山东省聊城市2025-2026学年初中学业水平考试九年级模拟试题数学（含答案+解析）

这是一份山东省聊城市2025-2026学年初中学业水平考试九年级模拟试题数学（含答案+解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.3的相反数是( )
A. 3B. 13C. −13D. −3
2.2016年我国新能源汽车产量达51.7万辆，居世界第一，将51.7万用科学记数法表示为( )
A. 5.17×103B. 51.7×104C. 5.17×105D. 5.17×106
3.中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. −3a2=6a2B. 2a2−a2=2
C. a2⋅a=a3D. a−12=a2−1
5.甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( )
A. 112B. 16C. 14D. 12
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为 ( )
A. 12(x+4.5)=x−1B. 12(x+4.5)=x+1
C. 12(x+1)=x−4.5D. 12(x−1)=x+4.5
7.如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90 ∘，C是AB⌢上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD=CE，则图中阴影部分面积为( )
A. 25π16B. 25π8C. 25π6D. 25π4
8.已知关于x的一元二次方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m1C. m−1且m≠0
9.如图所示，在▱ABCD中，E是AD上一点，且AE=2DE，连接AC，BE交于点F，则AFFC的值为( )
A. 23B. 25C. 13D. 12
10.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D2, 3，P−1,−1.点M在菱形的边AD和DC上运动(不与点A，C重合)，过点M作MN//y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若式子 x+1(x−3)2有意义，则实数x的取值范围是 .
12.妈妈的生日前夕，芳芳用一张圆心角为150 ∘，半径为12cm的扇形卡纸制作一个圆锥形的生日帽，则这个圆锥的底面半径为 cm.
13.不等式组x≥−22x−30时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
23.(本小题12分)
某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
(一)拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90 ∘,CD⊥AB，垂足为D.
(1)兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB.理由如下：
请完成填空：① ；② ；
(2)如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
(3)(二)学以致用如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90 ∘,AC=2,BC=2 6，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查相反数.
根据相反数的定义求解即可.
【解答】
解：3的相反数是−3.
故选D.
2.【答案】C
【解析】解：51.7万=517000=5.17×105，
故选：C.
根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示出来．
本题考查科学记数法-表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．
3.【答案】D
【解析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；
故选D.
4.【答案】C
【解析】本题主要考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂乘法运算以及完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据积的乘方运算法则、合并同类项法则、同底数幂乘法运算法则以及完全平方公式逐项分析判断即可．
【详解】解：A.−3a2=9a2，故运算不正确，不符合题意；
B.2a2−a2=a2，故运算不正确，不符合题意；
C.a2⋅a=a3，运算正确，符合题意；
D.a−12=a2−2a+1，故运算不正确，不符合题意．
故选：C.
5.【答案】B
【解析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种，
∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为212=16.
故选：B.
6.【答案】A
【解析】【分析】
设木长为x尺，根据等量关系“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出方程即可解答.
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.
【解答】
解：设木长x尺，由“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺”，得绳长为(x+4.5)尺，
再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，得方程：12(x+4.5)=x−1.
故选A.
7.【答案】B
【解析】连接OC，证明四边形CDOE是正方形，进而得出S△CDE=S△OCE，∠COE=45 ∘，然后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OC，

