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2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题 解析版
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这是一份2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．|﹣2021|的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值x的值的增大而减小
3．我市去年一季度国内生产总数值为468.15亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.46815×1011 B．4.6815×1010
C．4.6815×1011 D．46815×106
4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如果2xa﹣1y与x3yb﹣2是同类项，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7．如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
8．学校决定从甲、乙两人中选一人去参加全县的射击比赛，在最后5次射击训练中，甲、乙两人的射击成绩分别为（单位：环）：
甲：10，9，10，8，8
乙：7，9，10，10，9
则选谁去参加比赛更合适（ ）
A．甲、乙选谁都一样 B．选甲
C．选乙 D．无法确定
9．若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1440° D．1800°
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二.填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．化简x2﹣x（x﹣1）的结果是 ．
12．把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 ．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．已知x，y满足方程组，则9x2﹣4y2的值为 ．
16．从3，﹣2，5这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE，请你在图中找出一组全等三角形 ．（不添加任何字母和辅助线）
18．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝ ．
三、解答题（本大题共有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．计算：．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x＝2021．
21．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
22．某市举行“文明城市”书画比赛，已知每篇参赛作品成绩记作n分（60≤n≤100），组委会从1000篇作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了他们的成绩，并绘制了不完整的两幅统计图表．
书画比赛成绩频数分布表
分数段
频数
频率
60≤m＜70
38
0.38
70≤m＜80
a
0.29
80≤m＜90
b
c
90≤m≤100
10
0.1
合计
1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）书画比赛成绩频数分布表中b的值是 ．
（2）补全书画比赛成绩频数分布直方图．
（3）若80分以上（含80分）的书画将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖作品的篇数．
23．某校为了举办“植树节”活动，计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元．
（1）求每棵甲种树苗和每棵乙种树苗的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种树苗和乙种树苗共50棵，总费用不超过600元，那么最多可购买甲种树苗多少棵？
24．某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，）
25．如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
26．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．|﹣2021|的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，
2021的倒数是．
故选：C．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值x的值的增大而减小
【分析】分别利用一次函数和反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A．函数y＝3x的图象经过原点，正确，不合题意；
B．函数y＝的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；
D．函数y＝﹣的值，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故错误．符合题意．
故选：D．
3．我市去年一季度国内生产总数值为468.15亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.46815×1011 B．4.6815×1010
C．4.6815×1011 D．46815×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：468.15亿＝46815000000＝4.6815×1010．
故选：B．
4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∵∠2＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝60°．
故选：D．
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出∠A和∠B的度数进而求出即可．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C的度数是90°．
故选：D．
6．如果2xa﹣1y与x3yb﹣2是同类项，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1＝3，b﹣2＝1，
解得：a＝4，b＝3，
则，
故选：B．
7．如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，
故选：D．
8．学校决定从甲、乙两人中选一人去参加全县的射击比赛，在最后5次射击训练中，甲、乙两人的射击成绩分别为（单位：环）：
甲：10，9，10，8，8
乙：7，9，10，10，9
则选谁去参加比赛更合适（ ）
A．甲、乙选谁都一样 B．选甲
C．选乙 D．无法确定
【分析】分别计算两人的平均数和方差后比较即可．
【解答】解：甲的平均成绩为 （10+9+10+8+8）＝9，
乙的平均成绩为（7+9+10+10+9）＝9，
甲的方差S甲2＝[（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2]＝，
乙的方差S2＝[（7﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝．
∵甲，乙两人方差的大小关系是：S2乙＞S2甲．
∴选甲去参加比赛更合适．
故选：B．
9．若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1440° D．1800°
