聊城市2025-2026学年中考数学模拟试卷（含答案解析）

这是一份聊城市2025-2026学年中考数学模拟试卷（含答案解析），共7页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，《语文课程标准》规定，如图所示的几何体，它的左视图是，剪纸是我国传统的民间艺术等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
2．如图中任意画一个点，落在黑色区域的概率是（ ）
A．B．C．πD．50
3．如图，在中，分别在边边上，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程x（x+2）=m总有两个不相等的实数根，则（ ）
A．m＜﹣1B．m＞1C．m＞﹣1D．m＜1
5．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（ ）
A．1B．2C．2﹣2D．4﹣2
6．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（ ）
A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）
8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ）
A．26×105B．2.6×102C．2.6×106D．260×104
9．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
10．剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．在Rt△ABC内有边长分别为2，x，3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x的值为_____．
12．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE的最小值是_____．
13．因式分解 ．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
15．如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于_____________.
16．分解因式：=______．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC.
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD．
18．（8分）计算：2tan45°-（-）º-
19．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．
20．（8分）（10分）如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．
21．（8分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．
求反比例函数的解析式；若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB=90°，E、F分别为边AB、CD的中点．
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE=4，∠DEB=120°，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，则PF+PM的最小值为 ，并在图上标出此时点P的位置．
23．（12分）2019年8月．山西龙城将迎来全国第二届青年运动会，盛会将至，整个城市已经进入了全力准备的状态．太职学院足球场作为一个重要比赛场馆．占地面积约24300平方米．总建筑面积4790平方米，设有2476个座位，整体建筑简洁大方，独具特色．2018年3月15日该场馆如期开工，某施工队负责安装该场馆所有座位，在安装完476个座位后，采用新技术，效率比原来提升了．结来比原计划提前4天完成安装任务．求原计划每天安装多少个座位．
24．平面直角坐标系xOy中，横坐标为a的点A在反比例函数y1═（x＞0）的图象上，点A′与点A关于点O对称，一次函数y2=mx+n的图象经过点A′．
（1）设a=2，点B（4，2）在函数y1、y2的图象上．
①分别求函数y1、y2的表达式；
②直接写出使y1＞y2＞0成立的x的范围；
（2）如图①，设函数y1、y2的图象相交于点B，点B的横坐标为3a，△AA'B的面积为16，求k的值；
（3）设m=，如图②，过点A作AD⊥x轴，与函数y2的图象相交于点D，以AD为一边向右侧作正方形ADEF，试说明函数y2的图象与线段EF的交点P一定在函数y1的图象上．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有
，解得.
故选D.
2、B
【解析】
抓住黑白面积相等，根据概率公式可求出概率.
【详解】
因为，黑白区域面积相等，
所以，点落在黑色区域的概率是.
故选B
本题考核知识点：几何概率.解题关键点：分清黑白区域面积关系.
3、B
【解析】
根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质解答．
【详解】
解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故选：B．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边的比等于相似比是解题的关键．
4、C
【解析】
将关于x的一元二次方程化成标准形式，然后利用Δ>0，即得m的取值范围.
【详解】
因为方程是关于x的一元二次方程方程，所以可得,Δ＝4+4m > 0，解得m>﹣1,故选D.
本题熟练掌握一元二次方程的基本概念是本题的解题关键.
5、C
【解析】
先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可.
【详解】
解：如图，连接PF，QF，PC，QC
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，
∴∠PFC=∠QFC=30°，
同理，∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ=2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30º，60º，90º的三角形，
∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，
∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM=PN=PG，
∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF
=AF×PM+AC×PN+CF×PG
=×2×PG+×2×PG+×4×PG
=（1++2）PG
=（3+）PG
=2，
∴PG==，
∴PQ=2PG=2()=2-2.
故选C.
本题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义.
6、B
【解析】
如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD=，
故tanB=.
故选B．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．
7、A
【解析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【详解】
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，
∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选A．
本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
8、C
【解析】
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】
260万=2600000=．
故选C．
此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9、D
【解析】
分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
详解：从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线，
故选D．
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
10、A
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：选项A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确；选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；选项C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；选项D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误．故选A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1
【解析】
解：如图．∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别2，3，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF．∵EF=x，MO=2，PN=3，∴OE=x﹣2，PF=x﹣3，∴（x﹣2）：3=2：（x﹣3），∴x=0（不符合题意，舍去），x=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边是解题的关键．
12、8
【解析】
试题分析：过B 点作于点，与交于点，根据三角形两边之和小于第三边，可知的最小值是线的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．
过B 点作于点，与交于点，
设AF=x，，
，
，（负值舍去）．
故BD＋DE的值是8
故答案为8
考点：轴对称-最短路线问题．
13、
【解析】
试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
14、2
【解析】
∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°。
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）。
又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°。
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2。
15、
【解析】
分析：
由已知条件易得2y1=k，3y2=k，由此可得2y1=3y2，变形即可求得的值.
详解：
∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），
∴2y1=k，3y2=k，
∴2y1=3y2，
∴.
故答案为：.
点睛：明白：若点A和点B在同一个反比例函数的图象上，则是解决本题的关键.
16、x（x+2）（x﹣2）．
【解析】
试题分析：==x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解．
三、解答题（共8题，共72分）
17、 (1)见解析；(2)见解析.
【解析】
（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴，∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴，又∵AB=DC，∴
【详解】
证明：
（1）∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA,
∵AC·CE=AD·BC，
∴,
∴△ACD∽△CBE ,
∴∠DCA=∠EBC,
（2）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC,
∵∠DCA=∠EBC，
∴∠AFB=∠DCA,
∵AD∥BC，AB=DC,
∴∠BAD=∠ADC,
∴△ABF∽△DAC,
∴,
∵AB=DC，
∴.
