2027届高中数学高考一轮复习课件：第八章　第61课时　抛物线

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[考试要求]1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．3．了解抛物线的简单应用．4．理解数形结合的思想．
3．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9B．8C．7D．6
B　[抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．]
4．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________________．
y2＝－8x或x2＝－y　[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y．]
y2＝－8x或x2＝－y
5．(人教B版选择性必修第一册P167习题2-7AT2改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是_____________．
y2＝16x　[∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，∴点M的轨迹方程为y2＝16x．]
1．抛物线的概念我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．
2．抛物线的标准方程与几何性质
[二级结论]　与焦点弦有关的常用结论




1．求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法．当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．抛物线性质的应用要树立两个意识(1)转化意识：见准线想焦点，见焦点想准线．(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．
考点一　抛物线的定义及标准方程考向1　求抛物线的标准方程[典例1]　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，AD⊥l于D．若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x
(2)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为_____________．
(2)由题意得，直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
【拓展变式】　本例(2)的条件变为“动点M(x，y)到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3”，则动点M满足的方程为______________________________．
y2＝12x(x≥0)或y＝0(x0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　　)A．3B．4C．5D．6
(2)(2026·福建名校联考)设抛物线C：x2＝8y的焦点为F，A(4，5)，点B在C上，则△FAB的周长的最小值为(　　)A．8B．10C．12D．16
(1)C　(2)C　[(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．(2)如图，由已知，抛物线的准线方程为y＝－2，△FAB周长为|AB|＋|BF|＋|AF|，设BD垂直于抛物线的准线于D，则由抛物线的定义，|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋|AF|，因为F(0，2)，A(4，5)，所以|AB|＋|BF|＋|AF|＝|AB|＋|BD|＋5，要使周长最小，即|AB|＋|BD|最小，当且仅当A，B，D三点共线时，取最小值为7，所以最小周长为12．]
名师点评：抛物线定义的应用规律
[巩固迁移]1．已知点F(0，1)，动点M在直线l：y＝－1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．则曲线C的方程为(　　)A．x2＝－4yB．x2＝4yC．x2＝－2yD．x2＝2y
法二(几何定义法)：由题意知，点P到点F(0，1)的距离等于其到直线y＝－1的距离，则点P的轨迹为以F(0，1)为焦点，以y＝－1为准线的抛物线，则曲线C的方程为x2＝4y．故选B．]
2．已知P为抛物线C：y2＝8x上任意一点，F为抛物线C的焦点，Q为圆M：(x－8)2＋(y－4)2＝4上任意一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　)A．6B．10C．4D．8
D　[如图，过点P作PH垂直准线于点H，连接PM交☉M于点Q．由题意可得F(2，0)，C的准线方程为x＝－2，|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|．因为|PQ|＝|PM|－|QM|＝|PM|－2，所以|PF|＋|PQ|＝|PH|＋|PM|－2，当M，P，H三点共线时，|PH|＋|PM|取得最小值，最小值为8＋2＝10，所以|PF|＋|PQ|的最小值为10－2＝8．故选D．]
2．已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_____________．
y2＝8x　[如图，过点A，B分别作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，由抛物线的定义可知，|AA1|＝|FA|，|BB1|＝|FB|，∵2|FB|＝|FA|，∴2|BB1|＝|AA1|，
名师点评：应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为_____________．
名师点评：解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
[巩固迁移]5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是(　　)A．10B．9C．8D．5
2．抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是_____________．
一、单项选择题1．(2025·北京朝阳二模)若抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，则抛物线C的准线方程为(　　)A．x＝2B．x＝1C．y＝2D．y＝1
课后作业(六十一)　抛物线
D　[因为抛物线C：x2＝my(m≠0)的焦点坐标为(0，－1)，所以抛物线方程为x2＝－4y，准线方程为y＝1．故选D．]
4．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x
6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10
二、多项选择题7．抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是(　　)A．抛物线的方程为x2＝8yB．抛物线的准线方程为y＝－1C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切D．|AF|＋|BF|≥4
三、填空题9．(人教A版选择性必修第一册P139习题3.3T8改编)如图为抛物线形拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m时，水面宽12 m，则水面上升1 m后，水面宽度为_____________m．
10．(人教B选择性必修第一册P164例2改编)已知点P在抛物线x2＝－5y上，且A(0，－3)，则|PA|的最小值为_____________．
12．已知点A(m，4)(m>0)在抛物线x2＝4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2，且l1，l2与抛物线的另一个交点分别为B，C．(1)求证：直线BC的斜率为定值；(2)若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．