安徽省六安市独山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省六安市独山中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷，共12页。
→→
若 a  b ，则a ∥ b
→→→→
若 a  b ，则a  b 或a  b
若a ∥ b, b ∥ c ，则a ∥ c
a
c
若 →  b, b  → ，则a  c
AD
如图，正方形 AMND 和正方形 BMNC 有公共边，与向量 AN 相等的向量为（ ）
DMB． MCC． NBD． –––→
→→→
已知平面向量a ， b 满足 a  1， b  2 ， a 与b 的夹角为 120°，则a  b  （ ）
3
B． 1
C．1D．
3
AB  BC  CM 等于（ ）
AB
BCB． –––→C． ACD． AM
→
已知向量a  2, 3, b  4, 6 ，则下列说法正确的是（ ）
a
A． → ⊥b
→
B．
a / /b
→→→
C． a  b
→
D． a  b
→x
已知向量a  3, 1, b  1, x ，且a ⊥b ，那么
的值是（ ）
3
B．3C． 6
D． 8
已知向量a  1, 2 ， b  3, 4 ，则a  (a  b)  （ ）
4
→
2
→
C．0D．4
若向量a  
3,1 ， b  1, 
3 ，则a 与b 的夹角为（ ）．
π
3
5π
6
π
6
2π
3
多选题
下列说法错误的是（ ）
a
若a 与b 都是单位向量，则 →  b
方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量是共线向量
直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量
若用有向线段表示的向量 AM 与 AN 不相等，则点 M 与 N 不重合
下面给出的关系式中正确的是（ ）
0  →  0
B． →  b  b  →
a
→2→ 2
aa
→ → 2→2 →2
a  a
a  b   a  b
已知向量a  (1, 3) ， b  (2,1), c  (3, 5) ，则（ ）．
→ →→
(2a +b) / /c
(a  2b) / /c
C． | a  c | 2
D． | a  c | 2 | b |
填空题
→
若向量a 的模为 2，向量b 与a 方向相同，且 b
 6 ，则b  a ．
→→→ →
已知 a  6, b  3, a  b  12 ，则向量a 在向量b 上的投影向量是.
→→→→
已知向量a  3, x ， b  1, 2 ，且a//b ，则 2a  b  .
解答题
→→
2
若a ， b 的夹角为135∘ ， a  3 ， b  2
a
求 →  b ；
→→
求 a  b
a
求 →  b 在a 上的投影数量．
化简下列各式：
OA  OD  AD ；
AB  DA  BD  BC  CA ．
( AC  BO  OA)  (DC  DO  OB) ．
→→→
已知 a  1，b  2，a 与b 的夹角是60∘，
→ → →→
计算a  b，a  b ；
a
求 →  b 和a 的夹角的余弦值．
→→
已知向量a  2, 0, b  1, 3  .求：
2a  b ；
a  b ；
a
(ka
若 → →  b ) ，求实数k 的值.
在等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB  2BC  2CD  4 ，点 E，F 分别是边 BC 与边CD 上的点，且
–––→–––→ –––→1 –––→
BE  λBC, DF DC(λ R), AE 与 BD 交于点G .
9λ
当λ 1 时，
3
①用 AB, AD 表示 AE ；
②求| AG |的大小.
求实数λ的取值范围，并求 AE  AF 的最小值.
1．D
→→→
参考答案
→
【详解】对于 A 和 B，由 a  b ，得a, b 的模相等，而它们的方向不确定，则向量a, b 不一定共线，所以 A
和 B 均错误；
a / /b, b / /c
a
c
对于 C，取b  0 ，满足 →→ ，而a, c 可为任意方向，则a, c 不一定共线，C 错误；对于 D， →  b, b  → ，由相等向量的意义，得a  c ，D 正确.
2．B
【详解】由题可知， AM∥NC ，且 AM  NC ，
四边形 AMCN 为平行四边形，则与向量 AN 相等的向量为MC ．
3．B
→ →→ →→ →
∘ 1 
【详解】a  b  a b cs
4．D
a, b
 1 2 cs120
 1 2     1 .
2

