2026届江苏省无锡惠山区七校联考数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

这是一份2026届江苏省无锡惠山区七校联考数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析，共18页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是，的值等于等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A．B．C．D．
2．若n＜+1＜n+1，则整数n为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
4．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A．m＞B．m＞且m≠2C．－≤m≤2D．＜m＜2
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，1）C．（2，2）D．（4，2）
7．学生作业本每页大约为7.5忽米(1厘米＝1000忽米)，请用科学计数法将7.5忽米记为米，则正确的记法为( )
A．7.5×米B．0.75×米C．0.75×米D．7.5×米
8．直径为1个单位长度的圆上有一点A与数轴上表示1的点重合，圆沿着数轴向左滚动一周，点A与数轴上的点B重合，则B表示的实数是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(﹣3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．20B．16C．34D．25
10．的值等于（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
12．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．
所以直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________．
13．已知且为锐角，则_____．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A⇒B⇒A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当t为_____s时，△BEF是直角三角形．
15．正八边形的每个外角的度数和是_____．
16．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为_____．
17．方程组的解是_____．
18．代数式中的取值范围是__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在□ABCD中，AD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B．
（1）求证：；
（2）若AB＝5，AD＝8，求⊙O的半径．
20．（6分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．
21．（6分）已知一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于A、B两点，坐标分别为（—2，4）、（4，—2）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）直线AB上是否存在一点P（A除外），使△ABO与以B﹑P、O为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P的坐标．
22．（8分）如图，在中，是上的高，.
（1）求证:;
（2）若，求的长．
23．（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）若为正整数，求的值；
（2）若，满足，求的值.
24．（8分）如图，在中，是边上的一点，若，求证：.
25．（10分）如图，已知点，是一次函数图象与反比例函数图象的交点，且一次函数与轴交于点．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）在轴上有一点，使得，求出点的坐标．
26．（10分）为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（，结果精确到0.1米）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，csB= ，
∴BC=10cs40°．
故选：B．
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
2、B
【解析】先估算出的大小，再估算出+1的大小，从而得出整数n的值．
【详解】∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴整数n为3；
故选：B．
本题主要考查算术平方根的估算，理解算术平方根的定义，是解题的关键.
3、D
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．
B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是＝1．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．
故选：D．
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
4、D
【解析】试题分析：根据题意得且△=，解得且，
设方程的两根为a、b，则=，，而，∴，即，∴m的取值范围为．故选D．
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．
5、C
【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．
6、A
【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴=，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴=，
∴=，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
7、D
【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：7.5忽米用科学记数法表示7.5×10-5米．
故选D．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8、C
【分析】因为圆沿数轴向左滚动一周的长度是，再根据数轴的特点及的值即可解答．
【详解】解：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，
数轴上表示1的点与点B之间的距离为圆的周长，点B在数轴上表示1的点的左边．
点B对应的数是．
故选：C．
本题比较简单，考查的是数轴的特点及圆的周长公式．圆的周长公式是：．
9、C
【分析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，OM＝2，推出OD＝AM＝5，再利用勾股定理求出AD即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10、B
【分析】根据sin60°以及tan45°的值求解即可.
【详解】sin60°＝，tan45°＝1，所以sin60°+tan45°＝.故选B.
本题主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：，
∴这两个三角形的面积比；
故答案为：∶.
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
12、90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【详解】解：利用90°的圆周角所对的弦是直径可得到AB为直径，根据经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线可判断直线AD就是过点A的圆的切线．
故答案为90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
点睛：本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
13、2
【分析】根据特殊角的三角函数值，先求出，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，为锐角，
∴，
∴；
∴
=
=
=
=；
故答案为：2.
本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质，负整数指数幂，零次幂，解题的关键是正确求出，熟练掌握运算法则进行计算.
14、1或1.75或2.25s
【解析】试题分析：∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°．
∵∠ABC=60°,
∴∠A=30°．
又BC=3cm,
∴AB=6cm．
则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．
若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;
当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s．
故答案是t=1或或．
考点：圆周角定理．
15、360°．
【分析】根据题意利用正多边形的外角和等于360度，进行分析计算即可得出答案．
【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，
所以正八边形的每个外角的度数和是360°．
故答案为：360°．
本题主要考查多边形的外角和定理，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
16、1
【解析】抛物线的解析式为y=x2-6x-16，可以求出AB=10；在Rt△COM中可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=1．
【详解】抛物线的解析式为y=x2-6x-16，
则D（0，-16）
令y=0，解得：x=-2或8，
函数的对称轴x=-=3，即M（3，0），
则A（-2，0）、B（8，0），则AB=10，
圆的半径为AB=5，
在Rt△COM中，
OM=5，OM=3，则：CO=4，
则：CD=CO+OD=4+16=1．
故答案是：1.
