北师大版（2024）4 正方形的性质与判定教案配套ppt课件

这是一份北师大版（2024）4 正方形的性质与判定教案配套ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了平行四边形，四边形，三个角是直角，四条边相等，四个判定定理，对角线相等，对角线垂直，正方形，先判定菱形，先判定矩形等内容，欢迎下载使用。
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？
剪口线与折痕成 45° 角即可.
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分.
问题2 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
正方形判定的几条途径：
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.∵ AC⊥DB，∴ AD = AB = BC = CD.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.∵ AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！
常用的正方形判定方法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形 BECF 是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.∴□ BECF 是菱形(菱形的定义).在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 90°.∴菱形 BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
E，H 分别是 AC，BC 中点
EH = FG，EH∥FG
四边形 EHGF 是平行四边形
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC、BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ EF = GH = FG = EH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC，BD. ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD，∴∠1 = 90°，∠2=90°.∴四边形 EFGH 是矩形.
拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC 且EF = AC，同理可证 HG∥AC 且 HG = AC，EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD.∴四边形 PFQO 为平行四边形.
拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD，AC⊥BD.∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°.∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°.∴四边形 EFGH 为正方形.
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系.
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形
2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ABC = 90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD时，四边形 ABCD 是正方形
3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB = BC (答案不唯一)
4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥ CD，垂足分别为 M、N.(1) 求证：∠ADB =∠CDB；(2) 若∠ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形.
证明：(1) ∵ BD 平分∠ABC. ∴∠1 =∠2. 又∵ AB = BC，BD = BD， ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB =∠CDB.