2026年高考物理一轮复习精讲精练第23讲圆周运动的临界问题(讲义)(学生版+解析)

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考点一 水平面内圆周运动的临界问题
基础过关
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
【例1】（2025·河南·模拟预测）如图所示，半径为r3=5r的圆形餐桌中心有一转盘，其半径为r2=3r，可绕其中心轴转动。a、b为两个相同的杯子，其中a置于距中心轴r1=r处，b置于转盘边缘。两个杯子与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，转盘厚度及转盘与餐桌的间隙不计，餐桌始终保持静止，两个杯子均可视为质点，现缓慢增大转盘的角速度。
(1)求a、b分别相对转盘刚发生滑动时转盘的角速度之比；
(2)b相对转盘滑下后，恰不从餐桌边缘掉下，求杯子与桌面间的动摩擦因数μ'。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）杯子相对转盘发生滑动时，根据摩擦力提供向心力可得
解得
即
、相对转盘发生滑动时转盘的角速度之比为
（2）相对转盘滑动
线速度与角速度的关系
b沿切线滑到桌面上
由牛顿第二定律可得
解得b沿切线滑到桌面上的加速度大小为
结合运动学公式
解得
联立可得
【例2】（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小分别为随变化的图像正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当圆盘减速度较小时，两木块均由静摩擦力提供向心力，对a物块有
对b物块有
则b物块受到的摩擦力较小，当角速度时，b物块所受摩擦力达最大值，则
此时a物块所受摩擦力为，即仍未达最大值；
此后随着圆盘角速度逐渐增大，b物块所受摩擦力保持不变，a物块所受摩擦力继续增大；当角速度时，a物块所受摩擦力达最大值，设绳子拉力为，对a、b分别有
继续增大圆盘角速度，绳子拉力继续变大，b物块所需向心力较小，所以b物块所受摩擦力将逐渐减小至零后反向再增大，此过程a物块所受摩擦力为最大值保持不变。
故选C。
【例3】（2025·陕西商洛·二模）如图所示，光滑水平面上固定一光滑竖直硬杆，一原长L=1m、劲度系数k=20N/m的轻质弹簧套在杆上，弹簧下端固定在水平面上。质量均为m=0.5kg的小球a、b，固定在长L=1m的轻质细杆的两端，其中有小孔的a球套在杆上，b球放置在水平面上。给小球b以不同的角速度ω，使其绕竖直杆做匀速圆周运动。重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹力随角速度ω的增大而增大
B．轻质细杆的弹力与ω2成正比
C．当ω=5rad/s时，弹簧的弹力大小为10N
D．当ω分别为和时，a、b小球及弹簧构成的系统机械能之差大于3J
【答案】CD
【详解】A．当小球b离开水平面以后，弹簧的弹力等于两个小球的总重力，弹簧的弹力不变，弹簧的弹力不随角速度ω增大，A错误；
B．当小球离开水平面以后，设细杆与竖直方向成α角，根据牛顿第二定律得
又因为
解得
轻质细杆的弹力与ω2成正比，小球在水平面时不成正比，B错误；
C．设小球b刚好离开水平面时的角速度为ω1，竖直方向根据平衡条件得

解得
弹簧长度是0.5m，轻质细杆与竖直方向的夹角是60°，水平方向根据牛顿第二定律得
解得
当ω=5rad/s时，b球已经离开水平面，弹簧的弹力大小为

C正确；
D．当时b球恰好离开水平面，当时，弹簧长度不变，a球位置不变，弹簧和a球的机械能不变，b球增加的动能为
又因为
解得
b球的重力势能也增加了, 所以b球的机械能的增加值大于3J，故当ω分别为和时，a、b小球及弹簧构成的系统机械能之差大于3J，D正确。
故选CD。
【例4】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图甲所示，绕着竖直转轴转动的水平转盘上放有质量为的斜面体，斜面体上放有一物块，物块质量也为。某时刻转盘开始转动，角速度从零缓慢增大到，斜面体和物块始终与转盘保持相对静止，斜面体到转轴的水平距离为，物块到转轴的水平距离为，均远大于物块和斜面体的尺寸，如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A．转盘对斜面体的摩擦力始终背向转轴
B．斜面体对转盘的压力小于
C．当转盘角速度为时，斜面体所受圆盘的摩擦力小于
D．物块所受斜面体的摩擦力沿斜面向上，并一直增大
【答案】D
【详解】B．物块和斜面体与圆盘保持相对静止时，由整体法，在竖直方向上，转盘对斜面体的支持力与斜面体、物块的总重力是一对平衡力，由牛顿第三定律得斜面体对转盘的压力大小为，选项B错误；
AC．在水平向上，转盘对斜面体有指向圆心的静摩擦力，指向转轴，提供斜面体和物块的向心力，由
选项AC错误；
D．分析物块受重力，弹力，沿斜面向上的摩擦力，设斜面斜角为，在竖直方向
在水平方向
即随增大，增大，减小，即方向沿斜向上，一直增大，D正确。
故选D。