【分析】先利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，求出边数，再根据多边形内角和定理求解．
【解答】解：∵360°÷36°＝10，
∴这个正多边形是正十边形，
∴该正多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：C．
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数y＝图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＞0，一致；
B、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＜0，不一致；
C、由反比例函数y＝图象可知，a＜0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＞0，不一致；
D、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＜0，不一致．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．化简x2﹣x（x﹣1）的结果是 x ．
【分析】直接利用单项式乘多项式以及合并同类项法则化简得出答案．
【解答】解：x2﹣x（x﹣1）
＝x2﹣x2+x
＝x．
故答案为：x．
12．把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 （a﹣2b）（1+a+2b） ．
【分析】直接利用公式法分解因式，再结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2b）+（a+2b）（a﹣2b）
＝（a﹣2b）（1+a+2b）．
故答案为：（a﹣2b）（1+a+2b）．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比为 1：4 ．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝，
故答案为：1：4．
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴6﹣3x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
15．已知x，y满足方程组，则9x2﹣4y2的值为 ﹣115 ．
【分析】由已知条件得到3x+2y＝23，3x﹣2y＝﹣5，再把9x2﹣4y2分解得到（3x+2y）（3x﹣2y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x，y满足方程组，
∴9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）＝23×（﹣5）＝﹣115．
故答案为：﹣115．
16．从3，﹣2，5这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，该点在第一象限的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，该点在第一象限的结果有2个，
∴该点在第一象限的概率为＝，
故答案为：．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE，请你在图中找出一组全等三角形 △ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD ．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】首先根据等腰三角形的性质：等角对等边得出∠B＝∠C，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD，则图中全等的三角形共有2对．
【解答】解：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵BD＝CE，
∴BD+DE＝CE+DE，
∴BE＝CD．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
故答案为：△ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD．
18．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝ 75 ．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．
【解答】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝CG2+CF2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2，
＝KF2+NF2﹣2KF•NF
＝KF2+KG2﹣2DG•CG
＝FG2﹣2CG•DG，
∵正方形EFGH的边长为5，
∴GF2＝25，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝75，
故答案为：75．
三．解答题
19．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x＝2021．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝，
当x＝2021时，
原式＝．
21．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA＝OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA＝OD＝（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
22．某市举行“文明城市”书画比赛，已知每篇参赛作品成绩记作n分（60≤n≤100），组委会从1000篇作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了他们的成绩，并绘制了不完整的两幅统计图表．
书画比赛成绩频数分布表
分数段
频数
频率
60≤m＜70
38
0.38
70≤m＜80
a
0.29
80≤m＜90
b
c
90≤m≤100
10
0.1
合计
1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）书画比赛成绩频数分布表中b的值是 23 ．
（2）补全书画比赛成绩频数分布直方图．
（3）若80分以上（含80分）的书画将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖作品的篇数．
【分析】（1）根据60≤m＜70的频数与频率求出总数，再用总数乘以70≤m＜80的频率求出a的值，再用总人数减去其它频数，求出b；
（2）根据（1）求出a和b的值，直接补全统计图即可；
（3）用总人数乘以80分以上（含80分）的书画所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵样本容量为38÷0.38＝100，
∴a＝100×0.29＝29，
∴b＝100﹣38﹣29﹣10＝23．
故答案为：23；
（2）根据（1）补全统计图如下：
（3）1000×＝330（篇），
答：估计全市获得一等奖作品的篇数有330篇．
23．某校为了举办“植树节”活动，计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元．
（1）求每棵甲种树苗和每棵乙种树苗的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种树苗和乙种树苗共50棵，总费用不超过600元，那么最多可购买甲种树苗多少棵？
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元”列出方程组，可求解；
（2）设甲种树苗a棵，由“总费用不超过600元”列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，
由题意可得：，
解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为15元，每棵乙种树苗的价格10元；
