专题03 万有引力与宇宙航行 2025-2026学年高一下高中物理必修二期末专题复习讲义（人教版2019）

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知识点一行星运动的两种学说
知识点二开普勒定律
1开普勒行星运动定律的发现过程
德国天文学家开普勒研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符；只有假设行星绕太阳运动的轨道是椭圆，才能解释这种差别，并先后于1609年和1619年发表了行星运动的三个规律.
2开普勒行星运动定律
3对开普勒行星运动定律的理解
知识点三中学阶段对天体运动的处理方法
1近似处理
由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中，可以利用圆周运动的相关规律来进行近似处理.这样，开普勒行星运动定律可以进行如下表述.
2研究天体运动的思路
(1)为了简化运算，一般把天体运动当成匀速圆周运动来研究，此时椭圆的半长轴近似为圆周的半径.
(2)进行近似处理后，天体的运动遵循牛顿运动定律和匀速圆周运动的相关规律.
知识点四太阳与行星间的引力
1科学家对行星运动原因的猜测
2太阳对行星的引力
(1)简化模型
①行星绕太阳做的椭圆运动可简化为以太阳为圆心的匀速圆周运动.
②太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力.
(2)太阳对行星的引力规律的推导
太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离
的二次方成反比，即F∝mr2
3行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律，行星也吸引太阳，行星对太阳引力的大小，也应与太阳的质量M成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F'∝Mr2
4太阳与行星间的引力
(1)推导
由F∝mr2,F'∝Mt2,F=F'可得F∝Mmr2,写成等式为F=GMmr2.
(2)理解太阳与行星间的引力关系
①G是比例系数，与太阳和行星均没有关系.
②太阳与行星间的引力规律，也适用于行星与其卫星间的引力.
③引力规律普遍适用于任何有质量的物体.
④物体之间的相互引力沿两个物体的连线方向，指向施力物体.
知识点五月一地检验
1牛顿的猜想
(1)太阳的引力使行星不能飞离太阳，物体与地球之间的引力也使物体不能离开地球.
(2)日地间引力与月地间引力以及物体与地球间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律，其大小都可用公式F=GMmr2计算.
2牛顿的检验方法
(1)检验目的：验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律.
(2)理论分析：设地球半径为R,地球与月球间距离为r.
a月=(Rr)2g
对月—地系统有Gm地m月r2=m月a月
对物—地系统有Gm地m物R2=m物g
已知r=60R，g=9.8m/s2
a月=(160)2g≈2.7×10−3 m/s2

(3)天文观测：
月球绕地球运动的周期T=27.3天、地球与月球间距离r=3.8×108m→月球运动的向心加速度a月=4π2T2r≈2.7×10−3m/s2→与理论分析结果一致
(4)检验结果：理论分析与天文观测符合得很好.这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律.
知识点六万有引力定律
1内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m₁和m₂的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比.
2公式
F=Gm1m2r2
式中G为比例系数，叫作引力常量,适用于任何两个物体.
3公式F=Gm1m2r2的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用此公式近似计算两物体间的万有引力.
(2)质量分布均匀且有一定间距的球体间的相互作用，也可用此公式计算.式中r是两个球体球心间的距离.
4万有引力的特点
知识点七引力常量G的测定
1引力常量G的说明
(1)测定引力常量的理论公式：G=Fr2m1m2,单位为N·m²/kg².(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1kg的质点相距1m时的相互吸引力的大小.
(3)由于引力常量G很小，日常接触的物体的质量不是很大，所以很难觉察到它们之间的引力.例如，两个质量各为50kg的人相距1m时，他们相互间的引力相当于几粒尘埃的重力.但是，天体之间存在巨大的引力，太阳对地球的引力甚至可以将直径为几千米的钢柱拉断.
2引力常量的测定
卡文迪什扭秤实验的工作原理是利用大球和小球间产生万有引力，如图7-2-1所示，万有引力使T形架转动，T形架转动时带动平面镜M发生转动，进而使在镜面上反射出的光线发生偏转，从刻度尺上读出光线偏转时光点移动的距离，进而计算偏转角度.利用石英丝的扭转角度，可以求出大球和小球间的万有引力.利用F=Gm’mr2,即G=Fr2m’m,比较准确地得出了G的数值.通常取G=6.67×10-11N·m²/kg².
3引力常量测定的意义
(1)卡文迪什利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性.
(2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值.
(3)卡文迪什扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代.
