2026年湖南邵阳市邵阳县初中学业水平模拟考试试题卷数学（含解析）

这是一份2026年湖南邵阳市邵阳县初中学业水平模拟考试试题卷数学（含解析），共9页。
2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3．请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 2026的相反数是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可．
【详解】解：∵ 求一个数的相反数只需改变这个数的符号，
∴ 的相反数是 ．
2. 下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统（）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统之后第三个成熟的卫星导航系统．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
5. 小明所在班级部分同学身高情况统计如下：
则这组统计数据的中位数、众数分别为（ ）
A. 162.5，163B. 163，162C. 162，162D. 163，163
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数的概念，先计算总数据个数，再根据定义分别计算中位数和众数即可求解．
【详解】解：先计算总数据个数：，即共有个数据，
将数据从小到大排列后，中位数为第个和第个数据的平均数．
，即前三个身高段累计有个数据，第个数据为，第个数据为，
中位数为，
众数是一组数据中出现次数最多的数，
身高的人数最多，
众数为．
6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，由题意可确定，，再根据平行线的性质即可解答．
【详解】解：如图，过点作，
∴，
由题意可知，，
∴，，
∴，
∴．
7. 已知点与点关于原点对称，则的值为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”求出和的值，再计算即可得到结果．
【详解】解： 点与点关于原点对称，
，，
．
8. 已知，①以点为圆心，长为半径画弧，交，于点M，N，②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于一点P，作射线，③过M点作的平行线交射线于点C，④连接；则线段的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
根据题意得，，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，然后即可求解．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故，
故选：D．
9. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，点为轴上的一点，连接，，若的面积为，则的值是（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义．连结，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质．
【详解】解：连结，如图，
∵轴，
∴，
∴，而，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
10. 如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，圆内接四边形的性质，在优弧上取一点D，连接，根据圆内接四边形对角互补可得，则由圆周角定理可得的度数，最后根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 若分式有意义，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义等价于分母不为零，据此列出不等式即可求解得到的取值范围．
【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为零，
∴，解得：．
故答案为：．
12. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心，若，则_____．
【答案】6
【解析】
【分析】考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
利用位似的性质得到，然后把代入计算即可．
【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，
∴，即，
∴．
故答案是：6．
14. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程判别式，对于一元二次方程，判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．由一元二次方程有实数根得到，解不等式求出的取值范围即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为：
15. 如图，若圆锥的底面直径为，高是，则它的侧面展开图的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是计算圆锥的母线长．
先根据勾股定理计算出母线长，然后利用圆锥的侧面积公式进行计算．
【详解】解：，
，
圆锥的母线长为：，
圆锥的侧面展开图的面积；
故答案为：．
16. 如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了新定义运算，根据“双数”定义，设，，由得方程，整理为．因p和q为正整数，和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，则可得出，解方程组求出p和q，进而可求出比值．
【详解】解：由题意，“双数”的最佳拆分点为，故；
“双数”的最佳拆分点为，故．
∵，代入得：，
即，
因式分解得：，
由于p和q均为正整数，故和均为整数，且，
两者同时为奇数或同时为偶数，
因子对可能为或或；
只有同为偶数，
∴，
解得，
∴．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【详解】解：
，
把代入，则原式．
19. 某商店销售甲、乙两种文具，已知支甲文具和支乙文具的价格为元，支甲文具和支乙文具的价格为元．
（1）求甲、乙两种文具的单价各是多少元？
（2）某学校计划采购两种文具共支作为奖品，总费用不超过元，最多可以采购多少支乙文具？
【答案】（1）甲文具的单价是元/支，乙文具的单价是元/支
（2）乙文具最多采购支
【解析】
【分析】（1）根据单价数量总价之间的等量关系列方程组．
（2）根据题意列出不等式．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种文具的单价分别是元、元，
依题意得，
解得：
答：甲文具的单价是元/支，乙文具的单价是元/支．
【小问2详解】
解：设采购乙文具支，
依题意得：
解得
答：乙文具最多采购支．
20. 某学校九年级举行了一次数学竞赛，成绩由低到高分为A，B，C，D四个等级．竞赛结束后老师随机抽取了部分学生的成绩，并将数据绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图不小心被撕了一块．
（1）被抽查的学生共有______人； C等级有______人；
（2）若九年级共有300人参加数学竞赛，估计这次竞赛成绩为D等级的学生有多少人？
（3）成绩为D等级的五个人中有3名男生，2名女生，若从中任选两人，利用画树状图法或列表法求两人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）100；25
（2）15人 （3）
【解析】
