2026年江苏省无锡市惠山区九年级 检测数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年江苏省无锡市惠山区九年级 检测数学试题（含解析）中考模拟，共12页。试卷主要包含了 下列各数中，无理数是等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、是整数，属于有理数，故A不符合要求；
B、是整数，属于有理数，故B不符合要求；
C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C符合要求；
D、是分数，属于有理数，故D不符合要求．
2. 下列各组代数式中，属于同类项的是（ ）
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类项的定义逐个判断即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式为同类项．
【详解】解：A、与所含字母相同，但相同字母x的指数不相等，
∴不是同类项，不符合题意；
B、与所含字母都是，且相同字母的指数都相等，符合同类项定义，
∴是同类项，符合题意；
C、只含字母，含字母和，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意；
D、含字母，含字母，所含字母不同，
∴不是同类项，不符合题意．
3. 有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求组数，可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可．
【详解】解：，
，
∴组数为，
故选：C．
4. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击5次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是a；乙射击成绩的平均数是8环，方差是b，若甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，则a与b的大小关系正确的是（ ）
A. a小于bB. a等于bC. a大于bD. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，根据该性质即可比较和的大小．
【详解】解：∵甲射击成绩比乙射击成绩更稳定，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴小于．
5. 若圆锥的底面半径为，侧面展开图的面积为，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆锥侧面积公式的应用，利用圆锥侧面积公式，代入已知条件即可求解母线长．
【详解】解：设圆锥母线长为，圆锥侧面积公式为，
∵圆锥底面半径，侧面积，
∴代入得 ，约去解得，
即圆锥母线长为．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理，根据确定圆的条件、三角形的外心性质及垂径定理一一判断即可得出答案．
【详解】解：∵不在同一直线上的三点确定一个圆，选项A未排除共线情况，故A错误；
∵三角形的外心是外接圆圆心，到顶点的距离相等，但到三边的距离不一定相等，故B错误；
∵平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但选项未限定弦非直径，故C错误；
∵ 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦（垂径定理），故D正确．
故选D
7. 如图，将一把等腰直角三角尺和一把直尺摆放在同一平面内，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等，得到，而，再利用三角形一个外角等于不相邻两内角之和，即可求解．
【详解】解：如图，
∵直尺的两条边平行，即，
∴，
∵和是对顶角，
∴，
∵是等腰直角三角尺的一个锐角，
∴，
又∵是的一个外角，
所以．
8. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；连接，由切线的性质得，根据四边形的内角和可求出，再由等腰三角形的性质得，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，是的切线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
9. 我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是81平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远，如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，得：．
故选：D．
10. 在双减背景下，某校研究学习效率模型，将产出设为，投入设为，定义了增效函数：对于函数，若其图象上任意两点，（）都满足，则称该函数为增效函数．给出下列关于增效函数的命题：
①一次函数是增效函数；
②若正比例函数是增效函数，则；
③反比例函数（）是增效函数；
④若，则二次函数是增效函数．
其中真命题是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据增效函数的定义，对每个命题逐一验证，将变形后，结合函数性质判断是否恒成立即可。
【详解】解：增效函数定义为：对任意，恒有，即恒成立。
①对于，
，
，恒成立，故①正确；
命题②：若是增效函数，则，
，
∴，
取，，
则，不满足条件，
∴即使也不是增效函数，②错误；
③对于，取，，，
，即，不满足定义，故③错误；
④∵，
∴
整理得：，
令，开口向上，最小值为，若对任意，恒成立，则需，即，解得，符合命题条件，故④正确．
综上，①④正确．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 年，无锡天春假期间，鼋头渚、惠山古镇、梅园、动物园、蠡园家重点景区共接待游客约人次．其中数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数绝对值大于时，为正整数，的绝对值等于原数变成时小数点移动的位数．
【详解】解：的小数点向左移动位得到，
∴，
∴．
12. 若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是_______
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式中被开方数为非负数列不等式求解即可．
【详解】解：代数式有意义，
∴，
解得，，
故答案为： ．
13. 分解因式：=__________
【答案】
【解析】
【详解】解：
故答案为：