（2）设甲种树苗a棵，
由题意可得：15a+10（50﹣a）≤600，
解得：a≤20，
答：最多可购买甲种树苗20棵．
24．某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，）
【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义求出AB，在Rt△ABC中，根据等腰直角三角形的性质求出BD，即可得到DC．
【解答】解：由题可知：∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，DB⊥AB，BC＝90，
在Rt△ABC与中，
∵tan∠CAB＝，
∴AB＝＝＝90，
在Rt△ABD中，
∵∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴BD＝AB＝90，
∴DC＝DB﹣BC＝90﹣90≈65.9．
答：信号发射塔DC的高度为65.9米．
25．如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，然后证明△AFE∽△EFD，进而可得结论．
【解答】（1）答：四边形ABDE是平行四边形．理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∵AF＝cm，DE＝AB＝10（cm），
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴△AFE∽△EFD，
又∠FAE+∠AEF＝90°，
即∠AED＝90°，
由（1）可知：ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE为矩形．
26．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C坐标和对称轴代入表达式即可得出；
（2）根据（1）写出M点坐标，求出直线CM表达式，求出E点坐标构造△EOC≌△BOC，结论即得证；
（3）分情况构造△PEO∽△ABC，根据线段比例关系即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，MN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．
2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．|﹣2021|的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值x的值的增大而减小
3．我市去年一季度国内生产总数值为468.15亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.46815×1011 B．4.6815×1010
C．4.6815×1011 D．46815×106
4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如果2xa﹣1y与x3yb﹣2是同类项，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7．如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
8．学校决定从甲、乙两人中选一人去参加全县的射击比赛，在最后5次射击训练中，甲、乙两人的射击成绩分别为（单位：环）：
甲：10，9，10，8，8
乙：7，9，10，10，9
则选谁去参加比赛更合适（ ）
A．甲、乙选谁都一样 B．选甲
C．选乙 D．无法确定
9．若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1440° D．1800°
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
二.填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
11．化简x2﹣x（x﹣1）的结果是 ．
12．把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 ．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比为 ．
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．已知x，y满足方程组，则9x2﹣4y2的值为 ．
16．从3，﹣2，5这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE，请你在图中找出一组全等三角形 ．（不添加任何字母和辅助线）
18．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝ ．
三、解答题（本大题共有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．计算：．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x＝2021．
21．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
22．某市举行“文明城市”书画比赛，已知每篇参赛作品成绩记作n分（60≤n≤100），组委会从1000篇作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了他们的成绩，并绘制了不完整的两幅统计图表．
书画比赛成绩频数分布表
分数段
频数
频率
60≤m＜70
38
0.38
70≤m＜80
a
0.29
80≤m＜90
b
c
90≤m≤100
10
0.1
合计
1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）书画比赛成绩频数分布表中b的值是 ．
（2）补全书画比赛成绩频数分布直方图．
（3）若80分以上（含80分）的书画将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖作品的篇数．
23．某校为了举办“植树节”活动，计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元．
（1）求每棵甲种树苗和每棵乙种树苗的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种树苗和乙种树苗共50棵，总费用不超过600元，那么最多可购买甲种树苗多少棵？
24．某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，）
25．如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
26．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省邵阳市邵阳县初中毕业学业模拟考试数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．|﹣2021|的倒数是（ ）
A．﹣2021 B．﹣ C． D．2021
【分析】利用绝对值的代数意义，以及倒数的性质计算即可．
【解答】解：|﹣2021|＝2021，
2021的倒数是．
故选：C．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．函数y＝3x的图象经过原点
B．函数y＝的图象位于第一、三象限
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限
D．函数y＝﹣的值x的值的增大而减小
【分析】分别利用一次函数和反比例函数的性质分析得出答案．
【解答】解：A．函数y＝3x的图象经过原点，正确，不合题意；
B．函数y＝的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；
C．函数y＝2x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；