【详解】 AB  BC  CM  AC  CM  AM .
5．B
→
→→→→
【详解】因为a  2, 3, b  4, 6 ，则b  2a ，则a / /b ， b
 2 a ，所以 B 正确，C 和 D 错误，
a
又 →  b  2  4  3  6  26  0 ，所以a 与b 不垂直，故 A 错误. 6．B
→→
a
【详解】因为向量a  3, 1, b  1, x ，且a ⊥b ，所以 → b  31 x  0 ，解得 x  3 .
7．C
【详解】因为向量a  1, 2 ， b  3, 4 ，所以a  b  1 3, 2  4  4, 2 ，
所以a  (a  b)  1 4  2 2  0 . 8．B
→ →a  b
2 33
【详解】cs
→ →
a, b
 → → 
a b
2  2   2 ，
5π
因为 a, b 0, π ，所以a 与b 的夹角为.
6
AC
【详解】对于 A，因为a 与b 的方向可能不同，故错误；
对于 B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；对于 C，因为 x 轴、y 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
对于 D，假设点 M 与点 N 重合，则向量 AM  AN ，与已知矛盾，所以假设不成立，即点 M 与 N 不重合，故正确；
故选：AC
ABC
【详解】零向量与任意向量的数量积为 0，故 A 正确； 由平面向量数量积的交换律可知， →  b  b  → ，故 B 正确；
aa
2
 → →→→
a
a
→a  a  a  a cs 0  → 2 ，故 C 正确；
→ → 2→ →
2→2 →22
a  b    a b csθ
 a  b cs θ，故 D 错误.
故选：ABC
BD
→
→→→
【详解】A 选项， 2a  b  0,7 ，不可能有2a  b  / /c ，A 错误
→→→→→
B 选项，因为a  2b  3,5  3,  5  c ，所以a  2b  c ，B 正确；
→→→→
42  22
5
C 选项，因为a  c  4,  2  2 2,1  2b ，所以 a  c 
 2
，故 C 错误.
42  22
→→
D 选项，由 C 选项分析可得 a  c 
 2
→
5
 2 b ，D 正确．
3
→→
【详解】向量a 的模为 2，向量b 与a 方向相同，且 b
4 →
3 b
【详解】根据投影向量公式可得，
 6 ，所以b  3a
a  b  →
12 →4 →
向量a 在向量b 上的投影向量为 → 2
b
b  9 b  3 b .
5
7
→→
【详解】因为向量a  3, x ， b  1, 2 ，且a//b
→
所以3 2  x 1  0 ，解得 x  6 ，所以a  3, 6  3b ，
2a b
6b b
→→→→
因此 
→
12  22
7 b
 7
 7 5 .
15．(1) 6；
5
(2)；
(3)1.
→→
2
【详解】（1）由a ， b 的夹角为135∘ ， a  3 ， b  2，
a
得 →  b  3  2 2 cs135∘  6 .
a  b  2a  b
→2
→
2
→ →
32  (2 2)2  2  (6)
→→
（2） a  b


 5 .
→→→2→2
（3）依题意， (a  b )  a  a  a  b  3  6  3 ，
→→
所以 →  b 在a 上的投影数量为(a  b )  a  1 .
a
16．(1) 0
AB
–––→
0
→
| a |
【详解】（1） OA  OD  AD  DA  AD  0 ．
AB  DA  BD  BC  CA  AB  DA  AC  BD  BC  AB  DC  CD  AB .
( AC  BO  OA)  (DC  DO  OB) =( AC  BA)  (OC  OB)=BC  BC  0 .
→→→
17．(1) a  b  1 ， a  b  7 ；
(2) 2
7
7
→→→
【详解】（1）因为 a  1，b  2，a 与b 的夹角是60∘，
→ →→ →→ →1
所以a  b  a  b cs
→→
(a  b)2
→→
a, b
 1 2   1 ， 2
| a  b |