知识点八重力与万有引力的区别与联系
①万有引力与重力
由于地球在不停地自转，地球上的物体随地球一起绕地轴做匀速圆周运动.地球表面上的物体所受的万有引力F引可以分解成物体随地球自转做匀速圆周运动的向心力F向(方向指向地轴的某一点)和所受的重力mg,其中，其中，其中,F引=GMmR2,F向=mrω2,重力只是万有引力的一个分力.万有引力F引、重力mg和物体由于自转所需要的向心力F向，三个力的关系如图所示.
(1)物体在一般位置(不在赤道和两极)时，F向=mrω2,F向、F引、mg不在一条直线上.
(2)当物体在赤道上时，F向达到最大值F向max,且F向max=mRω2,此时重力有最小值，为F引-F向=GMmR2−mRw².
(3)当物体在两极时F向=0,mg=F引，重力达到最大值，为GMmR2,可见只有在两极时，重力等于万有引力，在其他位置时重力均小于万有引力.
2黄金代换
由于物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力.因此不考虑(忽略)地球自转的影响时，在地球附近有mg=GMnR2,化简得gR²=GM.gR²=GM通常叫作黄金代换，适用于任何天体，主要用于某星体的质量M未知的情况下，用该星体的半径R和表面的“重力加速度g”代换M.
3地球重力加速度g及变化
(1)地球表面的重力加速度
在地球表面处万有引力近似等于重力，则GMmR2=mg,所以g=GMR2为地球半径，M为地球质量).
(2)某高度处的重力加速度
设离地球表面高h处的重力加速度为g′,则GMm(R+h)2=mg',所以g'=GM(R+h)2=R2(R+h)2g,可见重力加速度随高度的增加而减小.
(3)某深度处的重力加速度
理论表明，一个均匀的球壳，对处在其中的物体的引力为零.假想有一深度为h的矿井，其底部的重力加速度设为g",，由GMmR2=mg可得在地球表面g=GMR2=G∙ρ∙43πR3R2=4πGR3.在矿井底g''=GM''(R−ℎ)2=G⋅ρ⋅43π(R−ℎ)3(R−ℎ)2=4πρG3(R−ℎ).故g"=R−hRg.
4物体在赤道上完全失重的条件
设想地球自转角速度加快，使赤道上的物体刚好处于完全失重状态，
即FN=0,有FN=mg−mRω02
则mg=ma0=nRω02=mv02R=m2πT02R.
所以完全失重的临界条件为
a0=g=9.8 m/s2,ω0=gR=1800rad/s
v0=Rg=7.9 km/s
T0=2πRg=5075 s≈85 min.
上述结果恰好是近地面人造地球卫星的向心加速度、角速度、线速度和周期.
5地球不因自转而瓦解的最小密度
地球以T=24h的周期自转，不发生瓦解的条件是赤道上的物体受到
的万有引力大于或等于该物体做圆周运动所需的向心力，即
GMnR2≥m(2πT)2R
根据质量与密度的关系，有
M=43πpR3
所以，地球的密度应为
p=3πGT2=18.9kg/m3
即最小密度为Pmin=18.9kg/m³.地球平均密度的公认值为
p0=5523kg/m3>>pmin,足以保证地球处于稳定状态.
知识点九计算天体的质量
1“称量”地球的质量
(1)合理假设：不考虑地球自转的影响.
(2)称量原理：地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对它的万有引力，即mg=Gm地mR2
(3)结果：m地=gR2G,其中g和R在卡文迪什测定引力常量之前就已经知道了，在卡文迪什准确测定了引力常量G后，就可以算出地球的质量，这意味着人们在实验室里“称量”了地球的质量.
2计算中心天体质量的方法
(1)环绕法(万有引力=向心力)
此法的思路是绕中心天体做匀速圆周运动的行星(或卫星)所受的万
有引力充当向心力，即GMmr2=m4π2T2r,M=4π2r3GT2.
由此可见，只要测出行星(或卫星)运动的轨道半径r和公转周期T就可计算中心天体的质量M.
(2)测“g”法(重力=万有引力)
此法的思路是不考虑天体的自转，则天体表面物体所受重力等于天体对物体的万有引力，即GMmR2=mg,M=gR2G.
由此可见，只要知道天体表面的重力加速度和天体的半径，就可计算此天体的质量M.
知识点十计算天体的密度
1利用天体表面的重力加速度求天体的密度
由mg=GMmR2和M=ρ∙43πR3,得ρ=3g4πGR.其中g为天体表面的重力加速度，R为天体半径.
