第七章 万有引力与宇宙航行【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）

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第七章 万有引力与宇宙航行
一、思维导图

二、考点通关
考点1行星的运动
项目
定律
内容
图示
意义
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。解决了行星绕太阳运动的速度大小问题
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等

表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短
2．行星运动的近似处理
实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。这样就可以说：
(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上。轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔的位置。则下列说法正确的是(　　)

A．面积S1>S2
B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度
C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴
D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴
【答案】C
【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积SA＝SB，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则vAΔt·rA＝vBΔt·rB，且知rAvB，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即＝k，整理可得T2＝a3＝Ca3，其中C＝，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
规律点拨
(1)行星绕太阳运行的轨道严格来说不是圆而是椭圆，行星与太阳间的距离是不断变化的。不同行星轨道半长轴不同，即各行星的椭圆轨道不同，但太阳是所有椭圆轨道的共同焦点。
(2)同一行星，当其离太阳较近的时候，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小。近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点，同一行星在近日点时速度最大，在远日点时速度最小。
(3)开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于行星绕其他恒星的运动，还适用于卫星绕行星的运动。其中公式＝k，对于同一中心天体，k的数值相同；对于不同的中心天体，k的数值不同。
【变式训练1】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【答案】C
【解析】根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行的椭圆轨道的一个焦点上，A错误；根据开普勒第二定律可知，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，可推知行星的运行速度大小是变化的，B、D错误；根据开普勒第三定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，C正确。
考点2万有引力定律
1．万有引力定律
F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。
测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。
2．万有引力的特点
普适性
万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性
两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方向相反，作用在彼此上
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力的作用不可忽略
3．应用公式F＝G的注意事项
(1)求两个质点间的万有引力，或者当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，此时公式中的r表示两质点间的距离。
(2)求两个质量分布均匀的球体间的万有引力时，公式中的r为两个球心间的距离。
(3)求一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力时，r指质点到球心的距离。
(4)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。
【典例2】（多选）下列说法正确的是(　　)
A．万有引力定律F＝G适用于两质点间的作用力计算
B．据F＝G，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G计算，r是两球体球心间的距离
【答案】AD
【解析】万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m的引力合力为零，故C错误。
【变式训练2】如有两艘轮船，质量都是1.0×107 kg，相距10 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则它们之间的万有引力的大小为(　　)
A．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
B．6.67×10－5 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
C．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力可忽略
D．6.67×106 N，相比于船自身的重力，该引力不能忽略
【答案】A
【解析】根据万有引力定律可得两艘轮船之间的万有引力
F＝＝6.67×10－5N，相比于船自身重力G＝Mg＝1.0×107×9.8N＝9.8×107N，该引力可以忽略，A正确，B、C、D错误。
考点3万有引力与重力的关系
1．万有引力和重力的关系
如图，地球对物体的万有引力F＝G可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。所以重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg≤G，重力的方向可能偏离地心。

2．重力与纬度的关系
地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上，F＝Fn＋mg，即G＝mω2r＋mg，所以mg＝G－mω2r。地球上任何一点自转的角速度都相等，同一物体赤道上的转动半径最大，需要的向心力最大，故物体在赤道上的重力是最小的。
(2)两极处：因为向心力为零，所以mg＝F＝G，故物体在两极处的重力是最大的。
3．重力与高度的关系
由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例3】火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，
(1)在火星表面上受到的重力是多少？
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
【答案】(1)222.2N；(2)3.375m
【解析】(1)在地球表面有mg＝G
在火星表面上有mg′＝G
代入数据，联立解得g′＝ m/s2
则宇航员在火星表面上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2N。
(2)宇航员在地球表面能跳起的高度H＝
宇航员在火星表面能跳起的高度h＝
联立并代入数据解得h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
【变式训练3】某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由万有引力定律得物体在“两极”处有G＝1.1mg，在赤道处有G－mg＝mω2R，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。
考点4天体质量和密度的计算
1．天体质量的计算
(1)重力加速度法
若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体的质量为M＝，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。
(2)环绕法
借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：
万有引力提供向心力
中心天体的质量
说明
G＝m
M＝
r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)绕中心天体运动的线速度、角速度和周期
G＝mω2r
M＝
G＝mr
M＝
2．天体密度的计算
方法一：若天体的半径为R，由“重力加速度法”可知天体的质量为M＝，那么由ρ＝及V＝πR3求得天体的密度ρ＝。
方法二：若中心天体的半径为R，由“环绕法”可知中心天体的质量M＝(r、T为环绕天体的轨道半径和公转周期)，那么由ρ＝及V＝πR3求得中心天体的密度ρ＝。当行星(或卫星)环绕中心天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。ρ＝给出了一种简单地求中心天体密度的方法，但是要注意这里的T是环绕中心天体表面运动时对应的周期，而不是在其他轨道上运动时的周期，也不是随中心天体自转的周期。
　注意区分R、r、h的意义，一般情况下，R指中心天体的半径，r指行星(或卫星)的轨道半径，h指卫星距离行星表面的高度，r＝R＋h。
【典例4】土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
【答案】BD
【解析】土星“光环”的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力：G＝mr，解得M＝。其中r为外缘颗粒的轨道半径，大小为1.4×105 km，T为外缘颗粒绕土星运动的周期，约为14 h，代入数据得：M≈6.4×1026 kg，D正确。