【例5】（2025·甘肃平凉·模拟预测）如图所示，两完全相同的滑块P、Q用长为L的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心O与P、Q在同一条直线上，，两滑块的质量均为m，与转台间的动摩擦因数为μ。现让转台的角速度从0逐渐增加，当角速度为ω1时，Q所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为ω2时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．滑块P、Q所受的摩擦力大小之比始终等于1∶3
B．
C．
D．转台的角速度为时，轻绳的拉力大小为
【答案】B
【详解】A．刚开始角速度比较小时，两滑块的静摩擦力提供所需的向心力，由于滑块Q的半径较大，所需向心力较大，则滑块Q受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后角速度再增大，轻绳的拉力逐渐增大，滑块Q的静摩擦力不变，而滑块P的静摩擦力逐渐增大，直到增加到最大静摩擦力，所以两滑块P、Q所受的摩擦力之比并不始终等于1：3，故A错误；
B．当角速度为时，对滑块Q由牛顿第二定律得
解得
故B正确；
CD．转台的角速度为时，滑块P受到的摩擦力达到最大，分别对滑块P、Q由牛顿第二定律，则有，
联立解得，
故C、D错误。
故选B。
精讲考点
1．解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。
(3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
考点二 竖直面内圆周运动的临界问题
基础过关
1.竖直面内圆周运动一般为变速圆周运动，故除最高点和最低点(或等效最高点和等效最低点)合外力指向圆心，其他位置合外力不指向圆心。
2.在变速圆周运动中，只需要把合外力沿圆心方向和速度方向正交分解，指向圆心的分力提供向心力，只改变速度的方向，沿切线方向的合力改变速度的大小。
3.只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒，有其他力参与做功的可用动能定理或能量守恒解题。
4.竖直面内圆周运动的两类模型
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。
【例6】（2025·湖北武汉·三模）如图所示，在竖直平面内固定一刚性轻质的圆环形细管（管道内径极小），一质量为m的小球放置于管内顶端A点，其直径略小于管道内径。现给小球一微小扰动，使之顺时针沿管道下滑。管内的B点与管道的圆心O等高，C点是管道的最低点，若不计一切摩擦，下列说法中正确的是（ ）
A．小球不可能回到A点
B．小球对细管的作用力不可能为零
C．从A点运动到C点，小球对细管的作用力一直增大
D．从A点运动到B点，小球对细管的作用力先减小后增大
【答案】D
【详解】A．因不计摩擦阻力，则小球无机械能损失，到达A点时速度为零，小球可回到A点，选项A错误；
B．小球下滑在AB段时，若满足
（θ为该位置与圆心连线与竖直方向的夹角）时对细管的作用力为零，选项B错误；
CD．由上述分析，小球从A点运动到C点，在AB之间存在一个压力为零的位置，可知从A点运动到C点小球对细管的作用力先减小后增大，选项C错误，D正确。
故选D。
【例7】（2025·山东济南·二模）如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右侧为管状结构，左侧为单层，外圆半径为R。将质量为m的小球置于轨道最高点，给小球一个轻微的扰动，让小球从右侧由静止滑下。已知管的内径略大于小球直径，且远小于外圆半径，重力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球一定能够回到轨道最高点
B．小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg
C．小球脱离轨道时的速度大小为
D．小球脱离轨道时离地面的高度为
【答案】D
【详解】A．小球从最高点滑下，由于轨道光滑，机械能守恒；当小球滑到最低点时，重力势能完全转化为动能，再从最低点上升时，动能逐渐转化为重力势能。由机械能守恒可知小球能后回到最高点速度减为零；但是小球在左侧单层轨道上运动时，会在中途脱离轨道导致无法回到最高点，故A错误；
B．小球在最低点时速度最大，对轨道的压力也最大。根据机械能守恒，从最高点到最低点的过程满足
解得
在最低点，小球受到的向心力由轨道的支持力N和重力提供
解得
由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为，故B错误；
C．小球在左侧单层轨道上运动时，当重力不足以提供向心力时，小球会脱离轨道。设小球脱离轨道时与竖直方向的夹角为，此时小球的速度为，满足
从最高点到脱离点，根据机械能守恒
解得
故C错误；
D．小球脱离轨道时，与竖直方向的夹角满足
此时小球离地面的高度为
故D正确。
故选D。
【例8】（2024·安徽·一模）为激发学生参与体育活动的兴趣，某学校计划修建用于滑板训练的场地。老师和同学们围绕物体在起伏地面上的运动问题，讨论并设计了如图所示的路面，其中AB是倾角为53°的斜面，凹圆弧和凸圆弧的半径均为R，且D、F两点处于同一高度，B、E两点处于另一高度，整个路面无摩擦且各段之间平滑连接。在斜面AB上距离水平面BE高度为h（未知量）的地方放置一个质量为m的小球（可视为质点），让它由静止开始运动。已知重力加速度为g，取，。
(1)当时，求小球经过最低点C时，路面受到的压力大小FN'；
(2)若小球一定能沿路面运动到F点，求h的取值范围；
