2026年湖南省湘潭市初中学业水平考试模拟试数学卷（含解析）

这是一份2026年湖南省湘潭市初中学业水平考试模拟试数学卷（含解析），共7页。试卷主要包含了在草稿纸、试题卷上作答无效；等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，24个小题．时量120分钟，满分120分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数的直接求解即可．
【详解】解：与只有符号不同的数为，
的相反数是．
2. 如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形是长方形的即可．
【详解】解：A、主视图为三角形，故本选项错误；
B、主视图为三角形，故本选项错误；
C、主视图为长方形，故本选项正确；
D、主视图为圆，故本选项错误．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项规则，根据整式运算法则逐一验证选项即可判断正误.
【详解】解： ==，A错误；
=，B正确；
≠，C错误；
∵ 与不是同类项，不能合并，∴ ，D错误.
4. 为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查频数与频率的关系，解题思路是利用所有分组的频数之和等于总样本数，结合“频数=总数×频率”先求出第4小组的频数，再计算第5小组的频数．
【详解】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为，
∴ 第4小组的频数为 ，
∵ 前3个小组的频数分别为，，，
∴ 前4个小组的频数和为 ，
∴ 第5个小组的频数为 ．
5. 如图，是的直径，点在上，连接、，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到，再由直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵是的直径，
∴
∵
∴．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 与是同类项
B. 六边形的内角和与它的外角和相等
C. 平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
D. 一元二次方程有两个相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项定义、多边形内角和与外角和、平行四边形对称性、 一元二次方程根的判别式，逐一判断各选项即可得出结论．
【详解】解：A：∵与是相同字母次数不同，∴不是同类项， A错误；
B：∵六边形内角和为，任意多边形外角和为，，∴B错误；
C：∵平行四边形只是中心对称图形不是轴对称图形，∴C错误；
D：对于一元二次方程可得，，，
∵，∴方程有两个相等的实数根，D正确．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行可得，，最后代入计算即可．
【详解】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
∴．
8. 如图，，，添加一个条件不一定能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：．据此逐项判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
A．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
B．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
C．添加条件，可根据证明，故不符合题意；
D．添加条件，不能判定，故符合题意，
故选：D．
9. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一次函数和反比例函数综合题，由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
∴点A与点C关于原点对称，
∴，
∵作轴于点，
∴，
∴的面积．
10. 在平面直角坐标系中，对于任意两点和，若点满足，，则称点是点、的“关联点”．下列说法错误的是（ ）
A. 已知点，，则点、的“关联点”的坐标为
B. 已知点，，则点、的“关联点”一定在轴上
C. 已知点，，则点、的“关联点”在第三象限
D. 已知点，，点在函数图像上，点为点、的“关联点”，则点的纵坐标不可能是
【答案】C
【解析】
【分析】根据“关联点”的定义，计算各选项中关联点的坐标特征，再判断对应说法的正误，找出错误选项；
【详解】解：由题意，对和，关联点满足，，逐一判断：
A：，，，，，，即，A说法正确；
B：，，，，，点纵坐标为，一定在轴上，B说法正确；
C：，，，，，，，第三象限点的纵坐标小于，因此点不可能在第三象限，C说法错误；
D：点在上，，，，因此不可能是，D说法正确．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 若分式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，再进一步求解即可．
【详解】解：分式 有意义，则分母 ，
解得 ．
故答案为 ．
12. “十五五”期间，国家拟通过新建、改扩建的方式，大幅增加普通高中的学位供给，以缓解升学压力和适应人口结构变化．湖南省今年明确了具体目标：将新增优质普通高中公办学位80000个．其中80000用科学记数法表示为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，当原数的绝对值大于等于时，是正整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，确定表示形式中和的值即可解答．
【详解】解：科学记数法表示为．
13. 在一个不透明的布袋中装有4个白球和6个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】用白球个数除以白球与黄球数量之和即可．
【详解】解：，
即摸到白球的概率是．
故答案为：．
本题考查概率的计算，掌握简单概率计算公式是解题的关键．概率＝所求情况数与总情况数之比．
14. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数．
【详解】解∶将代入原方程得∶，
解得 ．
15. 如图，点是直线外一点，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线于点，；分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点（点与点在直线的两侧）；作直线交直线于点，连接，，，．则_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据作图方法可得，，再根据正弦的定义求解．
【详解】解：由作图方法可知，，
∴，
∴．
16. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中的弧长为_____________（结果用表示）．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得出 ，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出 ，即可得，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，
∵与相切于，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴平分圆心角，即，
∵，
∴，
∴，
∴ ．
三、解答题：本大题8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先分别计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，再进行加减运算．
【详解】解：

18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算括号内的分式的加减，再把除法转化为乘法，可得化简的结果，再把代入化简后的代数式即可．
【详解】解：
当时，原式
19. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论；
（2）连接，由直径所对的圆周角为得出，，由勾股定理求出，再利用面积法求高即可求解．
【小问1详解】
证明：连接
，
，
又，
，
，
，
又，
，
又∵是半径，
是的切线.