【变式训练4】(多选)2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星，某同学想根据平时收集的部分火星资料(如图所示)计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较。下列计算火星密度的式子中正确的是(引力常量G已知，忽略火星自转的影响)(　　)

A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
【答案】ACD
【解析】
由ρ＝，V＝π3，得ρ＝，D正确；由G＝mg0，ρ＝，V＝π3，联立解得ρ＝，A正确；根据万有引力定律得G＝mR，可得火星质量M＝，又火星的体积V＝πR3，故火星的平均密度ρ＝＝，C正确。
规律总结：
利用环绕法只能求中心天体质量，而不能求环绕中心天体运行的卫星(或行星)的质量。
考点5天体运动中各物理量与轨道半径的关系
1．天体运动的分析与计算
(1)基本思路：行星绕太阳的运动和卫星绕地球的运动一般情况可看作匀速圆周运动，所需向心力由太阳或地球这样的中心天体对它的万有引力提供，即F引＝F向。
(2)常用关系：①G＝ma＝m＝mω2r＝mr。②忽略自转时，G＝mg(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：GM＝gR2，该公式通常被称为“黄金代换式”，即当GM不知道时，可以用gR2来代换GM。
2．天体运动中的各物理量与轨道半径的关系
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动。
(1)由G＝m得v＝，r越大，v越小。
(2)由G＝mω2r得ω＝，r越大，ω越小。
(3)由G＝m2r得T＝2π，r越大，T越大。
(4)由G＝ma得a＝，r越大，a越小。
以上结论可总结为：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越远越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。
【典例5】人造地球卫星在运行中，由于受到稀薄大气的阻力作用，其运动轨道半径会逐渐减小，在此进程中，以下说法中正确的是(　　)
A．卫星的速率将变小
B．卫星的周期将增大
C．卫星的向心加速度将增大
D．卫星的角速度将变小
【答案】C
【解析】当卫星的轨道半径逐渐变小时，在较短时间内卫星仍可看作做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有Fn＝G＝man＝m＝mr＝mrω2，解得v＝ 、T＝ 、an＝、ω＝ 。由此可知，当卫星的轨道半径逐渐变小时，卫星的速率将变大，周期将减小，向心加速度将增大，角速度将增大，故A、B、D错误，C正确。
【变式训练5】(多选)土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系，则下列判断正确的是(　　)
A．若v2∝R，则外层的环是土星的卫星群
B．若v∝R，则外层的环是土星的一部分
C．若v∝，则外层的环是土星的一部分
D．若v2∝，则外层的环是土星的卫星群
【答案】BD
【解析】若外层的环为土星的一部分，则它们各层转动的角速度ω相等，由v＝ωR知v∝R，B正确，C错误；若外层的环是土星的卫星群，则由G＝m，得v2∝，故A错误，D正确。
规律总结：
(1)由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化时，因半径变化缓慢，故卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
(2)环绕同一中心天体运动的行星(或卫星)的线速度v、角速度ω、周期T、加速度a均由中心天体的质量及行星(或卫星)的轨道半径r确定。中心天体质量给定时，已知v、ω、T、a、r中的一个，即可求解出其他四个量。
考点6双星及多星问题
1．双星系统的特点
(1)两颗星体各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供(如图)，即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。

