2026年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量重难点培优04线线角、线面角、二面角的几何求法(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量重难点培优04线线角、线面角、二面角的几何求法(复习讲义)(学生版+解析)，共46页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 利用平行四边形平移求线线角（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 利用中位线平移求线线角（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 8
\l "_Tc26803" 题型三 补形法求线线角（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 10
\l "_Tc13512" 题型四 定义法求线面角（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 14
\l "_Tc3897" 题型五 等积法求线面角（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 19
\l "_Tc326" 题型六 定义法求二面角（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 22
\l "_Tc11957" 题型七 三垂线法求二面角（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 27
\l "_Tc17557" 题型八 射影面积法求二面角（★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 33
\l "_Tc28054" 题型九 垂面法求二面角（★★★） PAGEREF _Tc28054 \h 36
\l "_Tc8991" 题型十 补形法求二面角（★★★） PAGEREF _Tc8991 \h 38
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 43
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 43
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 62
一、线线角的定义与求解
线线角主要是求异面直线所成角
1、线线角的定义：
①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)
②范围：
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．
（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．
（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，
所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
二、线面角的定义与求解
1、直线与平面所成角的定义
如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
三、二面角
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

3、二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.


题型一 利用平行四边形平移求线线角
1．（2025·江苏南京·三模）在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接，得即为异面直线与所成的角，设，利用余弦定理可得答案.
【详解】连接，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以即为异面直线与所成的角或补角，
设，则，，
连接，则，因为，
所以平面，平面，所以，
，，
由余弦定理得.
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：D.
2．已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：

利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形，
即，
所以异面直线与所成的角的平面角即为，
不妨设正方体棱长为，易知；
取的中点为，连接，易知，
所以，
由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形，
所以，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
3．（24-25高三下·陕西咸阳·月考）在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中点，连接，可证明，进而可得是直线与所成的角，取的中点，连接，则，可求得，，可求直线与所成夹角的余弦值.
【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接，
又因为是的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，且，
所以与所成的角就是与所成的角，即．
因为是的中点，所以是四边形的中心，所以，
取的中点，连接，则，且，
在矩形中，，所以，则，
在中，，
所以在中，.
故选：B．
4．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求.
【详解】连接、，如下图所示：

因为、分别为、的中点，所以，且，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为为的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
故异面直线和所成角等于或其补角，
在菱形中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，
由余弦定理可得，
在中，，，，所以，，故，
所以，.
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：D.
5．在正四面体中，分别是棱中点，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把正四面体放置在一个正方体中，证得，得到异面直线与所成角，即为直线与所成角，设正方体的棱长为，在中，利用余弦定理，求得的值，进而得到答案.
【详解】把正四面体放置在一个正方体中，如图所示，
因为点分别是棱中点，
则在正方体中，分别为上下底面正方形的对角线的中点，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
则异面直线与所成角，即为直线与所成角，
设正方体的棱长为，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在中，可得，
因为，所以.
故选：A.


题型二 利用中位线平移求线线角
1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值.
【详解】若为中点，如下图，连接，则且，
所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角，
若正四面体的棱长为4，则，，，，
所以，
综上，直线和夹角的余弦值为.
故选：D
2．已知长方体的底面为正方形，分别为的中点，N为底面的中心，若为等边三角形，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用长方体中的线面垂直关系，结合平行线的性质，可作异面直线所成的平面角，结合勾股定理和余弦定理即可求解.
【详解】
取中点P，连接，则，
所以直线与所成的角等于直线与所成的角，即．
设，则，取上靠近D的四等分点Q，连接
且点M为的中点，Q为的四等分点，所以
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，，
因为为等边三角形，所以，又由，，
所以可以由勾股定理解得，，
在中，由余弦定理可得,
直线与所成角的余弦值为．
故选：C.
3．在正三棱台中，，，M为的中点，则直线AM与BC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，得到（或其补角）即为AM与BC所成角，并求出各边长，利用余弦定理进行求解.
【详解】如图，取的中点N，连接MN，AN，则，且，故，
故（或其补角）即为AM与BC所成角，
易得，，，，
延长，相交于点，
因为，所以均为等边三角形，
又，根据比例关系可知，且，
由余弦定理得，
故，
所以，
即直线AM与BC所成角的余弦值为．
故选：B