D．函数y＝﹣的值，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故错误．符合题意．
故选：D．
3．我市去年一季度国内生产总数值为468.15亿，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.46815×1011 B．4.6815×1010
C．4.6815×1011 D．46815×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：468.15亿＝46815000000＝4.6815×1010．
故选：B．
4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∵∠2＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝60°．
故选：D．
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出∠A和∠B的度数进而求出即可．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C的度数是90°．
故选：D．
6．如果2xa﹣1y与x3yb﹣2是同类项，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得a，b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1＝3，b﹣2＝1，
解得：a＝4，b＝3，
则，
故选：B．
7．如图所示，正六棱柱的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看可得到左右相邻的2个长方形，
故选：D．
8．学校决定从甲、乙两人中选一人去参加全县的射击比赛，在最后5次射击训练中，甲、乙两人的射击成绩分别为（单位：环）：
甲：10，9，10，8，8
乙：7，9，10，10，9
则选谁去参加比赛更合适（ ）
A．甲、乙选谁都一样 B．选甲
C．选乙 D．无法确定
【分析】分别计算两人的平均数和方差后比较即可．
【解答】解：甲的平均成绩为 （10+9+10+8+8）＝9，
乙的平均成绩为（7+9+10+10+9）＝9，
甲的方差S甲2＝[（10﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（8﹣9）2+（8﹣9）2]＝，
乙的方差S2＝[（7﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（9﹣9）2]＝．
∵甲，乙两人方差的大小关系是：S2乙＞S2甲．
∴选甲去参加比赛更合适．
故选：B．
9．若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．360° B．720° C．1440° D．1800°
【分析】先利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，求出边数，再根据多边形内角和定理求解．
【解答】解：∵360°÷36°＝10，
∴这个正多边形是正十边形，
∴该正多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故选：C．
10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数y＝图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＞0，一致；
B、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＜0，不一致；
C、由反比例函数y＝图象可知，a＜0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＞0，不一致；
D、由反比例函数y＝图象可知，a＞0，由二次函数y＝ax2+bx的图象可知，a＜0，不一致．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
11．化简x2﹣x（x﹣1）的结果是 x ．
【分析】直接利用单项式乘多项式以及合并同类项法则化简得出答案．
【解答】解：x2﹣x（x﹣1）
＝x2﹣x2+x
＝x．
故答案为：x．
12．把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 （a﹣2b）（1+a+2b） ．
【分析】直接利用公式法分解因式，再结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2b）+（a+2b）（a﹣2b）
＝（a﹣2b）（1+a+2b）．
故答案为：（a﹣2b）（1+a+2b）．
13．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积比为 1：4 ．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝，
故答案为：1：4．
14．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≤2 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴6﹣3x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
15．已知x，y满足方程组，则9x2﹣4y2的值为 ﹣115 ．
【分析】由已知条件得到3x+2y＝23，3x﹣2y＝﹣5，再把9x2﹣4y2分解得到（3x+2y）（3x﹣2y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x，y满足方程组，
∴9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）＝23×（﹣5）＝﹣115．
故答案为：﹣115．
16．从3，﹣2，5这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为 ．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，该点在第一象限的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，该点在第一象限的结果有2个，
∴该点在第一象限的概率为＝，
故答案为：．
17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE，请你在图中找出一组全等三角形 △ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD ．（不添加任何字母和辅助线）
【分析】首先根据等腰三角形的性质：等角对等边得出∠B＝∠C，然后根据SAS证明△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD，则图中全等的三角形共有2对．
【解答】解：在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵BD＝CE，
∴BD+DE＝CE+DE，
∴BE＝CD．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
故答案为：△ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD．
18．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝ 75 ．
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．
【解答】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG•DG
＝CG2+CF2+2CG•DG
＝GF2+2CG•DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2，
＝KF2+NF2﹣2KF•NF
＝KF2+KG2﹣2DG•CG
＝FG2﹣2CG•DG，
∵正方形EFGH的边长为5，