(2)两颗星体的运动周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)两颗星体的轨道半径与它们之间距离的关系为：r1＋r2＝L。
2．多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
(1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
(2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它的万有引力的合力提供的。
【典例6】(多选)有科学家认为，木星并非围绕太阳运转，而是围绕着木星和太阳之间的某个公转点进行公转，因此可以认为木星并非太阳的行星，它们更像是太阳系中的“双星系统”。假设太阳的质量为m1，木星的质量为m2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

A．太阳的轨道半径为R＝L
B．木星的轨道半径为r＝L
C．这个“双星系统”运行的周期为T＝2πL
D．若认为木星绕太阳中心做圆周运动，则木星的运行周期为T＝2πL
【答案】CD
【解析】双星角速度相等，运动周期相同，根据万有引力提供向心力，对太阳有＝m1R，对木星有＝m2r，其中L＝R＋r，联立解得R＝L，r＝L，T＝2πL ，故A、B错误，C正确；若认为木星绕太阳中心做圆周运动，由万有引力提供向心力，有＝m2L，解得T＝2πL ，故D正确。
【变式训练6】双星系统由两颗质量近似相等的恒星组成，科学家发现，该双星系统周期的理论计算值是实际观测周期的k倍(k>1)。科学家推测该现象是由两恒星连线中点的一个黑洞造成的，则该黑洞的质量与该双星系统中一颗恒星质量的比值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设两恒星的质量均为m，两恒星之间的距离为l，根据万有引力提供向心力，则有＝m·，解得T理论＝πl ；设黑洞的质量为m′，同理有＋＝m·，解得T观测＝πl，又因为T理论＝kT观测，联立解得＝，故A正确，B、C、D错误。
规律总结：
木星的质量为M木＝1.8982×1027 kg，木星与太阳的平均距离为d木＝7.78×108 km，而太阳的质量为M日＝1.9891×1030 kg，半径为R日＝6.955×105 km，由此可算出木星与太阳组成的双星系统中，太阳的轨道半径为r日＝d木＝7.4×105 km≈R日≪d木，木星的轨道半径r木＝d木＝7.77×108 km≈d木，该双星系统的环绕中心几乎在太阳上，所以木星与太阳组成的系统可看成以太阳为中心的单星系统。由上述分析可知，双星系统中质量越大其轨道半径越小，因为木星的质量是太阳系其他行星质量之和的2.5倍，所以一般上可认为太阳系是单星系统。
考点7宇宙速度
1．对三种宇宙速度的理解
(1)第一宇宙速度：是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度，也是人造地球卫星的最小发射速度，其大小为7.9 km/s。
(2)第二宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球的最小发射速度，其大小为11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面附近发射飞行器，使其挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s。
2．第一宇宙速度的推导
已知地球的质量为m地＝5.98×1024 kg，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。
思路一：万有引力提供向心力，由G＝m得v＝ ＝7.9 km/s。
思路二：由mg＝m得v＝＝7.9 km/s。
说明：由第一宇宙速度的两种表达式可知，第一宇宙速度的大小由地球决定。其他天体的第一宇宙速度可以用v＝ 或v＝表示，式中G为引力常量，M为天体的质量，g天体为天体表面的重力加速度，R为天体的半径。
3．发射速度与环绕速度
(1)当v发＝7.9km/s时，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动。
(2)当7.9 km/s (3)当11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳转动成为太阳系的一颗“小行星”，或绕太阳系内其他星体运动。
(4)当v发≥16.7 km/s时，卫星可以挣脱太阳引力的束缚到达太阳系以外的空间。
【典例7】(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的。下列关于火星探测器的说法中正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于等于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．火星探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的
【答案】CD
【解析】火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于等于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；绕火星运行的最大速度即为火星的第一宇宙速度，由G＝m得，v＝ ，已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝＝，D正确。
【变式训练7】(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(　　)
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
【答案】CD
【解析】根据v＝ 可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于等于第一宇宙速度，A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚的地面最小发射速度，C正确；7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，D正确。
考点8人造地球卫星
1．人造地球卫星
(1)轨道形状
①椭圆轨道：地心位于椭圆的一个焦点上。
②圆轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星的轨道圆心必然是地心，即卫星在以地心为圆心的轨道上绕地球做匀速圆周运动。
(2)轨道位置：过地心，与地心在同一平面。可以在赤道平面内(赤道轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度。
(3)运行规律
人造地球卫星绕地球做圆周运动时，地球对卫星的万有引力提供向心力，由G＝m＝mω2r＝m2r＝ma，可得v＝ 、ω＝ 、T＝2π 、a＝，所以卫星的v、ω、a随r的增大而减小，周期T随r的增大而增大。
2．地球同步卫星
(1)定义：周期与地球自转周期相同的卫星。
(2)同步卫星的特点：五个“一定”
①周期一定：同步卫星的运转周期与地球自转周期相同，即T＝24 h。
②角速度大小一定：同步卫星绕行的角速度大小等于地球自转的角速度大小。
③高度一定：同步卫星高度约为3.6×104 km。
由G＝m2r知，r＝ 。由于T一定，故r一定，而r＝R＋h，R为地球半径，则h＝－R。又因GM＝gR2，代入数据T＝24 h＝86400 s，g取9.8 m/s2，R＝6.4×106 m，得h≈3.6×104 km。
④线速度大小一定：同步卫星的环绕速度大小为3.1×103 m/s。
设其运行速度为v，由于G＝m，所以v＝ ＝ ＝3.1×103 m/s。
⑤向心加速度大小一定：同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度(0.23 m/s2)。
由G＝ma得a＝G＝gh＝0.23 m/s2。
注：一种特殊的地球同步卫星——静止卫星，还具有以下两个特点：
①绕行方向一定：静止卫星的绕行方向与地球自转方向一致，即自西向东。
②轨道平面一定：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面与赤道平面重合。
3．卫星的追及相遇问题的分析
如果有两颗卫星在同一轨道平面内两个不同轨道上同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示；当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。两卫星相距最远的条件是ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2…)，相距最近的条件是ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝0,1,2…)。