题型三 补形法求线线角
1．（24-25高三下·黑龙江·月考）在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可.
【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图，
易得，，
所以四边形为平行四边形，则，
则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角，
即为直线AN与CM所成角（或补角），
设正方体的棱长为2，则，，
在中，由余弦定理可得，，
因此直线AN与CM所成角的余弦值为.
故选：C.
2．（24-25高三上·河北·期末）如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知，将几何体补全为正八面体，得到且，即可确定异面直线的夹角.
【详解】延长，，，交于Q，易知：，
故是正八面体，故，，
∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.
故选：A
3．正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为 ．

【答案】/
【分析】在正方体右侧作出一个全等的正方体，从而得到与所成角，再利用余弦定理即可得解.
【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图，

易知，所以四边形是平行四边形，则，
所以是与所成角的平面角或补角，
不妨设正方体的棱长为，
则在正方体中，，
在中，，
在中，，
所以在中，，
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到与所成角的平面角，解决方法是在正方体右侧作出一个全等的正方体，由此得解.
4．（24-25高三下·重庆荣昌·月考）已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】空1：把三棱锥的外接球转化成长方体的外接球求解；空2：构造两条异面直线的所成角，利用余弦定理求夹角的余弦.
【详解】由题意可知都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示：
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线的中点，且，
即外接球半径，故该外接球的表面积；
补形如图，
作，故与所成夹角即为或的补角，
在中，易求，
则．
故答案为：；

题型四 定义法求线面角
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在正方体中，分别为棱，的中点.直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出线面角，解直角三角形求得线面角的最小值.
【详解】设是的中点，连接，
由于，所以平面，平面，，
且是直线与平面所成角.
设正方体的边长为，则，
所以.
故选：D
2．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面所成角的正切值约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画出示意图，然后找出侧棱与底面所成角，计算其正切值即可.
【详解】画出如图所示示意图，
设底面边长为，则塔高
所以侧棱与底面的角的正切值为
故选：A
3．（23-24高三下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在正三棱锥中，，点E是线段的中点，点F是棱上的一点，且，则直线与平面所成角的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正三棱锥的性质以及线面角的定义作出线面角的平面角，结合余弦定理以及勾股定理即可求得直线与平面所成角的正切值.
【详解】过点P向底面作垂线，垂足为O，连接，
过点F作，交于G，连接，
如图所示:
由题意可知且，
因为平面，所以平面，
则即为直线与平面所成角的平面角．
不妨设，则，所以，
则．
在中，由余弦定理可得，
在中，，
所以，
即直线与平面所成角的正切值是．
故选：A．
4．如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，，过点作于点，连接，先利用面面垂直的判定定理得平面平面，然后利用面面垂直的性质定理得平面，则为与平面所成角，根据线面垂直的判定及性质定理得，进而在直角三角形中求解即可.
【详解】由题意可知形成三棱锥，如图：
取的中点，连接，，过点作于点，连接，
因为，所以，，，
平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
又平面平面，，平面，所以平面，
故为与平面所成角，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，且，
因为，所以，又，
所以，在直角三角形中，，
所以与平面所成角的正弦值为.
故选：D
5．（25-26高三上·山西太原·月考）已知正四棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据体积公式，可求得正四棱台的高，作图可得，是与平面所成的角，分别求得各个边长，即可求得答案.
【详解】设棱台的高为，则，解得，
连接，交于点O，过作，垂足为，连接，，

由正四棱台性质可得，且平面，即，
所以是与平面所成的角.
因为在正四棱台中，，，则，，
所以，则，
所以在中，，
所以在中，.
故选：A.