本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.
18、2-
【解析】
先求三角函数，再根据实数混合运算法计算.
【详解】
解：原式=2×1-1-=1+1-=2-
此题重点考察学生对三角函数值的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
19、（1）y=﹣x2+2x+3；（2）d=﹣t2+4t﹣3；（3）P（，）．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点A，可求得点A的坐标，又OA=OC，可求得点C的坐标，然后分别代入B,C的坐标求出a，b，即可求得二次函数的解析式；
（2）首先延长PE交x轴于点H，现将解析式换为顶点解析式求得D（1，4），设直线CD的解析式为y=kx+b，再将点C（3，0）、D（1，4）代入，得y=﹣2x+6，则E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，再根据d=PH﹣EH即可得答案；
（3）首先，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，根据题意在（2）的条件下先证明△DQT≌△ECH，再根据全等三角形的性质即可得ME=4﹣2（﹣2t+6），QM= t﹣1+（3﹣t），即可求得答案．
【详解】
解：（1）当x=0时，y=3，
∴A（0，3）即OA=3，
∵OA=OC，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∵抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（3，0）
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）如图1，延长PE交x轴于点H，
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
将点C（3，0）、D（1，4）代入，得： ，
解得：，
∴y=﹣2x+6，
∴E（t，﹣2t+6），P（t，﹣t2+2t+3），
∴PH=﹣t2+2t+3，EH=﹣2t+6，
∴d=PH﹣EH=﹣t2+2t+3﹣（﹣2t+6）=﹣t2+4t﹣3；
（3）如图2，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为N，
∵D（1，4），B（﹣1，0），C（3，0），
∴BK=2，KC=2，
∴DK垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠BDK=∠CDK，
∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90°，
∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，
∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，
∵ER⊥DK，
∴∠NER=45°，
∴∠MEQ=∠MQE=45°，
∴QM=ME，
∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC、∠QDT=∠CEH，
∴△DQT≌△ECH，
∴DT=EH，QT=CH，
∴ME=4﹣2（﹣2t+6），
QM=MT+QT=MT+CH=t﹣1+（3﹣t），
4﹣2（﹣2t+6）=t﹣1+（3﹣t），
解得：t=，
∴P（，）．
本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数的相关知识点.
20、（1）证明见试题解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得出∠OCF+∠DCB=90°，即可得出答案；
（2）利用圆周角定理得出∠ACB=90°，利用相似三角形的判定与性质得出DC的长．
试题解析：（1）连接OC，∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；
（2）连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴，即，解得；DC=．
考点：切线的判定．
21、（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
【解析】
（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.
【详解】
（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2.
将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）.
把M的坐标代入得：k=4，
∴反比例函数的解析式是；
（2）.
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴.
∵AM=2，
∴OP=4.
∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.
22、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的对边相等证明四边形DEBF的四边相等即可证得；
（2）连接EM，EM与BD的交点就是P，FF+PM的最小值就是EM的长，证明△BEF是等边三角形，利用三角函数求解．
【详解】
（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=90°．
∵△ABD中，∠ADB=90°，E时AB的中点，∴DE=AB=AE=BE．
同理，BF=DF．
∵平行四边形ABCD中，AB=CD，∴DE=BE=BF=DF，∴四边形DEBF是菱形；
（2）连接BF．
∵菱形DEBF中，∠DEB=120°，∴∠EFB=60°，∴△BEF是等边三角形．
∵M是BF的中点，∴EM⊥BF．
则EM=BE•sin60°=4×=2．
即PF+PM的最小值是2．
故答案为：2．
本题考查了菱形的判定与性质以及图形的对称，根据菱形的对称性，理解PF+PM的最小值就是EM的长是关键．
23、原计划每天安装100个座位．
【解析】
根据题意先设原计划每天安装x个座位，列出方程再求解.
【详解】
解：设原计划每天安装个座位，采用新技术后每天安装个座位，
由题意得：．
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：原计划每天安装100个座位．
此题重点考查学生对分式方程的实际应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.
24、（1）y1=，y2=x﹣2；②2＜x＜4；（2）k=6；（3）证明见解析.
【解析】
分析：（1）由已知代入点坐标即可；
（2）面积问题可以转化为△AOB面积，用a、k表示面积问题可解；
（3）设出点A、A′坐标，依次表示AD、AF及点P坐标．
详解：（1）①由已知，点B（4，2）在y1═（x＞0）的图象上
∴k=8
∴y1=
∵a=2
∴点A坐标为（2，4），A′坐标为（﹣2，﹣4）
把B（4，2），A（﹣2，﹣4）代入y2=mx+n得，
，
解得，
∴y2=x﹣2；
②当y1＞y2＞0时，y1=图象在y2=x﹣2图象上方，且两函数图象在x轴上方，
∴由图象得：2＜x＜4；
（2）分别过点A、B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连BO，
∵O为AA′中点，
S△AOB=S△AOA′=8
∵点A、B在双曲线上
∴S△AOC=S△BOD
∴S△AOB=S四边形ACDB=8
由已知点A、B坐标都表示为（a，）（3a，）
∴，
解得k=6；
（3）由已知A（a，），则A′为（﹣a，﹣）.
把A′代入到y=，得：﹣，
∴n=，
∴A′B解析式为y=﹣.
当x=a时，点D纵坐标为，
∴AD=
∵AD=AF，
∴点F和点P横坐标为，
∴点P纵坐标为.
∴点P在y1═（x＞0）的图象上.
点睛：本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法和数形结合思想．