【典例8】如图所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。三颗卫星质量相同，线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则(　　)

A．ωA＝ωC<ωB B．TA＝TC C．vA＝vCaB
【答案】A
【解析】同步卫星周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr 及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA。同步卫星和近地卫星，根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TBaC。故可知ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vA 【变式训练8】由于月球与地球间潮汐力的影响，地球自转在逐渐变慢，3.7亿年前一天大约22小时，而现在一天约23时56分，对于地球自转变慢带来的影响，下列说法正确的是(　　)
A．近地卫星的周期变大
B．近地卫星的线速度变大
C．同步卫星的高度变低
D．赤道处的重力加速度变大
【答案】D
【解析】由万有引力提供向心力，有G＝m＝mr，解得v＝ ，T＝ ，因地球质量不变，近地卫星与地球间的距离不变，则近地卫星的线速度、周期均不变，A、B错误；地球自转变慢，周期变大，则同步卫星周期也应变大，由G＝mr，解得r＝ ，可知同步卫星的轨道半径变大，由r＝R＋h可知其高度h变高，C错误；在赤道处有＝mg赤＋mω2R，由于地球自转角速度ω变小，所以g赤变大，D正确。
规律总结：
同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运动比较
(1)同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man。由上式比较各运动参量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大。
(2)同步卫星与赤道上随地球自转的物体的共同点是具有相同的角速度大小和周期。赤道上物体不是卫星，赤道上物体随地球自转的向心力只是地球对物体的万有引力的一个分力，即G＝mg＋mω2R，由圆周运动的规律v＝ωr，an＝ω2r，比较同步卫星和赤道上物体的线速度大小和向心加速度大小。
(3)当比较近地卫星和赤道上物体的运动时，往往借助同步卫星这一纽带。
考点9卫星变轨问题
1．人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件
如图所示，设卫星的速度为v，卫星到地心的距离为r，卫星以速度v绕地球做圆周运动所需要的向心力为F向＝m，卫星所受地球的万有引力F＝G。

当F＝F向时，卫星将做圆周运动。
当F 当F>F向时，卫星将做近心运动，沿椭圆轨道运动。
2．人造卫星的变轨
卫星由低轨道变到高轨道必须加速，由高轨道变到低轨道必须减速。
如图所示，卫星在圆轨道Ⅰ上稳定运行时，G＝m(rA为A点到地心的距离)。若要使卫星变轨到椭圆轨道Ⅱ上运行，则使卫星运动到圆轨道Ⅰ上的A点时加速，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，变轨到椭圆轨道Ⅱ上运动。若要使卫星在圆轨道Ⅲ上运行，则当卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动到B点时，必须在B点再次加速。反之，则需要减速。