题型五 等积法求线面角
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在三棱锥中，，，，则与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】/
【分析】作，连接，设，借助勾股定理可得，从而得面，最后利用等体积法得点到平面的距离为，即可得解.
【详解】作，连接，设，
则，
因为，所以，
根据余弦定理，
所以，即，
又面，
所以面，
设点到平面的距离为与平面的所成角为，
由，即，
，
所以与平面所成角的正弦值为．
故答案为：
2．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点均位于一个半径为的球的球面上，，，，平面经过点，则当的体积取最大值时，直线与平面所成角的正弦值为： .
【答案】/
【分析】利用球的性质和空间垂直关系，即可利用距离与斜线段之比为线面角的正弦值，进行求解即可.
【详解】由条件：在一个圆周上运动，由平面与平面固定，所以到平面的距离为定值，由，要使得最大，只需要最大，

由经过球心，所以的外接圆就是球的大圆，半径为，
由于，所以当时，最大，此时到的距离为：
，即最大面积为;
取为中点，连接，由于，所以由勾股定理可知：
，即为的外心，由球的性质可知：平面，
再取为中点，因为，所以，且经过点，
因为平面，所以平面平面，
在平面内，过作，因为平面平面，
所以平面，即，
则△∽△，，，
又，所以，可算得，
连， ，故：，
所以.
故答案为：.
3．已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接交于点，连接，即可证，利用线面平行的判断定理即可证明；
（2）先证平面，再由计算即可；
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，最后计算即可.
【详解】（1）连接交于点，连接，
因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点，
又，又平面，平面，
所以平面.
（2）由于，又是的中点，所以，
在正三棱柱中，平面，平面，所以，
又平面平面，
所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以，
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
由（2）有平面，又平面，所以，
因为，，所以，
又，即，解得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

题型六 定义法求二面角
【技巧通法·提分快招】
1．我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用定义作出二面角的平面角，在中利用余弦定理即可求解.
【详解】如图，

连接AC，BD交于点O，连接EF，依题意，EF过点O，取的中点，连接，，
由正八面体的几何特征，得，为二面角的平面角，
而平面，AC在面ABCD内，则，
是直角三角形，又，，则，，
在中，，同理，
在中，，
所以二面角的余弦值为.
故选：C
2．如图，在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，E，F分别为BC，PC的中点，且，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，利用几何法求出余弦值.
【详解】在三棱锥中AB，AC，AP两两垂直，，则平面，
取中点，连接，由为的中点，得，则平面，
平面，则有，过作于，连接，显然平面，
则平面，平面，于是，是二面角的平面角，
，由，解得，
又，在中，，则，，
所以二面角的余弦值为.
故选：B
3．（24-25高三上·河北保定·月考）已知正四棱台的体积为，底面边长，则侧面与底面所成二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取的中点分别为，过点作，证得且，得出为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，根据棱台的体积公式，求得棱台的高为，在直角中，即可求解.
【详解】如图所示，取正四棱台的上下底面中心为，
连接，则与正四棱台的上下底面垂直，即为棱台的高，设，
取的中点分别为，连接，
在直角梯形中，过点作交于点，
在等腰中，由，可得，
在等腰梯形中，由分别为的中点，可得，
所以为正四棱台的侧面与底面所成角的平面角，
因为且正四棱台的体积为，
可得，解得，即，
在直角中，可得，
所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值为.
故选：A.
4．如图，在空间四边形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角为直二面角，则二面角的正切值为 .
【答案】
【分析】过作于，取中点，为中点，连接，根据二面角为直二面角，得面，进而可得为二面角的平面角，求解即可.
【详解】过作于，
∵二面角为直二面角，
∴面，面，所以，
取中点，为中点，连接，则，
∵是正三角形，∴，∴，
面，面，，
所以面，面，得，
∴为二面角的平面角，
令，则，
∴，
∴在中,
即二面角的正切值为
5．如图，P为长方体的对角线上的一点，平面平面，若，则平面PAB与平面CAB夹角的正切值为 ．

