湖南衡阳市衡南县2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学（含解析）

这是一份湖南衡阳市衡南县2026年初中学业水平考试模拟试卷 数学（含解析），共14页。试卷主要包含了请考生把答案写在答题卡上．，答题前填写好自己的姓名，18题每题6分，第19等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、请考生把答案写在答题卡上．
2、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项）
1. 史料证明：中国是最早采用正数、负数表示相反意义的量的国家．追溯到两千多年前，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，如果体重上升记作，那么体重下降可以记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知上升记为正，推出相反意义的下降记为负即可得到结果．
【详解】解：∵体重上升记作，
∴体重下降可以记作．
2. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
3. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广，下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可得只有“中”字是轴对称图形，符合题意，
故选：C．
4. 某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查简单的概率计算，根据等可能事件的概率公式求解．
【详解】解：共有4本书，每本书被抽中的可能性相等，
抽到《九章算术》是其中1种可能，
因此概率为成功事件数除以总事件数，即，
故选：C．
5. 解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母．
【详解】解：方程两边同乘，得，
整理可得：
故选：A．
6. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标
【详解】解：∵点M在第二象限，
∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点M到轴的距离为，到轴的距离为，
∴点M的坐标是，
故选：C
7. 如图，点A，B，C在上，，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故选：B．
8. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
9. 如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（ ）
A. 目标AB. 目标CC. 目标ED. 目标F
【答案】B
【解析】
【分析】根据位置的表示方法，第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，据此可得答案．
【详解】解：∵目标B用表示，目标D用表示，
∴第一个数表示距观察站的圈数，第二个数表示度数，
∴表示为的目标是目标C．
10. 如图1，实心小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度（单位：）与弹簧被压缩的长度（单位：）之间的函数关系近似看作二次函数，其图象如图2所示．已知为该抛物线的顶点，有一条平行于轴的直线，且．当小球的速度不小于时，弹簧被压缩的长度的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用待定系数法求得该抛物线的解析式，再联立求得直线与抛物线的交点，结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵为该抛物线的顶点，
∴设该抛物线的解析式为，
由图象知，抛物线经过点和，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
联立得，
解得，
结合函数图象知弹簧被压缩的长度的取值范围是．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 若，则______ ．
【答案】
【解析】
【详解】解：，
，
，
当时，原式．
12. 如图所示，在三角形中，是边的垂直平分线，且分别交于点D和E，，则________ ．
【答案】##60度
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数，中垂线的性质，得到，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
13. 已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为．
14. 若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题关键，先将已知根代入方程求出的值，再利用根与系数的关系计算的值即可.
【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，，
将代入方程得：，
整理得：，
解得：，
，
，
．
15. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则__________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质：
先由位似图形得到，则，然后求出，再由相似三角形面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，过CB的中点D作，交AB于点E，则EB的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】作，证明，通过等角的正切值相等推出，设，则，根据求出FB，利用列等式求出x，利用勾股定理即可求出EB的长．
【详解】解：如图所示，作，交BC于点F．
∵点D是CB的中点，，
∴，
∵中，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴，
故答案为：．
本题考查利用三角函数解直角三角形以及勾股定理，证明是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键在于对分解因式、配凑完全平方式等技巧灵活应用．
将括号里通分，能分解因式的先分解因式，再进行化简求值即可．
【详解】解：
；
当时，原式．
19. 如图，是的直径，是的切线，切点为C，，垂足为E，连接.
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用切线的性质得OC⊥DE，再证明OC∥BE得到∠OCB＝∠CBE，加上∠OCB＝∠CBO，所以∠OBC＝∠CBE；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明△OAC等边三角形得到AC＝OA＝2，再利用勾股定理可计算出BC＝，然后在Rt△CBE中利用含30度的直角三角形三边的关系求CE的长．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴是等边三角形，.
∴，
∴
∵，且，
∴.