【小问2详解】
解：连接，
是的直径，
又，
在中，，，
由勾股定理得，
，
．
20. 幸福小区为加强安全管理，在地下停车场出入口处安装了汽车出入道闸．如图1，、为垂直于地面的道闸两边立柱，道闸关闭时，四边形为矩形，长3米，长米，点距地面的距离为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．
（1）如图2，当道闸打开至时，连杆上一点到地面的距离为米，求此时点到立柱的距离的长．
（2）若某小轿车安全通过该道闸时，需宽度不能小于米，同时高度不能低于米．当道闸打开至时，该小轿车能否安全通过该道闸？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）到立柱的距离的长为2米
（2）该小轿车能安全通过该道闸，见解析
【解析】
【分析】过作于并延长交于点G，得出（米），根据，得出，即可得（米），从而求出（米）；
（2）当米时，（米），根据，得出，在中，解直角三角形求出，再求出，与米比较大小即可解答．
【小问1详解】
解：过作于并延长交于点G，
则四边形是矩形，
∴（米），（米），
，
，
在中，（米），
（米），
答：到立柱的距离的长为2米；
【小问2详解】
解：该小轿车能安全通过该道闸．
当米时，（米），
，
，
在中，（米），
米，
答：该小轿车能安全通过该道闸．
21. 某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答：
（1）方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？
（2）方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台
（2）购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元
【解析】
【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可；
（2）根据台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8700件，列出不等式，求得m的取值范围，设所花总费用元，则，求出的最小值即可．
【小问1详解】
解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台．
则
解得
答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台．
【小问2详解】
解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台
解得，且为整数
设所花总费用元，则．
，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为（万元）
答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元
22. 生命至上，安全第一，教育部要求各中小学校在春季开学后进行安全教育，并组织观看“春季开学安全第一课”的视频．某校春季开学后广泛开展安全教育，并组织七、八年级全体学生进行了一次安全知识竞赛初赛（百分制）．现分别从两个年级中各随机抽取15名学生的竞赛初赛成绩，并进行整理与分析：
【收集数据】七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89
【整理数据】
【分析数据】
两组数据的平均数、位数、众数、方差统计表
【问题解决】根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：___________，___________；
（2）请计算八年级扇形统计图中B组所在扇形的圆心角的度数；
（3）该校七年级共有420名学生参加此次知识竞赛初赛，如果初赛成绩不低于85分即可参加安全知识竞赛复赛，请估计七年级可参加复赛的学生人数．
（4）根据以上数据信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛初赛成绩更优？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）80；90
（2）B组所在扇形的圆心角的度数为
（3）估计七年级可参加复赛的学生人数为196人
（4）该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优，见解析
【解析】
【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出c，d的值，即可补全频数分布直方图；根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数；
（3）将420乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答；
（4）根据比较平均数和中位数即可得到本次竞赛成绩更优的年级．
【小问1详解】
解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87， 92，94， 94，98.
对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，所以．
对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以．
【小问2详解】
解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为．
【小问3详解】
（人）
答：估计七年级可参加复赛的学生人数为196人．
【小问4详解】
我认为该校八年级学生知识竞赛初赛成绩更优．因为八年级的平均分高于七年级的平均分；中位数八年级的高一些，也就是八年级的中等水平更好．
23. 综合探究
（1）【问题发现】
如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程．
（2）【类比探究】
如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程．
（3）【拓展延伸】
如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1），见解析
（2），见解析
（3）的长为或
【解析】
【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得；
（2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得；
（3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可．
【小问1详解】
解：
证明如下：
将绕点顺时针旋转90°到处，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
【小问2详解】
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
，
，
同理在中，，
，
，
，
，
即，
，
，即
【小问3详解】
的长为或
解：方法一
在中，，，
，
当点在线段上时，
，
在中，，
过点作，
在中，，，
，，
在中，，
，
；
当点在线段的延长线上时：
，
在中，，
过点作，
同理，在中，，，
在中，，
．
综上所述，的长为或．
方法二：
在中，，，
，
连接并延长交于点，连接，
在中，为直径
，，且，
又，
，，
由（2）得，
设，则，，
，，
，
或，
或．
24. 已知二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，设抛物线的顶点为点，连接，点是线段上的动点，点为抛物线对称轴上一动点，连接、，求的最小值；
（3）如图2，连接，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，交于点．设点的横坐标为，，，．
①求与的函数关系式，并写出的取值范围；
②当的值取最大时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识，并作出适当的辅助线转化线段比是解题的关键．
（1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，由点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，则，过作于，此时线段的长就是的最小值，利用即可求解；
（3）①由等高三角形面积比等于底边之比可得，过点作轴交直线于点，可得，由此求解即可，②根据二次函数的解析式可得当取值最大时，，进而可求点坐标.
【小问1详解】
解：依题意得
解得
这个二次函数的表达式为
【小问2详解】
解：，
，
∴，
点，关于抛物线对称轴对称，连接，则，
要使的值最小，则值最小，当点、、在同一直线上满足条件．
过作于，
点、均为动点
此时线段的长就是的最小值．
∵，
，
∴
【小问3详解】
解：①，
∴，
令，得，
点又点
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
过点作轴交直线于点，如图，
设，则，
，
又，
轴，，
，
，
，
②，
当取值最大时，，
，
∴.
型号
甲
乙
每台每小时可分拣快递件数（件）
800
600
每台价格（万元）
5
3
成绩
年级
A
B
C
D
七年级
2
5
4
4
八年级
1
6
统计量
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82
87
92.13
八年级
86
87
79.73