2026年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式易错易混02不等式与基本不等式的应用(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语、不等式易错易混02不等式与基本不等式的应用(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。学案主要包含了易错陷阱·避错攻略等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc11478" 01 错点扫描・易错建模夯基石 PAGEREF _Tc11478 \h 1
\l "_Tc1178" 02 易错归纳・查漏补缺避陷阱 PAGEREF _Tc1178 \h 3
\l "_Tc22425" 易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件（★★★） PAGEREF _Tc22425 \h 3
\l "_Tc23337" 易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★） PAGEREF _Tc23337 \h 4
\l "_Tc30853" 易错归纳03 分式不等式（★★★★） PAGEREF _Tc30853 \h 5
\l "_Tc3898" 易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3898 \h 6
\l "_Tc2545" 易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★） PAGEREF _Tc2545 \h 7
\l "_Tc31677" 易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） PAGEREF _Tc31677 \h 8
\l "_Tc29001" 03 实战检测・易错通关验成效 PAGEREF _Tc29001 \h 9
1、不等式的性质
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
（1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
（2）基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）


易错归纳01 忽略不等式成立的前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）．
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．（24-25高三下·海南·月考）（多选题）已知，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知，则（ ）
A．B．
C．D．

易错归纳02 多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选题）已知且，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选题）已知实数满足，，则 （ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是

易错归纳03 分式不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·新疆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·山东聊城·二模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知集合 ，则 （ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·海南·月考）设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．

易错归纳04 一元二次不等式不等式恒成立、有解问题
【易错陷阱·避错攻略】
1．“不等式在上恒成立”的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·四川成都·月考）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．3C．D．6
5．已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）命题“”为假命题，则实数的范围为 .
7．（24-25高三上·北京海淀·月考）若命题“对任意为假命题的a的取值范围是

易错归纳05 含参一元二次不等式分类讨论不完整
【易错陷阱·避错攻略】
1．解下列关于的不等式．
2．解关于的不等式：．
3．（23-24高三上·福建莆田·月考）解关于的不等式：.
4．（24-25高三上·安徽铜陵·月考）设．
(1)若，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
5．若函数，
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)当时，求的解集.
6．解关于x的不等式.

易错归纳06 基本不等式忽略一正二定三相等
【易错陷阱·避错攻略】
1．（2025·山东菏泽·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高三下·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6D．若，则的最小值是8

1．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（ ）
（1）；
（2）上式当且仅当即时，等号成立；
（3）所以当时，取得最小值
A．以上全正确B．（1）错C．（2）错D．（3）错
4．（23-24高三上·天津滨海新·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·江苏·月考）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2B．当时，
C．当时，的最小值为2D．当时，
7．已知命题：，；：，.均为真命题，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．若满足，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24高三上·山东青岛·期末）若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．
11．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·月考）（多选题）下列命题中，正确的有（ ）
A．若，则B．若， 则
C．若，则D． 则
12．（24-25高三上·江西南昌·月考）（多选题）设，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
13．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．当且时，B．当时，
C．当时，的最小值为D．当时，无最小值
14．（23-24高三上·河南洛阳·月考）（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A． B． C． D．
15．设，那么的取值范围是 ．
16．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
17．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 .
18．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知关于的一元二次不等式的解集为
(1)求和的值
(2)求不等式的解集
19．若，解关于的不等式.
20．设函数
(1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
21．设关于x的二次函数．
(1)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
(2)解不等式；
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．
2、解决思路
一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
3、解决步骤
第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即．
第二步：列方程组，求出m，n的值.
第三步：分别求出和的取值范围．
第四步：求出的取值范围．
1、求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时范围不能变大、两边同乘（除）一个因式时要注意判断因式的符号等.
2、应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式．在此过程中，变形的等价性尤为重要．
1、解一元二次不等式的步骤：
第一步：将二次项系数化为正数；
第二步：解相应的一元二次方程；
第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；
第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
2、求解二次型不等式恒成立问题时要注意两个关键点：一看二次项的系数；二看不等式恒成立（有解）的区间.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤

注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算．
1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围.
注：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．
2、通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
3、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等.