(3)在某次试验中，小球运动到段的G点时，重力功率出现了极大值，已知该点路面倾角，求h的值。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）从处由静止释放到C点的过程中，根据机械能守恒定律得
在C点根据牛顿第二定律得
解得，根据牛顿第三定律 ，方向竖直向下
（2）小球能到达F点即可通过F点，刚好到达F点时有
根据机械能守恒定律得
解得 ，h的取值范围
（3）设在G点时速度为v，根据机械能守恒定律得
该处重力的瞬时功率为
解得 设 ，
讨论y-x函数的极值，即
展开得
对y求导得
根据题意 时取极大值，可知此时 ，将 代入得
【例9】（2025·陕西渭南·三模）如图甲，光滑圆轨道固定在竖直面内，小球沿轨道始终做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N，动能为Ek。改变小球在最低点的动能，小球对轨道压力N的大小随之改变。小球的N-Ek图线如图乙，其左端点坐标为（①，②），其延长线与坐标轴的交点分别为（0，a）、（-b，0）。重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为B．圆轨道的半径为
C．图乙①处应为3bD．图乙②处应为6a
【答案】AD
【详解】AB．根据牛顿第三定律可知，小球在最低点的压力大小等于支持力，所以小球在最低点时有，
所以
结合图线可得，
所以，
故A正确，B错误；
CD．由于小球能做完整的圆周运动，当小球恰好通过最高点时，有
小球从最低点运动到最高点，根据动能定理可得
联立解得，
此时可得
所以①处为
②处为
故C错误，D正确。
故选AD。
【例10】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图所示为一游戏装置的竖直截面图，A、B、D、E、H、I处于同一水平面上，在A端的弹簧装置能将质量的滑块（可视为质点）水平弹出，并从B点顺利进入曲线轨道BC、半径的螺旋圆轨道、曲线轨道，在E点连接了倾角的斜面EF和水平平台FG，平台FG高度、长度，质量的小车靠在平台右侧且上表面与平台FG齐平，小车的长度，在B、F处均设置了转向防脱离轨道装置。已知滑块与斜面EF、平台FG间的动摩擦因数均为，滑块与小车上表面间的动摩擦因数，其余部分均光滑，各处平滑连接，不计空气阻力，，。求：
(1)若滑块经过D点的速度大小，则此时滑块对轨道的压力大小；
(2)若螺旋圆轨道能承受的最大压力，则弹簧储存的最大弹性势能；
(3)若要求滑块最终停在小车上，则小车获得的动能和弹簧储存的弹性势能之间应满足的关系式。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块经过点，根据牛顿第二定律，有
解得
由牛顿第三定律可知，滑块经过点时对轨道的压力大小
（2）根据题意可知，滑块经过螺旋轨道的最低点时对轨道的压力最大，滑块在点，由向心力公式，有
由能量守恒定律，有
联立解得
（3）设滑块到点的速度大小为，滑块从到的过程，由能量守恒定律，有
由动量守恒定律，有
解得
联立解得
若滑块恰好经过点，根据牛顿第二定律，有
解得
则弹簧的弹性势能
若滑块恰好滑到小车右端时共速，根据能量守恒，有
解得
则弹簧的弹性势能
综上所述，小车获得的动能
精讲考点
1．分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
考点三 斜面上圆周运动的临界问题
基础过关
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等。
物体在转动过程中，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcs θ－mgsin θ＝mω2R。
【例11】（2025·河北·模拟预测）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示，小球到O点距离为L，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过最高点时速度为B．小球位于初始位置时加速度的大小为
C．小球通过最低点时速度为D．细线拉力最大值为
【答案】C
【详解】A．由图乙可知，小球通过最高点时，细线拉力大小为，对小球受力分析，由牛顿第二定律可得
解得小球通过最高点时速度为，故A错误；
B．小球从释放到最高点过程，只有重力做功机械能守恒，可得
联立解得
小球位于初位置时的向心加速度大小为
沿斜面向下的加速度大小为
则实际加速度大小为，故B错误；
C．小球从最高点到最低点过程，机械能守恒可得
解得通过最低点时速度为，故C正确；
D．小球在最低点时，细线拉力具有最大值，对其受力分析，由牛顿第二定律可得
解得，故D错误。
故选C。
【例12】（2025·山东临沂·三模）游乐场里有一个半径为5m的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定对称轴以1rad/s的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O点距离r处，小孩与盘面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s²。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则距离r的可能取值范围为（ ）
A．0