∴
本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；常常“遇到切点连圆心得半径”．
20. 我县某中学举行“宪法学习”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加竞赛的学生人数有______；
（2）在扇形统计图中，表示“B等级”的扇形的圆心角度数为__________，图中的值为__________；
（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中间选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出刚好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20 （2），40
（3）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合应用以及概率的计算，解题的关键是通过两种统计图获取相关数据并进行分析计算．
（1）根据条形统计图中等级人数及扇形统计图中等级所占比例可求出总人数；
（2）先求出等级人数占总人数的比例，进而求出其扇形圆心角度数，再求出C等级人数占比得到m的值；
（3）先确定A等级中男女生人数，然后通过列表或画树状图法求出概率．
【小问1详解】
解：由条形统计图知A等级有3人，由扇形统计图知A等级占，所以参加竞赛的学生人数为（人）；
故答案为：20；
【小问2详解】
解：由条形统计图知B等级有（人），
则B等级人数占总人数的比例为，
所以B等级的扇形的圆心角度数为，
C等级有8人，C等级人数占总人数的比例为，
所以，
故答案为：，40；
【小问3详解】
A等级有3人，其中1名女生，2名男生，设2名男生为男1，男2，女生为女．列表如下：
所有可能出现的结果如下表：
共有6种可能出现的结果，其中刚好选中一名男生和一名女生的可能有4种，
∴．
21. 交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同．
（1）求该品牌头盔的销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】（1）
（2）5元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为，
根据题意得，
解得，（舍去），
答：该品牌头盔的销售量的月增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔每个应涨价元，
根据题意得，
整理得，
解得或，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，
答：该品牌的头盔每个应涨价5元．
22. 为方便人们投放垃圾，某小区添置图1拉环型垃圾桶，图2是其简易图，N处是把手，，，是不具有弹性的绳子，A和M处装有滑轮．若把手N拉动，绳子通过滑轮可将桶盖绕转起，拉动过程中垃圾桶底部不会移动，足够高，不会与桶面发生碰撞，桶盖关闭时与地面平行．图3是此设施的截面图，其中，盖面的最大旋转角是，，，．
（1）当桶盖从闭合旋转到最大角度时，把手N要拉动________；
（2）求桶盖点B离地面的最大高度；
（3）若桶盖在旋转过程中点B的对应点是，线段称为入口线，当旋转角从变成时，入口线增加了多少？（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】（1）
（2）桶盖点B离地面的最大高度为
（3）入口线增加了
【解析】
【分析】（1）桶盖从闭合状态旋转到最大角度，到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至，则的长度即是点拉动的距离，再由弧长公式计算即可得出结果；
（2）当运动到最大角度至时，过点作于点，则桶盖点B离地面的最大高度为，解直角三角形，计算出的长，即可得出结果；
（3）设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为，分别解直角三角形，求出、的长度，即可得出结果．
【小问1详解】
解：桶盖从闭合状态旋转到最大角度，如图所示：到的运动轨迹为以点为圆心，为半径，从出发，转动至，
∴的长度即是点拉动的距离，
故根据弧长公式可得：把手N要拉动的距离为；
【小问2详解】
解：当运动到最大角度至时，过点作于点，
则桶盖点B离地面的最大高度为，
在中，，
∴，
∴，
故桶盖点B离地面的最大高度为；
【小问3详解】
解：如图，设旋转角为时点的对应点为，旋转角为时点的对应点为，过点作于点，令交于点，则入口线增加长度为，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故入口线增加了．
本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23. 如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______；
（3）若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标．
【小问1详解】
解：∵与轴交于点，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称，
∴点的横坐标为，点的横坐标为．
把代入抛物线解析式得：，
∴，．
如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，
则，，
此时取得最小值，则此时的周长最小．
设直线解析式为，（），
把代入得，，
解得，，
即直线解析式为，
令得，，
解得，，
即点D的坐标为；
【小问3详解】
解：由（2）得，，，
设直线解析式为，（），
将代入得，，
解得，，
∴直线解析式为．
如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，
则，，
∴，
∴．
∵直线将的面积分成两部分，
∴或，
∴或．
∵，
∴或，
∴或，
∴点P的横坐标为或．
把代入得：，
此时；
把代入得：，
此时；
综上所述，点P的坐标为或．
24. 综合与实践
把特殊图形进行组合可以衍生出一些有趣的结论，综合与实践小组以等腰直角三角形为基础，配上特殊图形展开探究．
已知是等腰直角三角形，点A是直角顶点，在同侧增加特殊图形．
特例研究
（1）如图1，当四边形是正方形时，点A在对角线上，，则相似比为________．
（2）如图2，当四边形是矩形时，经过的中点F，与是否相似？如果相似，求出它们的相似比．
类比探究
（3）如图3，当四边形是菱形时，以为直角边，点E为直角顶点，在边右侧再作一个等腰直角三角形，连接，，求，所在直线的夹角（锐角）的度数．
（4）若（3）中，若A，D，E三点在同一条直线上，探究与之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）相似，相似比为
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，，结合勾股定理得出，最后再由相似三角形的性质即可得出结果；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，由矩形的性质可得，求出，得到为等腰直角三角形，设，则，结合题意求出，再证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（3）延长交于点，交的延长线于点，证明，得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（4）由（1）可得，由相似三角形的性质可得，分两种情况：当在直线右侧时；在直线左侧时，分别计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵点A在对角线上，，
∴，即相似比为；
【小问2详解】
解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
∵经过的中点F，
∴，
∵，，
∴，
∴，即相似比为；
【小问3详解】
解：如图，延长交于点，交的延长线于点，
∵、为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
即，所在直线的夹角（锐角）的度数为；
【小问4详解】
解：由（1）可得：，
∴，
∴，
∵A，D，E三点在同一条直线上，
∴分两种情况：如图，当在直线右侧时，
设，则，，
作于，于，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在直线左侧时，作于，
则，
设，则，
∴，
作于，
同理可得：四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
男1
男2
女
男1
（男1，男2）
（男1，女）
男2
（男2，男1）
（男2，女）
女
（女，男1）
（女，男2）