∵CD⊥OA，CE⊥OB，∠AOB=90 ∘，
∴四边形CDOE是矩形，
∵CD=CE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴S△CDE=S△OCE，∠COE=45 ∘，
∴图中阴影部分面积=S扇形BOC=45360π×52=258π，
故选：B.
8.【答案】D
【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零．
【详解】解：∵方程mx2+2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，且m≠0，
其中a=m，b=2，c=−1，
∴Δ=22−4⋅m⋅−1=4+4m>0，
解得m>−1，
又∵m≠0，
∴m>−1且m≠0.
故选：D.
9.【答案】A
【解析】先根据平行四边形的性质得出AD//BC，可证△AEF∽△CBF，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵AE=2DE，
∴AEAD=AEBC=23，
∵AD//BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=AFCF=23.
10.【答案】A
【解析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，
∴AB=AD=2，OA= 3，
∴OB= AB2−OA2= 22− 32=1，
∴OC=OB+BC=1+2=3，
∴A0, 3，B1,0，C3,0，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A0, 3，B1,0代入，得：
k+b=0b= 3，
解得k=− 3b= 3，
∴直线AB的解析式为y=− 3x+ 3.
∵MN//y轴，
∴N的横坐标为x，
(1)当M的横坐标x在0∼1之间时，点N在线段AB上，△PMN中MN上的高为1+x，
∴Nx,− 3x+ 3，
∴MN= 3−− 3x+ 3= 3x，
∴S△PMN=12MN⋅1+x=12 3x⋅1+x= 32x2+ 32x，
∴该段图象为开口向上的抛物线；
(2)当M的横坐标x在1∼2之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN= 3，MN上的高为1+x，
∴S△PMN=12MN⋅1+x=12 3⋅1+x= 32x+ 32，
∴该段图象为直线；
(3)当M的横坐标x在2∼3之间时，点N在线段BC上，△PMN中MN上的高为1+x，
由D2, 3，C3,0可得直线CD的解析式为y=− 3x+3 3，
∴Mx,− 3x+3 3，Nx,0，
∴MN=− 3x+3 3，
∴S△PMN=12MN⋅1+x=12− 3x+3 3⋅1+x=− 32x2+ 3x+3 32，
∴该段图象为开口向下的抛物线；
观察四个选项可知，只有选项A满足条件，
故选A.
11.【答案】x≥−1且x≠3
【解析】解：∵式子 x+1(x−3)2有意义，
∴x+1≥0且x−3≠0，
解x+1≥0得x≥−1，
解x−3≠0得x≠3，
即实数x的取值范围是x≥−1且x≠3，
故答案为：x≥−1且x≠3.
二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，结合分母不为0列得不等式，解出x的范围即可．
此题考查二次根式及分式有意义，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，及解不等式是解决本题的关键．
12.【答案】5
【解析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先计算扇形弧长，再利用圆的周长公式求解底面半径．
【详解】解：设圆锥的底面半径为rcm，
根据弧长公式，可得扇形弧长为：l=nπR180=150π×12180=10π(cm)，
由圆锥侧面展开图的性质，扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此：2πr=10π，
解得r=5.
13.【答案】−2≤x0时，y的最大值为3，得出抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，即b>0，由抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，可知c=2，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出b=2，即可得解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】【小题1】
∠ACD
ACAD
【小题2】
△AEB是直角三角形；理由如下：
∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC
∴△ACF∽△AEC，
∴ACAF=AEAC，
∴AC2=AF⋅AE，
由(1)得AC2=AD⋅AB，
∴AF⋅AE=AD⋅AB，
∴AFAB=ADAE，
∵∠FAD=∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF=∠AEB=90 ∘，
∴△AEB是直角三角形．
【小题3】
∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴CECB=CBCD，
∴CD⋅CE=CB2=2 62=24，
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，
则CD0=4，
∵CD0为⊙A的直径，
∴∠CDD0=90 ∘，
∴CD0⋅CE0=24=CD⋅CE，
∴CD0CE=CDCE0，
∵∠ECE0=∠D0CD，
∴△ECE0∽△D0CD，
∴∠CDD0=∠CE0E=90 ∘，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′，
∵垂线段最短，
∴当点E在点E′处时，BE最小，
即BE的最小值为BE′的长，
∵∠CE0E′=∠E0CB=∠BE′E0=90 ∘，
∴四边形CE0E′B是矩形，
∴BE′=CE0=6，
在Rt△CE0E ′中根据勾股定理得：CE′= 2 62+62=2 15，
即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为2 15.

【解析】1.
根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
【详解】解：∵∠ACB=90 ∘，
∴∠A+∠B=90 ∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90 ∘，
∴∠A+∠ACD=90 ∘，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ABAC=ACAD，
∴AC2=AD⋅AB；
2.
证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明△AFD∽△ABE，得出∠ADF=∠AEB=90 ∘，即可得出答案；
3.
证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=2 62=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0CD，得出∠CDD0=∠CE0E=90 ∘，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BE′⊥E0E，垂足为E′，连接CE′，根据垂线段最短，得出当点E在点E′处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可．
∵∠ACB=90 ∘∴∠A+∠B=90 ∘∵CD⊥AB∴∠ADC=90 ∘∴∠A+∠ACD=90 ∘∴∠B=①______
∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴ABAC=②______∴AC2=AD⋅AB