3．飞船对接问题

(1)低轨道飞船与高轨道空间实验室对接时，如图甲所示，让低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道追上高轨道空间实验室与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间实验室对接时，如图乙所示，通常使后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间实验室时恰好具有相同的速度。
【典例9】如图所示，某次发射同步卫星的过程如下：先将卫星发射至近地圆轨道1，然后再次点火进入椭圆形的过渡轨道2，最后将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(　　)

A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道2上经过P点时的速度大于它在轨道2上经过Q点的速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过Q点时的速度大于它在轨道1上经过Q点时的速度
【答案】D
【解析】由G＝m得，v＝ ，由于r1v3，根据开普勒第二定律知，卫星距地球较近时运行速度较大，A、B错误；轨道1上的Q点与轨道2上的Q点是同一点，到地心的距离相同，根据万有引力定律及牛顿第二定律知，卫星在轨道1上经过Q点时的加速度等于它在轨道2上经过Q点时的加速度，C错误；卫星在Q点从轨道1变轨到轨道2，做离心运动，速度增大，故D正确。
【变式训练9】(多选)如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是(　　)

A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．a加速可能会追上b
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，仍做匀速圆周运动，则其线速度将变大
【答案】BD
【解析】因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又由b、c轨道半径大于a轨道半径，由v＝ ，可知vb＝vc＜va，故A错误；当a加速后，会做离心运动，轨道会变成椭圆，若椭圆与b所在轨道相切(或相交)，且a、b同时来到切(或交)点时，a就追上了b，故B正确；当c加速时，c受的万有引力F＜m，故它将偏离原轨道，做离心运动，当b减速时，b受的万有引力F＞m，它将偏离原轨道，做近心运动，所以c追不上b，b也等不到c，故C错误；对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，由v＝ 可知，v逐渐增大，故D正确。
规律总结：
卫星变轨问题中速度、加速度大小变化的判断方法
(1)根据v＝ (“越远越慢”)判断卫星在不同圆轨道上运行速度大小。
(2)根据开普勒第二定律或一般曲线运动的动力学分析，判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小。
(3)根据离心运动或近心运动的条件分析判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化。
(4)根据a＝＝判断卫星的加速度大小。
考点10相对论时空观
在牛顿力学理论与电磁波理论的矛盾与冲突面前，一些物理学家仍坚持原有理论的基础观念，进行一些修补的工作，而爱因斯坦、庞加莱等人则主张彻底放弃某些与实验和观测不符的观念，如绝对时间的概念，提出能够更好地解释实验事实的假设。爱因斯坦假设：
(1)在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的。
(2)真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的。
在爱因斯坦假设的基础上，可得出“同时”的相对性、时间延缓效应、长度收缩效应等结论。
1．“同时”的相对性
假设一列火车沿平直轨道飞快地匀速行驶。车厢中央的光源发出了一个闪光，闪光照到了车厢的前壁和后壁。车上的观察者以车厢为参考系，因为车厢是个惯性系，光向前、后传播的速率相同，光源又在车厢的中央，闪光当然会同时到达前后两壁(图甲)。

