2027届高中数学高考一轮复习学案第二章　第17课时　函数模型的应用

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1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝2xB．y＝lg x
C．y＝x2D．y＝2x
2．(北师大版必修第一册P107A组T7改编)某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的该种放射性物质的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质剩留的质量是原来的1100？( )
(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
A．16B．17
C．18D．19
3．(人教B版必修第一册P131习题3-3AT3)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50 minB．3.75 min
C．4.00 minD．4.25 min
4．(人教A版必修第一册P96习题3.4T4改编)图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格．决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是( )
A B
C D
5．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(单位：元)与行驶千米数x(单位：km)之间的函数解析式是___________．
1．指数、对数、幂函数模型性质的比较
[二级结论]
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
2．几种常见的函数模型
建立函数模型解决实际问题的基本过程如下：
考点一 用函数图象刻画实际问题
[典例1]高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是( )
A B
C D
[巩固迁移]
1．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用
B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒
C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
考点二 已知函数模型的实际问题
[典例2] (2026·河南开封模拟)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝alg1+Mma是参数．当质量比Mm比较大时，函数关系中真数
部分的1可以忽略不计，按照上述函数关系，将质量比Mm从2 000提升至50 000，则v大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )
A．52%B．42%
C．32%D．22%
2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础．
[巩固迁移]
2．(2025·石景山区一模)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae-kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝( )
A．ln 25B．ln 35
C．ln 2D．ln 3
考点三 构建函数模型的实际问题
[典例3] 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80 km/h(不含80 km/h)．经多次测试，得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据：
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：
M(v)＝140v3+bv2+cv，M(v)＝80023v＋a，M(v)＝500lgav＋b．
(1)当0≤v1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调__
单调__
单调__
增长速度
越来__
越来__
相对平稳
图象的
变化
随x的增大逐渐表现为与_____平行
随x的增大逐渐表现为与_____平行
随n值变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f (x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
v
0
20
40
60
M
0
3 000
5 600
9 000