14. 一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，每前进10米所上升的高度为________米．
【答案】
【解析】
【分析】设上升的高度为米，根据坡度的概念得到水平距离为米，根据勾股定理列出方程求解，即可得到答案．
【详解】解：设上升的高度为米，
上山直道的坡度为，
水平距离为米，
由勾股定理得：，
整理得，
解得（负值已舍去）．
15. 如果将抛物线向上平移m（）个单位后经过原点，那么m的值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据抛物线平移规律得到平移后的抛物线解析式，再将原点坐标代入解析式，求解得到的值．
【详解】解：根据抛物线平移的“上加下减”规律，可得平移后抛物线的解析式为
平移后的抛物线经过原点，
，
解得，．
16. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点A、B、D均在格点上，连接与网格线交于点C，连接与网格线交于点E，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作，连接，由图可知：，，则有，然后可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点作，连接，如图所示：
由图可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的两条边分别与坐标轴平行，过原点O，已知点A，B在反比例函数的图象上，过点C作直线，与该反比例函数的图象相交于点E，F．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标为，则，，结合点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，求出，则，，待定系数法求出反比例函数为，设直线的解析式为，联立，计算即可得出结果．
【详解】解：设点的坐标为，
∵的两条边分别与坐标轴平行，，，
∴，，
∵点A，B在反比例函数的图象上，且过原点O，
∴，
解得：，
∴，，
将代入反比例函数可得，即，
∴反比例函数为，
设直线的解析式为，
将代入可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入可得，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，可得，
解得：或，
设，，且，则，
∴，
∴．
18. 如图，在矩形中，，点O是边的中点，连接．将绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，线段与矩形的某一边相交于点M．
（1）若，逆时针旋转时，线段________；（2）在旋转过程中，当点F落在的垂直平分线上时，线段________．（用含有x的代数式表示）
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】(1)首先，按照要求作出图形，由，，得，再由绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，得，，再证得四边形是矩形，得，可得；
(2)根据题意作的垂直平分线分别交于，交于，交于，由，得，然后，由是的垂直平分线，得，再证得，得，即点P是的中点，可证得是的中位线，得，进而证得四边形是矩形，得，再证得四边形为矩形， 得， ，然后，再分两种情况进行分类讨论：①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K，先证得四边形是矩形，得，再证得，得，即， 得， 进而得， 最后，得；②如图3，连接，解题思路同理①可得的长．
【详解】(1)解：如图1，
∵，，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转得到，点A、B、C的对应点分别为点E、F、G，
∴，，
∴，
∵点O是边的中点，
∴点O是边的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；
(2)解：作的垂直平分线分别交于，交于，交于，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，即点P是的中点，
又∵点O是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
①如图2，连接并延长交于Q，过M作于K，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
②如图3，连接，
∵，
∴，
∵绕着点O逆时针旋转一定的角度得到，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
综上，的长为或．
(1)根据题意作出对应图形，再根据旋转的性质证得四边形是矩形，得；(2)根据题意做出符合要求的两种图形，进行分类讨论，再根据旋转的性质分别证得，是本题解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．）
19. 计算与解方程：
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式的性质化简，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
∴
∴或，
解得：，
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【详解】解：原式
；
当时，则原式．
21. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在边和上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证；
（2）连接，过点作，由题意易得，则有是等边三角形，然后可得，进而问题可求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：连接，过点作，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋． 为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．
请你根据如图信息解决下列问题：
（1）参加问卷调查的学生人数为 名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是 ；
（2）补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
（3）若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？
【答案】（1）100；
（2）见解析 （3）估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果；
（2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图；