2利用天体的卫星求天体的密度
设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体半径为R,则可列出方程GMmr2=m4π2T2r,M=ρ∙43πR3
则p=M43πR3=4π2r3GT243πR3=3πr3GT2R3
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r近似等于天体半径R,则天体密度为ρ=3πGT2
3计算天体密度的基本思路
依据行星或卫星绕中心天体做圆周运动的一些物理量来求解中心天体的质量，同时，也可以依据中心天体表面的重力加速度来求解中心天体的质量.倘若再知道中心天体的半径，进而求出其体积，则密度即可求解.求解问题时，要根据题给条件进行分析，切勿盲目套用公式.
知识点十一天体运动参量的决定因素
1问题探究
天体做圆周运动时，描述天体运动的主要参量有线速度v、角速度w、周期T、向心加速度a等，而且表示它们间关系的公式也有很多，如向心加速度a=v2r=rω2,还有a=Fm=GMr2.那么这些天体运动参量究竟与什么有关呢?
2问题分析
设某环绕天体的质量为m,所绕中心天体的质量为M,环绕天体做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供.向心力F、向心加速度a、线速度v、角速度w和周期T与轨道半径r的关系如下表.
3结论归纳
由此也可以看出，环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v、角速度w、周期T及加速度a等，皆与环绕天体的质量无关，只与中心天体质量M和轨道半径r有关.
知识点十二宇宙速度
1.牛顿的设想
从高山上用不同的速度水平抛出物体，速度一次比一次大，落地点也就一次比一次离山脚远，如果没有空气阻力，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来.它将围绕地球旋转，成为一颗永远绕地球运动的人造地球卫星.
2.人造地球卫星环绕速度
人造地球卫星在绕地球运行时，只受到地球对它的万有引力作用，人造地球卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供.
设地球质量为M,卫星质量为m,轨道半径为r,由于万有引力提供向心力，则GMmr2=mv2r
解得v=GMr,即r越大，v越小.
因近地卫星r=R地=6400km,且M地=5.98×1024kg
由v=GMr得v=7.9km/s.
上述计算结果表明，如果在地面上发射人造地球卫星，其最小发射速度为7.9km/s,该速度同时也是其最大的环绕速度.
3.三个宇宙速度
4.运行速度、发射速度和宇宙速度的比较
知识点十三人造地球卫星
1.人造卫星的分类
人造卫星按运行轨道可分为同步卫星、近地卫星、极地卫星及其他一般人造卫星等.在用途上有军事卫星、通信卫星、气象卫星、地球资源卫星、导航卫星及近地空间科研卫星等.
2.人造地球卫星的运行轨道
(1)卫星绕地球运行的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道.
(2)卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律.
(3)卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星运行轨道的圆心.
(4)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如地球同步卫星),也可以和赤道平面垂直(如极地卫星),还可以和赤道平面成任一角度.如图所示.
3.地球同步卫星
(1)地球同步卫星的特征
所谓地球同步卫星(又叫静止卫星),是指相对于地面静止、周期和地球自转周期相同的卫星，T=24h.由于卫星所需的向心力由地球的引力提供，所以卫星轨道平面一定过地心，而地球同步卫星的周期为固定值，所以地球同步卫星在赤道上方距离地面的高度h是一定的.
(2)地球同步卫星的高度
如图7-4-3所示，假设卫星在轨道B上随着地球的自转同步地做匀速圆周运动，卫星运动的向心力由地球对它的引力F引的一个分力F₁提供，由于另一个分力F₂的作用将使卫星轨道靠向赤道平面，故只有在赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行.
由GMm(R+h)2=mω2(R+h)=m(2πT)2(R+h)得h=3GMT24π2−R（T为地球自转周期，M、R分别为地球的质量、半径，h为卫星距离地面的高度),代入数值得h≈3.6×10⁴km.）
(3)地球同步卫星的特点
知识点十四人造地球卫星的运行规律
卫星在轨道上运行时，卫星的轨道可视为圆形，这样卫星受到的万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力，设地球质量为M,卫星质量为m,卫星的轨道半径为r,线速度大小为v,角速度大小为w,周期为T,向心加速度大小为a.