【分析】（1）由条形统计图可知A等级的学生有30人，A等级的学生扇形统计图占总数的30%，可求被抽查的学生共有人数，再让抽查的学生共有人数乘以C等级的学生扇形统计图占总数的25%，即可得答案；
（2）先求出D等级的学生占抽查的学生的百分比，再乘以300即可；
（3）列树状图，可知一共有20种等可能的结果，其中两人恰好是一男一女的结果有12种，即可得答案．
【小问1详解】
解：∵A等级的学生有30人，A等级的学生扇形统计图占总数的30%，
∴30÷30%=100，
∴抽查的学生共有100人，
∵
∴100×25%=25，
∴C等级的学生有25人；
【小问2详解】
∵，
∴这次竞赛成绩为D等级的学生有15人；
【小问3详解】
列树状图如下，
∵一共有20种等可能的结果，其中两人恰好是一男一女的结果有12种，
∴两人恰好是一男一女的概率是．
本题考查了考查条形统计图和扇形统计图，随机事件的概率，解题的关键是掌握列树状图展示等可能的结果．
21. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿；大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图；大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，．
（1）如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时；求点A上升的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：）
【答案】（1）1.7米
（2）0.6米
【解析】
【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解；
（2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，作于点，则，
由题意得：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵O为的中点，米，
∴米，
在中，，
，，
∴支点到小竹竿的距离（米）；
【小问2详解】
解：由（1）知，，，
∴米，
如图，作于点，则，
同理可得，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴米，
∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米．
22. 如图，在中，直径与弦交于点P，，过点C作，与的延长线交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，先判断出垂直平分，再根据圆周角定理可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，延长，交于点，先利用勾股定理可得的长，再设的半径为，则，，利用勾股定理可得的值，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后证出，利用相似三角形的性质求解即可得．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，延长，交于点，
由（1）已得：垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∴，
在中，，即，
解得，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
本题考查了圆的切线的判定、弧与弦的关系、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定理是解题关键．
23. 探究以下问题：
（1）[问题发现]如图，在正方形中，点是对角线上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
（2）[类比探究]如图，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，请探究此时与的数量关系．
（3）[拓展延伸]在矩形中，仍有，若，点为射线上一动点（不与，重合），连接，作的垂线，使，连接，当为等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）解：，
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】由四边形是正方形，得，，又线段绕点逆时针旋转得到线段，所以，，再证明，再由全等三角形的性质即可求证；
由四边形是矩形，则，，证明，所以，即，可得，即，再证明，然后由相似三角形的性质即可求解；
由，设，，由勾股定理得，所以，，由知，所以，，然后得出是直角三角形，又为等腰三角形，则只能是直角边相等，即，设，由，得，然后分当点在线段上，当点在的延长线上，两种情况求解即可．
【小问1详解】
略；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由，设，，
∵四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，解得，
∴，，
由知，
∴，，
∵在矩形中，，
∴，即，
∴是直角三角形，
若为等腰三角形，则只能是直角边相等，即，
设，由，得，
如图，当点在线段上，
此时，
由得，
解得，
∴；
如图，当点在的延长线上，
此时，
由，得，
解得，
∴，
综上可得：的长为或．
24. 如图1，抛物线：的图象与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，其顶点为．
（1）直接写出，，，四点的坐标．
（2）顺次连接，，三点得．点为抛物线上一点（点不与点重合），若的面积等于的面积，求点的横坐标．
（3）将抛物线：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位，得到新抛物线（如图2）．点是轴上的点，点是新抛物线上的点．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1），，，
（2）2或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）分别令和即可求出，，，然后配方成顶点式即可求出；
（2）首先求出直线解析式为，根据题意得到点到直线的距离等于点到直线的距离，然后分两种情况讨论求解即可；
（3）首先求出新抛物线的解析式，设，，然后根据平行四边形的性质分情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：令，则，
解得，，
∵A在B的左侧，
∴，，
令，则，
∴，
∵，
∴顶点；
【小问2详解】
解：设直线的表达式为，
代入，得，，
解得，，
∴直线解析式为，
∵的面积等于的面积，
∴点到直线的距离等于点到直线的距离，
当点P在直线上方时，此时点在过点且平行于的直线上，直线与y轴交于点F，如图，
设直线为，
将，代入得，
解得，
∴直线为，
联立直线与抛物线得，，
解得，，
当时，对应的是点，题目要求不与重合，舍去；
∴此时点的横坐标为；
当点P在直线下方时，设此时点在直线上，直线与y轴交于点E，
∴与关于直线对称，
∴，
∵直线表达式为，
∴当时，，即，
∵，
∴，
∴，
∴可得直线的解析式为，
联立直线与抛物线得，，
解得，，
综上所述，点的横坐标为2或或；
【小问3详解】
解：由（1）可知，，
∵抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为，
设，，
∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，
∵平行四边形对角线中点重合，即中点与中点坐标相同，
∴，
解得，，
∴；
当为对角线时，
同理可得，，
解得，，
∴；
当为对角线时，
同理可得，，
解得，，
∴，
综上所述，点的坐标或．身高/
160
161
162
163
164
165
人数
4
6
6
11
4
1