（3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论．
【小问1详解】
解：参加问卷调查的学生人数为（名），
“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：100；；
【小问2详解】
解：参加“插花”的人数有（名），
补全条形统计图如下，
；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名．
23. 当下人工智能技术飞速发展，某兴趣小组为探究不同大模型的应用特性，采用抽签方式选定研究方向，将4张卡片背面朝上洗匀后摆放，卡片除编号与内容外其余完全相同，卡片信息如下：
（1）若从4张卡片中随机抽取一张，抽到《2026十大技术趋势》的概率为________；
（2）若从4张卡片中随机抽取两张，请用列表法或画树状图法求抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）画树状图，找出所有等可能的结果数，和满足要求的结果数，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：从4张卡片中随机抽取一张，共有4种等可能情况，其中抽到《2026十大技术趋势》的情况只有1种，故概率为．
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽到A《人工智能：现代方法》和D《算力基础设施白皮书》的结果有2种，
所以抽到《人工智能：现代方法》和《算力基础设施白皮书》的概率为．
24. 如图，已知梯形，，．
（1）请在图①中用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作的垂线l交于点E，在l上确定点F，使得点F到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，，则________．（如需画草图，请使用图②）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用尺规作图过点B作的垂线l，再利用尺规作图作出的角平分线，与直线l交于点F；
（2）证明四边形是矩形，求得，，在中，解直角三角形求得，证明是等腰直角三角形，求得，在中，由勾股定理计算即可求解．
【小问1详解】
解：所作图形如图所示：
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
在中，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，解得，
∴，
∵，是的角平分线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，．
25. 如图，是的内接三角形，弦于点E，连接并延长与相交于点G．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角、同弧圆周角相等，利用等角余角相等，即可解答；
（2）根据相等圆周角对应等弧，推出弦，由半径得直径，结合余弦值求出，再用勾股定理算出，即可得到长度．
【小问1详解】
解：连接．
是 的直径，
，
．
，
∴，
．
又 ，
∴，
．
【小问2详解】
解：连接，
， 是直径，
．
由（1）知：，
，
．
在 中，，
，
．
在 中，由勾股定理：
，
，
，
．
．
26. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，
（1）根据，设，则，利用勾股定理求出，进而可得，问题即可得解；
（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，根据，可得，则有，在中，设，，问题随之得解．
【小问1详解】
∵，
∴如图，
设，则，由勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴，
∴折射率为：．
【小问2详解】
根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是矩形，点O是中点，
∴，，
又∵，
∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴截面的面积为：．
27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，二次函数与轴交于点，与轴交于点（点在点的左边），点在二次函数第三象限的图象上，横坐标为， 为二次函数图象上异于的两点，横坐标分别为、，连接、、．
（1）求二次函数的表达式；
（2）证明：为直角三角形；
（3）连接，与直线、直线分别交线段于点，若，求的值．
【答案】（1）
（2）证明：根据题意，得 ， ，
∴

可得：，
∴ 是直角三角形，且；
（3）或
【解析】
【分析】（1）将点代入，即可求解；
（2）利用勾股定理逆定理判断三角形形状即可；
（3）分别求出直线、直线的解析式，判断出，则，过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P，求出，，再由，得到，求出m的值即可．
【小问1详解】
解：将代入，得： ，
解得：，
展开得，
即二次函数表达式为
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：当时，，
解得或，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
过点M作y轴的平行线，分别交于点Q，交于点P，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴,
∴，
∴，
解得或或或，
∵M点在第三象限，
∴，
∴或．
28. 如图，边长为1的正方形中，点E为边上一动点（不与A、D重合），连接，将沿翻折到，连接并延长，交射线于点G．
（1）若点G与点B重合，求的长；
（2）若，，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，，从而得出为等腰直角三角形，即可得出结果；
（2）分两种情况：当点在边上，即时，当点在的延长线上，即时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果．
【小问1详解】
解：如图：
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质可得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
【小问2详解】
解：如图，当点在边上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在的延长线上，即时，作交于点，延长交于点，延长交的延长线于点，
同理可得：,，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，．