对于车下的观察者来说，他以地面为参考系，因闪光向前、后传播的速率对地面也是相同的，在闪光飞向两壁的过程中，车厢向前行进了一段距离，所以向前的光传播的路程长些。他观测到的结果应该是：闪光先到达后壁，后到达前壁(图乙)。因此，这两个事件不是同时发生的。
2．对时间延缓、长度收缩效应的理解
(1)Δt＝表明Δt>Δτ，即时间间隔变长，时钟变慢。非但如此，惯性系中的一切物理、化学和生命过程都变慢了。这种时间的变化是相对的，如果两个观察者做相对运动，他们都会认为对方所在参考系的时间变慢了。
(2)对于l＝l0，只适用于沿杆的运动方向上。在垂直于杆的运动方向上，杆的长度没有变化。这种长度的变化是相对的，如果两条平行的杆沿长度方向做相对运动，与它们一起运动的两位观测者都会认为对方的杆缩短了。
(3)时间间隔、长度的变化都是由于物体的相对运动引起的一种观测效应，它与所选的参考系有关，而物体本身的结构并没有变化。
3．相对论时空观
经典物理学认为时间与空间都是独立于物体及其运动而存在的，这种绝对时空观，也叫牛顿力学时空观。
时间延缓效应和长度收缩效应表明：运动物体的长度(空间距离)和物理过程的快慢(时间进程)都跟物体的运动状态有关，这个结论具有革命性的意义，它所反映的时空观称作相对论时空观。
高速运动的μ子寿命变长这一现象，用经典理论无法解释，用相对论时空观可得到很好的解释。这一研究结果成了相对论时空观的最早证据。
相对论时空观的第一次宏观验证(铯原子钟实验)是在1971年进行的。实验结果与相对论的理论预言符合得很好。
【典例10】在静止系中的立方体每边长L0，另一坐标系以相对速度v平行于立方体的一边运动。问在后一坐标系中的观察者测得的立方体体积是多少？
【答案】L。
【解析】本题中坐标系相对于立方体以速度v运动，运动方向与一条边平行，则在该坐标系中观察者测得该条边的长度为L＝L0 。
测得立方体的体积为V＝LL＝L。
【变式训练10】在量子力学中，π介子和质子在特定条件发生碰撞，并发生反应，能产生新粒子K0，而新粒子K0的固有寿命(即粒子相对惯性参考系静止时的寿命)很短，当新粒子K0在空气中运行的距离为d＝0.1 m时，新粒子K0就发生衰变，生成两个带等量异号电荷的π介子。如果生成的新粒子K0的速度大小为v＝2.24×108 m/s，求新粒子K0的固有寿命。(结果保留一位有效数字)
【答案】3×10－10 s
【解析】在实验室中测得的粒子运动的时间间隔为Δt＝
根据Δt＝得
Δτ＝Δt ≈3×10－10 s。
规律总结：
应用相对论“效应”解题的一般步骤
首先，通过审题确定研究对象及研究对象的运动速度。
其次，明确求解的问题，即明确求解静止参考系中的观察结果，还是运动参考系中的观察结果。最后，应用“长度收缩效应公式”或“时间延缓效应公式”进行计算。
考点11牛顿力学的成就与局限性
牛顿力学只适用于低速运动和宏观世界，不能解释高速运动和微观粒子的运动。
1．这里的低速是指远小于光速，通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体的运动皆为低速运动。
有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速。
对于低速运动问题，一般用牛顿力学来处理。对于高速运动问题，牛顿力学已不再适用，需要用相对论知识来处理。
2．对于微观粒子运动的规律，一般用量子力学描述。
3．当物体的运动速度远小于光速c时(c＝3×108 m/s)，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别；当另一个重要常数即普朗克常量h可以忽略不计时(h＝6.63×10－34 J·s)，量子力学和牛顿力学的结论没有区别。相对论与量子力学都没有否定过去的科学，而只认为过去的科学是自己在一定条件下的特殊情形。
【典例11】(多选)以下说法正确的是(　　)
A．牛顿力学普遍适用，大到天体，小到微观粒子均适用
B．牛顿力学的成立具有一定的局限性
C．根据牛顿力学，物体的长度不随物体运动状态的改变而改变
D．相对论与量子力学否定了牛顿力学
【答案】BC
【解析】牛顿力学只适用于宏观物体、低速运动，具有一定的局限性，A错误，B正确；牛顿力学的时空观为绝对时空观，认为空间是绝对的，独立于物体及其运动而存在的，物体的长度不随物体运动状态的改变而改变，C正确；相对论和量子力学并没有否定牛顿力学，而是认为牛顿力学是相对论、量子力学在某些条件下的特殊情形，D错误。
【变式训练11】(多选)20世纪以来，人们发现了一些新的事实，而牛顿力学却无法解释。牛顿力学只适用于解决物体的低速运动问题，不能用来处理高速运动问题，只适用于宏观物体，一般不适用于微观粒子。这说明(　　)
A．随着认识的发展，牛顿力学已成了过时的理论
B．人们对客观事物的具体认识在广度上是有局限性的
C．不同领域的事物各有其本质与规律
D．人们应当不断扩展认识，在更广阔的领域内掌握不同事物的本质与规律
【答案】BCD
【解析】人们对客观世界的认识要受到所处的时代的客观条件和科学水平的制约，所以形成的看法具有一定的局限性，人们只有不断扩展自己的认识，才能掌握更广阔领域内的不同事物的本质与规律。新的科学的诞生并不意味着对原来科学的全盘否定，而是认为过去的科学是新的科学在某些条件下的特殊情形。故A错误，B、C、D正确。
规律总结：
如何解答牛顿力学局限性问题
解答牛顿力学的局限性问题时，应在理解的基础上记忆牛顿力学的成就和适用范围，以及牛顿力学与相对论和量子力学的关系。