x+yx−y×1xx+y=1xx−y
总结：乘法按照乘法运算法则运算，除法先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．
例2．计算：3m+3n2m2n∙4mn2m2−n2．
分析：按照分式的乘法法则进行运算，能约分的先约分，若分子、分母是多项式的要先分解因式．
解： 3m+3n2m2n∙4mn2m2−n2=3m+n2m2n∙4mn2m+nm−n=6nmm−n ． ．
例3．计算x2−10x+25x−1÷5−xx2−1
分析：如果分式的分子、分母为多项式，先要进行因式分解．
解：x2−10x+25x−1÷5−xx2−1=x−52x−1×x+1x−1−x−5=−x−5x+1=−x2+4x+5．
例4．马小虎学习了分式的混合运算后，做了一道混合运算题：24−4x+x2÷x+3∙x−2x+3，李老师想请你帮他批改一下．请问下面的运算过程对吗？
分析：乘除法混合运算，按照从左到右的顺序依次计算．
解：24−4x+x2÷x+3∙x−2x+3
=22−x2÷x+3∙x−2x+3
=2x−2
解：不对，正确的解法如下：
24−4x+x2÷x+3∙x−2x+3
=22−x2∙1x+3∙x−2x+3
=2（x−2)x+32 ．
例5．一个长、宽、高分别为l，b，h的长方体纸箱恰好装满了一层高为h的圆柱形易拉罐．求纸箱空间的利用率(易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到1%)．

解：设易拉罐的底面半径为r，由题意得，易拉罐的总数为l2r×b2r=lb4r2 (个)．
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易拉罐所占空间的总体积与纸箱的容积之比为lb4r2∙πr2∙ℎ÷lb∙ℎ=π4≈79%．
答：纸箱空间的利用率约为79%．
师生活动：教师讲解例题，引导学生分析题目特点，选择合适方法解题；学生认真听讲，积极思考，完成例题练习并展示解答过程．
设计意图：通过多样化的例题，让学生巩固分式乘除法法则，提高学生综合运用知识解决问题的能力，培养学生严谨的解题习惯．
课堂练习
1．下面的计算对吗？如果不对，应怎样改正？
（1）−x2b∙6bx2=3bx ； （2）4x3a÷a2x=23
解：（1）不对，改正：−x2b∙6bx2=−3x ．
分析：根据分式的乘法法则，分子乘分子，分母乘分母，然后约分即可．
（2） 不对，改正: 4x3a÷a2x=4x3a∙2xa=8x23a2 ．
分析：根据分式的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，然后约分即可．
2．计算
（1）xy−x2÷x−yxy （2）4x2−1x2+x∙x+11−2x÷1x
解：（1）xy−x2÷x−yxy=xy−x×xyx−y=-−x2y
（2）4x2−1x2+x∙x+11−2x÷1x=2x+12x−1xx+1∙x+11−2x∙x=−2x+1=−2x−1
3．节前语中问题：火车提速后，平均速度v提高到原来的x倍．那么火车行驶同样的路程s，当x=117时，时间可缩短到原来的几分之几？
解：我们可列出算式sxv÷sv=s117v÷sv=7s11v×vs=711 ．
答：时间可缩短到原来的711．
4．先化简再求值：a2−1a2−2a+1÷a+1a3−a2，其中a=3．
分析：按照分式乘除法法则化简已知式子，最后代入数值计算．
解：a2−1a2−2a+1÷a+1a3−a2=a+1a−1a−12∙a2a−1a+1=a2 ．
将a=3代入可得，原式=32=3．
师生活动：教师布置练习题，学生独立完成，教师巡视批改，对学生的解答进行评价和反馈．
设计意图：及时巩固所学知识，发现学生存在的问题并及时纠正，强化学生对分式乘除运算的掌握程度．
课堂检测
1．计算：
（1）3a4y∙2y23a2 （2）3xy2÷6y2x
解：（1）3a4y∙2y23a2=3a∙2y24y∙3a2=y2a
（2）3xy2÷6y2x=3xy2∙x6y2=3xy2∙x6y2=x22
2．计算：
（1）b2ax2÷−ax3b×6ab （2）x4x2−4x+1÷12x2−x
解：（1）b2ax2÷−ax3b×6ab=b24a2x2×−3bax×6ab=−b24a2x2×3bax×6ab=−9b22a2x3
（2）x4x2−4x+1÷12x2−x=x2x−12×x2x−1=x22x−1
3．先化简a2−4a2−a∙a−1a+22÷a2+2aa2−1，然后选取一个你喜欢的数作为a的值代入计算．
解：a2−4a2−a∙a−1a+22÷a2+2aa2−1=a+2a−2aa−1∙a−12a+22∙a+1a−1aa+2=(a−2）（a+1）(a−1)2a2a+22 ．
当a=2时，原式=0 ．
4．把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上(如图中蓝色区域)．求甲、乙两块土地的撒播密度之比．如果a=53b，那么哪一块地的撒播密度较大(撒播密度=花种数量撒播面积）？
解：甲、乙两块土地的撒播密度之比:
花种数量a2−b2∶花种数量12a+b2=12a+b2a2−b2=a+b4a−b．
当a=53b时，甲、乙两块土地的撒播密度之比=53b+b453b−b=1．
所以甲、乙两块土地的撒播密度一样大．
答：甲、乙两块土地的撒播密度之比为a+b4a−b．如果当a=53b时，甲、乙两块土地的撒播密度一样大．
师生活动：教师发放检测题，学生在规定时间内完成；教师批改试卷，对检测结果进行分析总结．
设计意图：全面了解学生对本节课知识的掌握情况，为后续教学提供依据，同时培养学生的应考能力和独立思考能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．分式乘法的法则是什么？用式子如何表示？
3．分式除法的法则是什么？用式子如何表示？
设计意图：教师引导学生回顾本节课所学内容,帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，培养学生归纳总结和反思的学习习惯，提炼数学思想方法
实践作业
你听说过著名的牛顿万有引力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力．如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是F=G∙m1m2d2(G为常数)．人在地面上所受重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R．站在月球上的人所受的月球重力将是他在地球表面上所受地球重力的几分之几？(参考数据:月球的质量约是地球质量的10801，月球的半径约是地球半径的100367 ．
设计意图：将数学知识与物理知识相结合，拓展学生的知识面，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的综合素养．