2.14　函数模型的应用学案-2024届高三数学一轮复习

2.14　函数的模型及其应用

【考试要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

【再现型题组】           基础知识回顾练

1.判断下列结论中正确的是(     )

A函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．

B某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．

C在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．

D在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．

【答案】C

2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　)

A．y＝5x   B．y＝log5x   C．y＝x5   D．y＝5x

【答案】　D

【解析】　结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．

3.今有一组实验数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】从表中的数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快,

对应四个选项，A选项的对数型函数，其递增速度不断变慢，不符合，

选项B，随着t的增大，速度变小，不符合,

选项D是以一个恒定的幅度变化，其图象是条直线，不符合本题的变化规律,

选项C，函数的二次型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意.

故选：C

4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．

【答案】　125

【解析】　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.

【巩固型题组】           核心考点重点练

1.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：

根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　)

A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用

B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒

C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用

D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒

【答案】　ABC

【解析】　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．

【变式1】如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：

①汽车共行驶了120千米；

②汽车在行驶途中停留了0.5小时；

③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时；

④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少．

其中正确的说法共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解答过程】解：由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，①错；

从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了2﹣1.5＝0.5小时，②对；

汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为；240÷4.5千米/时，③错．

汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错．

故选：A．

【变式2】甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步；乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且两人骑车的速度均大于跑步的速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下：

则上述四个函数图象中，甲、乙两人运行的函数关系的图象应该分别是（　　）

A．图①、图② B．图①、图④ C．图③、图② D．图③、图④

【答案】B

【解答过程】解：甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，可知甲前半程的速度大于后半程的速度，则前半程图线的斜率大于后半程图线的斜率；

乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车，可知乙前半程的速度小于后半程的速度，则前半程图线的斜率小于后半程图线的斜率；

又甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，可知甲前半程图线的斜率大于乙后半程图线的斜率．

∴甲是图①、乙是图④．

故选：B．

【变式3】如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的(　　)

【答案】　A

【解析】　当点P在AB上时，y＝×x×1＝x,0≤x≤1；

当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－x＋，1<x≤2；

当点P在CM上时，y＝××1＝－x＋，2<x≤.

由函数可知，有三段直线，又当点P在BC上时是减函数，故选A.

2.根据一组试验数据画出的散点图如图所示．

现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)

【答案】　④

【解析】　由图可知上述点大体分布在函数y＝log2x的图象上，

故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．

【变式1】在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 （单位：百万个）与培养时间 （单位：时）的关系如下表，为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下四种模型供选择，则最符合实际的函数模型为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】根据条件画出散点图，

依题意，所选函数必须满足三个条件：①定义域包含；②是增函数；③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小．

因为函数的定义域为，当时无意义，故排除B；

函数随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除C；

在上随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故排除D．

函数可以同时符合上述条件.

故选：A．

3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)

A．1.5  B．1.2  C．0.8  D．0.6

【答案】　C

【解析】　4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.

【变式】通过实验数据可知，某液体的蒸发速度（单位：升/小时）与液体所处环境的温度（单位：）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数）.若该液体在的蒸发速度是0.2升/小时，在的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在的蒸发速度为（    ）

A．0.5升/小时 B．0.6升/小时 C．0.7升/小时 D．0.8升/小时

【答案】D

【详解】由题意得，

两式相除得，所以，

当时，，

所以该液体在的蒸发速度为0.8升/小时.

故选：D.

4.某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：，，．（参考数据：）

(1)试判断哪个函数模型能符合公司要求，并说明理由．

(2)基于（1）所得的符合公司要求的模型，当利润为多少时，奖金与利润之比最大，并求出最大值．

【答案】(1)(2)

【详解】（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当，时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③

对于，易知满足①；但当时，，不满足公司的要求,

对于，易知满足①，当时，，不满足公司的要求,

对于，易知满足①，当，时，，满足②

又，时，由此可知满足③

综上所述，只有奖励模型：能完全符合公司的要求.