∴GF2＝25，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝75，
故答案为：75．
三．解答题
19．计算：．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝．
20．先化简，再求值：÷（1+），其中x＝2021．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝，
当x＝2021时，
原式＝．
21．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA＝OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA＝OD＝（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
22．某市举行“文明城市”书画比赛，已知每篇参赛作品成绩记作n分（60≤n≤100），组委会从1000篇作品中随机抽取了部分参赛作品，统计了他们的成绩，并绘制了不完整的两幅统计图表．
书画比赛成绩频数分布表
分数段
频数
频率
60≤m＜70
38
0.38
70≤m＜80
a
0.29
80≤m＜90
b
c
90≤m≤100
10
0.1
合计
1
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）书画比赛成绩频数分布表中b的值是 23 ．
（2）补全书画比赛成绩频数分布直方图．
（3）若80分以上（含80分）的书画将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖作品的篇数．
【分析】（1）根据60≤m＜70的频数与频率求出总数，再用总数乘以70≤m＜80的频率求出a的值，再用总人数减去其它频数，求出b；
（2）根据（1）求出a和b的值，直接补全统计图即可；
（3）用总人数乘以80分以上（含80分）的书画所占的百分比即可．
【解答】解：（1）∵样本容量为38÷0.38＝100，
∴a＝100×0.29＝29，
∴b＝100﹣38﹣29﹣10＝23．
故答案为：23；
（2）根据（1）补全统计图如下：
（3）1000×＝330（篇），
答：估计全市获得一等奖作品的篇数有330篇．
23．某校为了举办“植树节”活动，计划购买甲、乙两种树苗，已知购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元．
（1）求每棵甲种树苗和每棵乙种树苗的价格分别为多少元？
（2）学校计划购买甲种树苗和乙种树苗共50棵，总费用不超过600元，那么最多可购买甲种树苗多少棵？
【分析】（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，由“购买2棵甲种树苗和3棵乙种树苗共需60元，购买3棵甲种树苗和2棵乙种树苗共需65元”列出方程组，可求解；
（2）设甲种树苗a棵，由“总费用不超过600元”列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）设每棵甲种树苗的价格为x元，每棵乙种树苗的价格y元，
由题意可得：，
解得：，
答：每棵甲种树苗的价格为15元，每棵乙种树苗的价格10元；
（2）设甲种树苗a棵，
由题意可得：15a+10（50﹣a）≤600，
解得：a≤20，
答：最多可购买甲种树苗20棵．
24．某县城为加快5G网络信号覆盖，在高度BC为90米的小山顶上架设了信号发射塔，如图所示．小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端D点的仰角是45°，测得发射塔底部C点的仰角是30°．请你帮小茜计算出信号发射塔DC的高度．（结果精确到0.1米，）
【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义求出AB，在Rt△ABC中，根据等腰直角三角形的性质求出BD，即可得到DC．
【解答】解：由题可知：∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，DB⊥AB，BC＝90，
在Rt△ABC与中，
∵tan∠CAB＝，
∴AB＝＝＝90，
在Rt△ABD中，
∵∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴BD＝AB＝90，
∴DC＝DB﹣BC＝90﹣90≈65.9．
答：信号发射塔DC的高度为65.9米．
25．如图．在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，发现四边形ABDE是平行四边形．如图2，小华继续将图1中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连接AE，BD，当点F与点C重合时停止平移．
（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由．
（2）如图3，若BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，当AF＝cm时，请判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AB的长，然后证明△AFE∽△EFD，进而可得结论．
【解答】（1）答：四边形ABDE是平行四边形．理由如下：
∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵BC＝EF＝6cm，AC＝DF＝8cm，
∴AB＝＝10cm，
∵AF＝cm，DE＝AB＝10（cm），
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠AFE＝∠DFE＝90°，
∴△AFE∽△EFD，
又∠FAE+∠AEF＝90°，
即∠AED＝90°，
由（1）可知：ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE为矩形．
26．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），其对称轴x＝1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若直线CM交x轴于点E，求证：BC＝EC．
（3）若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点C坐标和对称轴代入表达式即可得出；
（2）根据（1）写出M点坐标，求出直线CM表达式，求出E点坐标构造△EOC≌△BOC，结论即得证；
（3）分情况构造△PEO∽△ABC，根据线段比例关系即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c与y轴相交于点C（0，﹣3），
将点C（0，﹣3）代入可得：c＝﹣3，
又∵对称轴，
∴b＝﹣2，
即抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵对称轴为x＝1，
代入抛物线表达式得y＝1﹣2﹣3＝4，
即点M（1，﹣4），
设直线CM的表达式为y＝kx+n，
把点C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入解得k＝﹣1，n＝﹣3，
∴CM的表达式为y＝﹣x﹣3，
∵点E在x轴上，即纵坐标y＝0，此时x＝﹣3，
∴E（﹣3，0），
由平面直角坐标系的可知：OE＝OC＝OB＝3，∠EOC＝∠BOC＝90°，
∴△EOC≌△BOC（SAS），
∴EC＝BC；
（3）存在，
∵点P在线段EM上，可设P（t，﹣t﹣3），
如图1所示，作PN⊥x轴于N，
∴PN＝t+3，MN＝OE﹣ON＝3+t，
由勾股定理可知PE＝＝（t+3），BC＝＝＝，
又∵AB＝OA+OB＝4，
由（2）可知△EOC≌△BOC，
∴∠OEC＝∠OBC，
当△PEO∽△ABC时，
＝，
即＝，
解得t＝﹣1，
即点P的坐标为（﹣1，﹣2），
当△PEO∽△CBA时，
，
解得t＝，
即点P的坐标为（，﹣），
综上P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）．
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