2024年新高考数学一轮复习 第九章 第一节 两个计数原理与排列组合

课时跟踪检测（六十六） 两个计数原理与排列组合

1．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　 )

A．504  B．210

C．336  D．120

解析：选A　分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．

2．(2023·日照模拟)某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为(　 )

A．48  B．60 

C．96  D．168

解析：选C　由题意所求方法数为6人中任选派3人的方法数减去甲和乙同去的方法数为A－CA＝96.故选C.

3．(2023·惠州模拟)现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有(　 )

A．36种  B．18种 

C．9种  D．6种

解析：选B　根据题意首先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体，然后从3个项目中选择2个项目排列即可，故不同的报名方法种数为C·A＝18.故选B.

4.(2023·潍坊高三期末)如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为(　 )

A．90     B．324     C．360  D．400

解析：选C　根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成，第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有CC＝40种情况，第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况，故共有40×9＝360种，即密码个数为360，故选C.

5．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为(　 )

A．6      B．10      C．16  D．20 

解析：选B　依题意，从左到右数第一个格子必须为黑色，则出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子包含的情况有：①全染黑色，有1种方法；②从左到右数第一个格子染黑色，另外四个格子中有1个格染白色，剩余的都染黑色，有C＝4种方法；③从左到右数第一个格子染黑色，另外四个格子中有2个格染白色，剩余的都染黑色，有C＋C＝5种方法．所以出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法有1＋4＋5＝10种，故选B.

6．某校举行科技文化艺术节活动，学生会准备安排6名同学到两个不同社团开展活动，要求每个社团至少安排两人，其中A，B两人不能分在同一个社团，则不同的安排方案数是(　 )

A．56      B．28     C．24  D．12

解析：选B　设两个社团为甲社团和乙社团，当A在甲社团B在乙社团时，甲社团有2人有C种方案，甲社团有3人有C种方案，甲社团有4人有C种方案，共C＋C＋C＝4＋6＋4＝14种方案；当B在甲社团A在乙社团时，同理也有14种方案；所以不同的安排方案数是14＋14＝28.

7．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名校长分别去南校门，北校门和东校门组织迎接新生工作，要求每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则不同的安排方式有(　 )

A．6种      B．12种    C．15种  D．18种

解析：选B　由题，安排四名校长去三个校门，每个校门至少安排一名校长，且甲校长必须安排到南校门，则南校门的人数为1或2，当南校门有1人时，即甲校长，剩余3人安排在另2个校门，则有C×A＝6种安排方式；当南校门有2人时，先在除甲校长外的3人中选出1人安排在南校门，再安排剩余2人去另2个校门，则有C×A＝6种安排方式，所以共有6＋6＝12种．

8．(2022·湖南师大附中二模)现有5个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁两人不能相邻，那么不同的站法共有(　 )

A．12种   B．16种   C．24种  D．36种

解析：选C　根据题意，5个小朋友可分别记为甲、乙、丙、丁、戊，先将甲、乙捆绑在一起，内部有A种排列；再将甲、乙与戊排列有A种方法；然后将丙、丁插入三个空，有A种方法，根据分步乘法计数原理，可得共有方法AAA＝24种．故选C.

9．2022年9月30日至10月9日，第56届国际乒联世界乒乓球团体锦标赛在成都举行，组委会安排甲、乙等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，且甲、乙2人必须在一起，则不同的安排方法的种数为(　 )

A．240      B．180    C．156  D．144

解析：选A　分以下两种情况讨论：(1)若甲、乙两人所在的岗位只分配了甲、乙两人，则另外有一个岗位需要安排两人，此时，不同的安排方法种数为CCA＝144；(2)若甲、乙两人所在的岗位分配了三人，则还需从其余四人中抽取一人分配在甲、乙这两人所在的岗位，此时，不同的安排方法种数为CA＝96．综上所述，不同的安排方法种数为144＋96＝240.

10．(多选)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是(　 )

A．A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B．A与C同学不相邻，共有AA种站法

C．A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法

D．A不在排头，C不在排尾，共有A－2A＋A种站法

解析：选ABD　6个人全排列有A种方法，A，C，D全排列有A种方法，所以A，C，D从左到右按由高到矮的排列有＝120种方法，故A正确；先排列除A与C外的4个人，有A种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将A和C插入5个空，有A种方法，所以共有AA种方法，故B正确；A，C，D必须排在一起且A在C，D中间的排法有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A种方法，所以共有2A＝48种方法，故C错误；6个人全排列有A种方法，当A在排头时，有A种方法，当C在排尾时，有A种方法，当A在排头且C在排尾时，有A种方法，所以A不在排头，C不在排尾的情况共有A－2A＋A种，故D正确．

11．某高中举办2022年“书香涵泳，润泽心灵”读书节活动，设有“优秀征文”“好书推荐语展示”和“演讲”三个项目．某班级有7名同学报名参加，要求每人限报一项，每个项目至少2人参加，则报名的不同方案有(　 )

A．420种  B．630种 

C．1 260种  D．1 890种

解析：选B　由题知，7名同学分成3个组，每组分别有2,2,3人，共有＝105种分组方式．再排列有·A＝630种方案．故选B.

12．(多选)众所周知，组合数C＝，这里m，n∈N*，并且m≤n.牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C中的下标n推广到任意实数，规定广义组合数C＝是组合数的一种推广，其中(m∈N*，x∈R)，且定义C＝1，比如C＝＝0.下列关于广义组合数的性质说法正确的有(　 )

A．C＝－210

B．当m，n为正整数且m>n时，C＝0

C．当m为正奇数时，C＝－1

D．当n为正整数时，C＝(－1)mC

解析：选BCD　选项A，由题意，C＝＝210，故A不正确；选项B，由C＝，当m，n为正整数且m>n时，则n－m≤－1，所以n－m＋1≤0，所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，一定有某个数为0，所以C＝＝0，故B正确；选项C，当m为正奇数时，C＝＝＝－1，故C正确；

选项D，当n为正整数时，

C＝

＝(－1)m.

C＝

＝.

所以C＝(－1)mC，故D正确．

13．中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲、乙不在同一实验舱的种数有(　 )

A．60  B．66 

C．72  D．80

解析：选C　5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有CCC＝90种安排方法，若甲、乙在同一实验舱的种数有CCC＝18种，故甲、乙不在同一实验舱的种数有90－18＝72种．

14．(2023·淄博模拟)若A＝6C(m∈N*，m≥4)，则m＝________.

解析：因为A＝6C(m∈N*，m≥4)，

所以m(m－1)(m－2)＝6×，

即6(m－3)＝4！，解得m＝7.

答案：7

15.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力．现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有________种不同的涂色方法．

解析：当选择两种颜色时，因为橄榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C－1＝5种选法，因此不同的涂色方法有5×2＝10种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种选法，因此不同的涂色方法有2×2×2＝8种，当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种选法，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2＋1)＝36种，当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2×2×2＋2×2＝12种，所以共有10＋8＋36＋12＝66种不同的涂色方法．

答案：66

16．(2023·深圳模拟)安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有________种．

解析：将5项工作按每人完成的工作数分成3组为1,2,2或1,1,3，

若分组为1,2,2，则有·A＝90(种)安排方式；若分组为1,1,3，则有·A＝60(种)安排方式．故总的安排方式有90＋60＝150(种)．

答案：150