【答案】2
【分析】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，，由平面平面，结合正方体的性质可得，方法一：作，垂足为，，垂足为，连接，可证得为平面与平面的夹角，然后在中求解即可，方法二：以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】设，O分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点，连接OP，，．
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以．
又，所以O，P，三点共线，因此．
方法一：如图，作，垂足为，，垂足为，连接，
因为平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，所以为平面与平面的夹角．

由，，可得，．
所以，即平面PAB与平面CAB夹角的正切值为2．

题型七 三垂线法求二面角
【技巧通法·提分快招】
1．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为AC的中点，将沿AC翻折使点D至点.
(1)求证：平面平面ABC；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；
（2）过作于点，过M作于点，连接，分析得即为二面角的平面角，由三棱锥体积求得，即可进一步由几何关系求得.
【详解】（1）证明：在菱形中，，∴和均为等边三角形，
又∵E为AC的中点，∴，，，平面，∴平面，
又∵平面ABC，∴平面平面ABC.
（2）过作于点，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.
∴.
过M作于点，连接，
∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，
∵平面，∴.
∴即为二面角的平面角，
，∴，，
∴，∴.
故二面角的余弦值为.
2．如图，在三棱锥中，是等边三角形，，，，，，分别，的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，根据几何关系证明平面；
（2）根据（1）的结果，利用垂直关系构造二面角的平面角，即可求解.
【详解】（1）因为是等边三角形，点是的中点，，
所以，且，
点分别是的中点，所以，
中，，且，，
所以，，
所以，即，
且，且平面，
所以平面，平面,
所以平面平面；
（2）中，，，，，
所以，
过点作，
因为平面平面，且平面平面；
所以平面，
作，连结，
因为平面，所以，
且，平面，
所以平面，平面，
所以，
则为二面角的平面角，
中，，
中，，
所以，，
所以二面角的余弦值为.
3．如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）法一：连接，由为的中位线，得，由线面平行的判定得证；法二：设中点为中点为，连接，由三角形的中位线得证四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定得证；
（2）由题意，推导出，由此可证明平面；
（3）由平面，得直线与底面所成的角为，得，设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接，由线面垂直的判定以及性质得是二面角的平面角，求解．
【详解】（1）证明：法一：连接，

在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，，
又平面平面，
平面；
法二：设中点为中点为，连接，

在中，因为为对应边上的中点，
所以为中位线，且，
同理，在中，且，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面平面，
平面；
（2）在四边形中，，
所以都为等腰直角三角形，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以直线平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面．
（3）直线与底面所成角的余弦值为，且平面，
直线与底面所成的角为，又，
则，
在中，，
，
设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接，

由（1）知，，且平面，
则平面，平面，，
平面，平面，
平面，，又，
则是二面角的平面角，
，
，
设二面角的平面角为，则二面角的正切值为．
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到是二面角的平面角，再结合解三角形知识即可顺利得解.

题型八 射影面积法求二面角
【技巧通法·提分快招】
1．如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据题意以及面面垂直的性质定理，可作出在平面内的射影，再利用摄影面积法求出二面角的余弦值，再根据所求角与二面角互补即可求得结果.
【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E点即为点A在平面内的射影，
∴ 为在平面内的射影，
设，则，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
设二面角为，∴ .
而二面角与互补，
∴二面角 的余弦值为.
故答案为：
2．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，求平面与平面所成二面角的大小．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，利用投影法从而可求解.
【详解】如图，
平面，平面，
，，
，，平面，
平面，又平面，所以，
又，且，平面，
平面，又因为，
所以平面.
在平面上的射影为，
设平面与平面所成二面角为，
，
.
故平面与平面所成二面角的大小为.