→→ →→
| a |2 2a  b | b |2
1  2  4
7
a
（2）因为(a  b)  a | a |2 a  b  11  2 ，设 →  b 和a 的夹角为θ，
2 7
(a  b)  a2
7
则csθ →→→ .
| a  b |  | a |7
18．(1) 3,  3 
(2) 2
(3) k   1
2
→→→→
【详解】（1）因为a  2, 0, b  1, 3  ，所以2a  b  4, 0  1, 3   3,  3 
→→→
3
因为a  2, 0, b  1, 3  ，所以a  b  2 1 0  2
a
因为a  (2,0) ，所以 →2  4 ，
a
(ka
因为 → →  b ) ，
所以 → →  b )  →2  →  b  4k  2  0 ，得k   1 .
a (ka
kaa2
–––→
5 –––→
1 –––→
–––→
4 31
19．(1)① AE  6 AB  3 AD ;② AG 7
(2) 58
9
【详解】（1）①在等腰梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB  2BC  2CD  4 ，
–––→–––→π –––→1 –––→
 DC  2, AB  4, BAD , DC  AB ，
32
∵   1 ， –BE––→  λ–BC––→, –DF––→  1 –DC––→
–––→

3
1 –––→
–––→
9λ
1 –––→
BE 
BC, DF 
3
DC ，
3
–––→–––→–––→–––→–––→–––→1 –––→1 –––→–––→
所以 BC  BA  AD  DC   AB  AD  AB   AB  AD ，
22
–––→1 –––→1  1 –––→–––→ 1 –––→1 –––→

BE  3 BC  3   2 AB  AD    6 AB  3 AD ，
–––→–––→–––→–––→  1 –––→1 –––→ 5 –––→1 –––→

所以 AE  AB  BE  AB    6 AB  3 AD   6 AB  3 AD .

A, G, E
–––→–––→ 5 –––→1 –––→ 5 –––→1 –––→
②因为
共线，则存在实数λ，使得 AG  λAE  λ 6 AB  3 AD   6 λAB  3λAD ，
又因为 B, G, D 共线，则存在实数μ，使得 AG  μAB  1 μ AD ，


所以1
5 λ μ
6
，解得λ 6 ,μ 5 .
77

3
λ 1μ
–––→
所以 AG 
5 –––→
AB 
2 –––→
AD .
77
–––→ 2 5 –––→2 –––→ 2
–––→ 220 –––→ –––→–––→ 2
77
AG   AB  AD 


AB AB  AD AD
49
25
49
4
49
 25  42  20  4  2  1  4  22  496 ,
494924949
–––→
 AG 
4 31 .
7
–––→–––→ –––→
1 –––→
（2）因为点 E，F 分别是边 BC 与边 CD 上的点，AE 与 BD 交于点G ， BE  λBC, DF 
DC ，
9λ
 0  λ 11

所以1，解得λ ，
0  1
 9 ,1
9λ
–––→–––→–––→–––→–––→–––→ 1 –––→–––→ λ –––→–––→
22
又因为 AE  AB  BE  AB  λBC  AB  λ  AB  AD   1  AB  λAD ,

–––→–––→–––→–––→
1 –––→–––→
1–––→
AF  AD  DF  AD 
DC  AD 
9λ
 AB .
18λ
–––→ –––→λ –––→–––→  –––→1 –––→ 
所以 AE  AF  1 2  AB  λAD  AD  18λAB 
 
 1 λ  1 –––→2  1 λ 1  –––→  –––→–––→2
2  18λAB   AB AD  λAD

218 
 1 λ  1  42  1 λ 1  4  2  1  λ 22  8  2λ 34 ，
2  18λ
  

218 2
9λ9
–––→ –––→
所以
8  2λ 34  2
8  2λ 34  58 ，当且仅当λ 2 时取“=”.
AE AF
9λ
99λ993
9
所以 AE  AF 的最小值为 58 .