考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到圆的垂径定理．
17、
【分析】根据二元一次方程组的解法解出即可．
【详解】解：，
①+②得：
3x＝9，
x＝3，
把x＝3代入①得：y＝2，
∴，
故答案为：．
本题考查解二元一次方程组,关键在于熟练掌握解法步骤．
18、；
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列出不等式即可求出取值范围.
【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0
∴
解得
故答案为：.
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为
【分析】(1) 连接OB，根据题意求证OB⊥AD，利用垂径定理求证；
(2) 根据垂径定理和勾股定理求解.
【详解】解：（1）
连接OB,交AD于点E.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴AD// BC
∴∠OED＝∠OBC =90°
∴ OE⊥AD
又 ∵ OE过圆心O
∴
（2）∵ OE⊥AD ,OE过圆心O
∴ AE=AD=4
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
BE＝＝3，
设⊙O的半径为r，则OE=r－3
在Rt△ABE中，∠OEA＝90°，
OE2+AE2 = OA2
即(r－3)2+42= r2 ∴r=
∴⊙O的半径为
掌握垂径定理和勾股定理是本题的解题关键.
20、4πcm2
【分析】由旋转知△A′BC′≌△ABC，两个三角形的面积S△A′BC′=S△ABC，将三角形△A′BC′旋转到三角形△ABC，变成一个扇面，阴影面积=大扇形A′BA面积-小扇形C′OC面积即可．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC ∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′=×（42-22）=4π（cm2）．
本题考查阴影部分面积问题，关键利用顺时针旋转△A′C′B到△ACB，补上△A′C′B内部的阴影面积，使图形变成一个扇面，用扇形面积公式求出大扇形面积与小扇形面积．
21、（1）y=-x+2 ，y=；（2）AOB的面积为6；（3）（，）．
【详解】（1）将点（－2，4）、（4，－2）代入y1=ax+b，得，解得：，
∴y=-x+2 ，
将点（－2，4）代入y2=，得k＝－8，
∴y=；
（2）在y=-x+2中，当y＝0时，x＝2，
所以一次函数与x轴交点是（2，0），
故△AOB的面积为=；
（3）∵OA＝OB＝，
∴△OAB是等腰三角形，
∵△ABO与△BPO相似，
∴△BPO也是等腰三角形，
故只有一种情况，即P在OB的垂直平分线上，
设P（x，-x+2）
则，
解得：，
∴顶点P的坐标为（，）.
22、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）由于tanB=cs∠DAC，根据正切和余弦的概念可证明AC=BD；
（2）根据，AD=24，可求出AC的长，再利用勾股定理可求出CD的长，再根据BC=CD+BD=CD+AC可得出结果．
【详解】（1）证明：是上的高，
．
在和中，
，，
又，
，
；
（2）解：在中，，AD=24，则，
．
又，
=AC+CD=26+10=1．
此题考查解直角三角形、直角三角形的性质等知识，掌握基本概念和性质是解题的关键．
23、（1），2；（2）
【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；
(2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论．
【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵为正整数，
∴，2；
(2)∵，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∵，
∴．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．
24、见解析
【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得，进而根据相似三角形的性质，可得，推论即可得出结论.
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
即.
本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.
25、（1）；；（2）42；（3）或.
【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出k，再令x=4代入反比例函数的解析式求出a，再将点A和B的坐标代入一次函数的解析式，求解即可得出答案；
（2）令y=0，求出点C的坐标，根据求解即可得出答案；
（3）设点，根据列出含n的方程，解方程即可得出答案.
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
当时，，即.
∴代入中，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，∴令，则，∴
∴，
∴
（3）设点
则
∵，
∴，∴
∴或
本题考查的是反比例函数和一次函数，正确解出函数解析式是解决本题的基础，熟练掌握求面积的方法是解决本题的关键.
26、33.1米
【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．
【详解】解：
过点D作DF⊥AB，如图所示：
在Rt△ADF中，DF=BC=21米，∠ADF=45°
∴AF=DF=21米
在Rt△EDF中，DF=21米，∠EDF=30°
∴EF=DF×tan30°=米
∴AE=AF+BF=+21≈33.1米．
答：条幅的长AE约是33.1米．
本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．