题型九 垂面法求二面角
【技巧通法·提分快招】
1．已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为 ．
【答案】
【分析】设平面交直线于点，连接，，可证得即二面角的平面角，在由余弦定理求出，即可求出二面角的大小．
【详解】解：设平面交直线于点，连接，，由于，，，，
故，，又，平面，
故平面，又，平面，故，，
所以为二面角的平面角，
由于，，，，故，，
故在四边形中，与互补，
又，，
在中由余弦定理，
即，解得，
又，所以，
故，则二面角的大小为．
故答案为：．
2．如图，已知二面角，且，，，C，D是垂足，平面PCD与AB交于点H．
(1)求证：AB⊥平面PCD；
(2)若PC＝PD＝CD＝1，试求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)120°
【分析】（1）先证得PC⊥AB．同理PD⊥AB，利用线面垂直的判定定理证得结论；（2）先证得∠CHD是二面角的平面角，然后在四边形PCHD中求得结果.
【详解】（1）证明：因为，，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．
又，故AB⊥平面PCD．
（2）∵P，C，D，H四点共面，所以由（1）可得AB⊥平面CDH，AB⊥DH，AB⊥CH，
∴∠CHD是二面角的平面角；
∴在四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝90°，又根据已知条件∠CPD＝60°；
∴∠CHD＝120°；
即二面角的大小是120°．
3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面底面，为正三角形，E是AB的中点，.

(1)求点C到平面的距离.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由面面垂直的性质证得，根据已知求，应用等体积法有，即可求点面距离；
（2）由面面垂直的性质证得，应用等面积法求到的距离，结合二面角定义求其正弦值，进而得余弦值.
【详解】（1）由题设，面面，面，面面，
所以面，面，故，即，
所以，而，，
中上的高，故，
令点C到平面的距离为，又，且，到面的距离为正三角形的高，
所以，可得，故点C到平面的距离为.
（2）由，面面，面，面面，
所以面，面，故，则，
又，故为等腰三角形，则上的高为，
令到的距离为，则，
由（1）知：点C到平面的距离为，
若锐二面角为，则，故，
所以二面角的余弦值为.