根据万有引力定律与牛顿第二定律得
GMmr2=ma→a=GMr2→r越大，a越小,
GMmr2=mv2r→v=GMr→r越大，v越小,
GMmr2=mrω2→ω=GMr3→r越大，ω越小,
GMmr2=mr4π2T2→T=4π2r3GM→r越大，T越大,
所以，越高越慢
知识点十五宇宙飞船的变轨与对接
1.从地面发射变轨到预定轨道如图7-4-6所示，发射宇宙飞船时，先将飞船发射到近地轨道1,使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1;变轨时在Q点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2,使飞船做离心运动进入椭圆形的转移轨道2;飞船运行到远地点P时的速率为v3,此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4,使飞船做离心运动进入预定轨道3,绕地球做匀速圆周运动。
2.变轨运行参量间的关系
飞船在轨道1上运动到Q点的速度vq₁与在轨道2上运动到Q点的速率vQ2相比有vQ2>vQ1;而飞船在轨道2上运动到P点的速度vp2与在轨道3上运动到P点的速度vp₃相比有vp3>vp2;而在圆轨道1与圆轨道3上有vQ₁>vp3,所以有vQ2>vQ1>Vp3>vp2.而飞船稳定运行时，在Q、P点的加速度满足aQ1=aQ2,ap3=ap2,因为在不同轨道的交点处飞船所受万有引力是相同的.
3.变轨运行原因分析
(1)当卫星由于某种原因速度改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力就不再等于向心力，卫星将变轨运行.当v增大时，卫星所需向心力mv2r增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动向外变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变大，由v=GMr知其运行速度要减小.
(2)当卫星的速度减小时，所需向心力mv2r减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动向内变轨，当卫星进入新的圆轨道稳定运行时，轨道半径变小，由v=GMr知其运行速度将增大.(卫星的回收就是利用了这一原理)
4.宇宙飞船变轨对接
两飞船实现对接前，在处于高低不同的两轨道时，若目标船处于较高轨道，在较低轨道上运动的对接船需通过合理的加速，变轨提升高度并追上目标船与其完成对接.若两飞船在同一轨道要实现对接，不能简单认为只要后面的飞船加速就可以追上前面的目标船，而应先制动减速，变轨到较低轨道，使环绕速度增大，再适时加速到原轨道，实现对接.
知识点十六宇宙速度
1.牛顿力学理论的困惑困惑之一：
如图所示，在一个无限大的光滑水平面上，有一质量为m的物体，在水平恒力F的作用下，从静止开始运动.根据牛顿第二定律可知物体将以加速度a=Fm做匀加速直线运动.由运动学公式可知物体的速度v=at.
推理：随着时间的推移，物体的速度不断增加，最终可使物体获得任意速度.但事实并非如此，物体运动速度是有极限的，现在已知的最大速度是光速，且现在也无法使物体运动的速度超越光速，这是牛顿力学无法解答的.
困惑之二：
一条河流中的水以相对于河岸的速度v水岸流动，河中的船以相对于河水的速度v船水顺流而下.在牛顿力学中，船相对于岸的速度为
V船岸=V船水+v水岸
设想人类可以利用飞船以0.2c的速度进行星际航行.若飞船向正前方的某一星球发射一束激光，该星球上的观察者测量到的激光速度依据牛顿力学规律应为1.2c.然而事实并非如此.
2.爱因斯坦假设
假设一：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的.
假设二：真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的.
3.时空观
物体运动时，它的空间位置在随时间变化，因而要描述物体的运动，就应该对空间和时间有一些认识.这种认识就是时空观.
(1)绝对时空观
认为空间就像一个广阔无边的房间，它是容纳一切物体的“容器”.它给物体提供一个运动的“舞台”,但并不干扰物体的“演出”.也就是说，空间是独立于物体及其运动而存在的.认为时间像一条看不见的“长河”,均匀地自行流逝着，它计量着物体运动的持续性，而任何物体都影响不了它.也就是说，时间也是独立于物体及其运动而存在的.
(2)相对论时空观
1905年，爱因斯坦提出了相对论时空观.他指出，在研究物体高速运动(速度接近真空中的光速)时，物体的长度即物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与物体的运动状态有关.这样，空间和时间不再与物体及其运动无关而独立存在.时间延缓效应和长度收缩效应是相对论时空观的具体反映.
4.时间延缓效应和长度收缩效应
在爱因斯坦两个假设的基础上，经过严格的数学推导，可以得到下述结果.
(1)时间延缓效应
如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为△r,地面上的人观察到该物体完成这个动作的时间间隔为△t,那么两者之间的关系是
Δt=Δτ1−(vc)2
由于物体的速度不可能达到光速，所以1−(vc)2△T,此种情况称为时间延缓效应.
(2)长度收缩效应
如果与杆相对静止的人测得杆长是l0,沿着杆的方向，以速度v相对杆运动的人测得杆长是l,那么两者之间的关系是l=l01−(vc)2
由1−(vc)2