（2）由（1）知：符合要求的函数为，故 ，当，时， 单调递减，故当时，取最大值为，

【变式】北京冬奥会已于月日开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温，与冬奥会相关的周边产品也销量上涨.因可爱而闻名的冰墩墩更是成为世界顶流，在国内外深受大家追捧.对某商户所售的冰墩墩在过去的一个月内（以天计）的销售情况进行调查发现：冰墩墩的日销售单价（元/套）与时间（被调查的一个月内的第天）的函数关系近似满足（常数），冰墩墩的日销量（套）与时间的部分数据如表所示：

已知第天该商品日销售收入为元，现有以下三种函数模型供选择：

①，②，③

(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述销售量与时间的关系，并说明理由；

(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入（，）在哪天达到最低．

【答案】(1)模型③最合适，理由见解析；(2)第天达到最低.

【详解】（1）模型③最合适，理由如下：

对于模型①，为指数型函数模型，表格中对应的数据递增的速度较慢，故模型①不合适；

对于模型②，为二次函数模型，其图象关于直线对称，有，与表中数据不符，故模型②不合适；

对于模型③，幂函数型增长模型满足表格中对应数据较慢的递增速度，将表中数据，代入模型③，有

，解得，

∴，

经验证，均满足表中数据，

因此，使用模型③来描述销售量与时间的关系最合适.

（2）∵第天冰墩墩的日销售单价（元/套），

∴第天的日销售收入为（元），

∴，

∴，

由（1）所选模型③，当且时，

（元）

当且仅当，即时，等号成立，

∴在第天时，该商品的日销售收入达到最低元.

【提高型题组】           能力提升拓展练

1.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　)

A．当x>1时，甲走在最前面

B．当x>1时，乙走在最前面

C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

【答案】　CD

【解析】　甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．

当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；

当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．

2.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为________．(保留到个位)(lg 61≈1.79)

【答案】　462

【解析】　由题意得，

f(60)＝≈＝P，

∴k≈＝0.465，

∴f(100)＝＝

≈＝62，

∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.

【反馈型题组】           课堂内容验收练

1.某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进校园，某学生早上上学骑自行车从家里出发，离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回家取出入证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往学校，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　)

【答案】　C

【解析】　中途回家取证件，因此中间有零点，排除A，B，第二次离开家速度更大，直线的斜率更大，故只有C满足题意．

2.某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元．据经验，若这种商品每件每降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低的价格为(　　)

A．2元 B．2.5元

C．1元 D．1.5元

【答案】D

【分析】根据经济效益为每件获利×每天卖出商品件数，可构建函数关系式，利用配方法，即可求得所求每件单价．

【详解】设每件降价0.1x元，则每件获利（4-0.1x）元，每天卖出商品件数为（1000+100x）．

经济效益：y=（4-0.1x）（1000+100x）=-10x2+300x+4 000=-10（x2-30x+225-225）+4000

=-10（x-15）2+6 250．

∴x=15时，ymax=6 250．

3.某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）

A．200本 B．400本 C．600本 D．800本

【答案】C

【分析】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．

【详解】该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，

则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，

解得x≥600．

∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．

故选C．

4.农业农村部发布2022年农区蝗虫防控技术方案．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过(参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)(　　)

A．122天  B．124天  C．130天  D．136天

【答案】　A

【解析】　由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.

设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，

则＝1 200，

∴1.06n＝1 200，

∴n＝log1.061 200＝≈121.614，

∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍．

5.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，（参考数据：）请推算该生物距今大约___________年．

【答案】3780

【详解】设放射性元素的存量模型为，由已知，

所以，，，

设题中所求时间为，则，，，，

∴，．

故答案为：3780.

6.自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为x＝1，2018年年份代码为x＝2，依此类推）有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与（p＞0）可供选择．

（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；

（2）问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．

（参考数据：，，lg2≈0.30，lg3≈0.48．）

【解题思路】（1）由增长人数可判断增长速度越来越快，符合指数增长模型，将（1，200），（2，240）代入，求得a与k值，则函数解析式可求；

（2）当三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍时，游览人数约是480万人，代入函数解析式，利用对数的运算性质求解x值，则答案可求．

【解答过程】解：（1）2017至2018年增长了40万人，2018至2019增长了48万人，增长速度越来越快，符合指数增长模型，

故函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）更适合．

将（1，200），（2，240）代入，可得，解得a＝1.2，k，

∴函数解析式为；

（2）2018年约为240万人，当三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍时，游览人数约是480万人，

∴，即，则x

．

故大约在2022年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．