题型十 补形法求二面角
【技巧通法·提分快招】
1．如图，在正方体中，分别为、的中点，则平面与平面所成二面角的平面角的正弦值为 ．
【答案】
【分析】根据二面角的定义及正方体的性质找到平面与平面所成二面角的平面角，即可求二面角的正弦值.
【详解】设棱长为1，延长、、交于一点，
所以，，，则，故．
同理，则即为所求二角的平面角，而，
所以，其正弦值为．
故答案为：
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，二面角为直二面角．，，M，N分别为AP，AC的中点．求平面BMN与平面PCD夹角的余弦值．
【答案】
【分析】连接MF，ND，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理可得平面BMN与平面PCD夹角为，再由可得答案.
【详解】∵，，∴，
∵面面，面面，
又∵底面为正方形，
∴，，，
又面，则面PBC，故面PBC，面，
∴，且面ABCD为正方形，如下图，作，，连接MF，ND，
∴四边形、四边形为矩形，则，
∵M、N分别为AP和AC的中点，
∴B、M、F三点共线，B、N、D三点共线，
易知：面与面为同一个平面，且面面，
所以平面平面，
∵，，又面
∴面，结合，故面，
又面，则，在矩形中，
由面，面，故平面BMN与平面PCD夹角为，
∵，，，∴，
∴，
∴平面BMN与平面PCD夹角的余弦值为．
3．如图，已知正方体的棱长为，、分别为棱、的中点．
(1)证明：直线平面；
(2)设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)点到直线的距离为，二面角的余弦值为
【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；
（2）延长、交与点，连接，则直线即为直线，然后过点在平面内作直线，垂足为点，连接，推导出点为的中点，二面角的平面角为，计算出、，即可得解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
因为且，故四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，则，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
（2）解：延长、交与点，连接，则直线即为直线，
因为且，为的中点，则，
故点为的中点，为的中点，
在中，，，，
由余弦定理可得，则，
，则，
过点在平面内作直线，垂足为点，连接，
，所以，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，故二面角的平面角为，
且，故点到直线的距离为，
，因此，二面角的平面角的余弦值为.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．如图，设地球半径为，点在赤道上，为地心，点在北纬的纬线（为其圆心）上，且点共面，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】延长交球于点，连接，作出和所成角的平面角，在中，应用余弦定理求出，进而得到答案.
【详解】如图，延长交球于点，连接，则，
所以.又，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是和所成的角或其补角，
在中，，所以.
在中，，所以.
所以在中，.
故选：A.
2．空间四边形中，，，分别是与的中点，则异面直线，所成角的余弦值大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，设为的中点，连接、，分析可知为异面直线和所成的角（或补角），求出的三边边长，结合余弦定理求解即可.
【详解】如图：连接，设为的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，所以且，
所以为异面直线和所成的角（或补角），
因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以，
所以，同理可得，
所以，，
，
在中由余弦定理可得：，
因此，异面直线和所成角的余弦值为.
故选：C
3．如图，在正三棱柱中，，为的中点，则二面角的大小为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别取的中点，连接，可得即为二面角的平面角，从而可求出其值.
【详解】如图，分别取的中点，连接．
由三棱柱是正三棱柱可得，
从而四点共面且平面，
因为平面，所以．
因为是等边三角形，故．
又平面，平面，且，
所以平面，故，
所以即为二面角的平面角．
设，则，，
所以，
因为为锐角，所以，
所以，
所以二面角的大小为.
故选：C．
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）在正三棱台中, 分别为棱的中点，，四边形为菱形，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先作出与平面所成角，再利用解三角形即可求得与平面所成角的正弦值.
【详解】取中点，连接,分别在线段上
取，连接.
则在正三棱台中， 分别为的中心，
且平面，平面,.
则平面平面，则即为与平面所成角.
令，由正三棱台中，
可得，
又四边形为菱形，则，,,
则，
则
故选：B
5．（2025·河北·模拟预测）如图正三棱柱底面边长为2，高为6，点分别在棱上，且，若平面恰好将正三棱柱体积均分，则平面和平面夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先分析可得点为的中点，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，利用勾股定理逆定理得到，即可证明平面，则为平面和平面夹角，最后由锐角三角函数计算可得.
【详解】因为，即，，
又平面恰好将正三棱柱体积均分，所以点为的中点，
延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
因为，，，，，
所以，即，解得，所以；
，即，解得，所以，
在中由余弦定理
，
所以，
所以，即，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以为平面和平面夹角，又，
所以，
即平面和平面夹角的余弦值为.
故选：A
6．（多选题）如图所示，为正方体，以下四个结论中正确的有（ ）
A．平面
B．直线与BD所成的角为60°
C．二面角的正切值是
D．与底面ABCD所成角的正切值是
【答案】AB
【分析】根据线面垂直的判定定理可判断A；利用，可将异面直线的夹角转化为平面角；利用面积投影法求出二面角判断C；根据线面角定义找出线面夹角求正切判断D.
【详解】如图，
因为正方体中对角线在平面上的射影为，而，，，所以平面，所以，同理可得，又，可得平面，故A正确；
因为，所以直线与BD所成的角为直线与所成的角，即为所求，又正方体中为正三角形，所以，故B正确；
因为在上底面的射影三角形为，
所以二面角的余弦为，所以，故C错误；
因为平面ABCD，所以与底面ABCD所成角为，
所以，故D错误.
故选：AB
7．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ．
【答案】/
【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可.
【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：

因为，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角，
不妨设，
因为，所以，
所以为等边三角形，所以，，
所以，
因为为边长为的等边三角形，所以，
又因为，
所以在中，由余弦定理可得，
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
8．（23-24高三上·河南鹤壁·期中）如图，在正三棱柱中，，，则直线与直线所成角的正切值为 ．
【答案】/
【分析】根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.
【详解】在正三棱柱中，连接交于O点，取的中点F，连接OF，
显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，
在中，，，，
，，
所以直线与直线所成角的正切值为.
故答案为：
9．如图，在正四棱锥中，二面角的平面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于 ．
【答案】
【分析】设中点为，中点为，中点为，连接，，，将所成角转化为所成角，即计算即可．
【详解】如图：
设中点为，中点为，中点为，连接，，，
分别是的中点，且，
又为正四棱锥，且，且，
四边形是平行四边形，，所成角即为.
因为，，所以为二面角的平面角.
由二面角的平面角的余弦值为，可得，
不妨设底面的边长为2，则，，
，是等边三角形，
，同理，，
在中，由余弦定理得．
故答案为：
10．在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是 ．
【答案】
【分析】设，结合等积法，可求出当的体积最小时，，分别是所在棱的中点；法一，根据，可求出点到平面的距离为，结合直线与平面所成角的集合法即可求解
【详解】设，则
．
由等体积法，得
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当的体积最小时，，分别是所在棱的中点．
方法一 易知，，．由余弦定理，得
，所以，
所以．
设点到平面的距离为．根据，
得，解得．
所以与平面所成角的正弦值为．
11．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知是线段上的点， 且则二面角的正切值为
【答案】
【分析】利用空间垂直关系作出二面角的平面角，再结合勾股定理和正切函数可求得正切值.
【详解】
由已知是线段上的点， 且
利用勾股定理可得：，
由余弦定理可得：，
过点作，连接，由底面，
底面，所以有，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
故就是二面角的一个平面角，
而，则，
则，
所以二面角的正切值为，
故答案为：
12．如图，在三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，平面，，则直线与平面所成角的正弦值为 ．

【答案】/
【分析】解法1：取的中点，过点作，求证即为直线与平面所成的角计算即可；解法2：等体积求出点到平面的距离即可.
【详解】解法1：如图，取的中点，连结，过点作交于点，连结．

因为是正三角形，所以，
因为平面，平面，所以，，
又平面，平面，且，所以平面，
因平面，故平面平面，
又因平面平面，平面，，则平面，
所以即为直线与平面所成的角，
由已知可得，在中，，
从而由等面积得，所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
解法2：因平面，平面，所以，，
因，，则，
故等腰底边上的高为，则，
又，
设点到平面的距离为，与平面所成的角为．
由即，得，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：
13．在三棱台中，，，且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直得到平面，确定，再证明得到平面，得到答案.
（2）设，连接，故二面角的平面角为，计算，得到答案.
【详解】（1）平面平面，平面平面，，
平面，故平面，平面，故，中点为，连接，，则，，
，则，，，
故四边形为矩形，
，，，
故，即，
，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
（2）设，连接，平面，面，故，
又因为，所以二面角的平面角为，
，，
平面，平面，所以，
在中，，解得，从而，故二面角的正弦值为.
14．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的四面体中，平面，平面平面．
(1)试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由；
(2)若分别是棱的中点，且，二面角的余弦值为，求四面体的全面积．
【答案】(1)该四面体是鳖臑，理由见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质定理分别判断，，，均为直角三角形，从而证明结论；
（2）设中点为，连接，先证明二面角的平面角为，从而求得四面体的各棱长，计算各侧面的面积从而求得四面体的全面积.
【详解】（1）该四面体是鳖臑，理由如下：
平面，平面，，，
，均为直角三角形，
过点作于点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
又平面，，，
，均为直角三角形，
，，，均为直角三角形，该四面体为鳖臑.
（2）设中点为，连接，
分别为的中点，是的中位线，，
平面，平面，平面，，
又是的中点，均为直角三角形，，
是等腰三角形，，从而二面角的平面角为，即，
分别为的中点，是的中位线，，
又平面，平面，平面，，
则，解得，，
，又，，
，，
四面体的全面积.
15．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可；
（2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可；
（3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得.
【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，

因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形，
所以四边形为矩形，
故为的中点，又因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）由，为的中点，得，
又因为四边形是正方形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面， 又因为平面，所以，
又因为，平面，
所以平面．
（3）如图，取为的中点，
由，得，
又因平面平面，平面平面，平面，
平面，
作，垂足为，连接，

由，，所以，
因为平面，
所以平面，又平面，则，
所以就是二面角的平面角，
在中，，，得，
所以，
故所求二面角的余弦值为．
16．《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥中，平面.

（1）从三棱锥中选择合适的两条棱填空：________________，则三棱锥为“鳖臑”；
（2）如图，已知，垂足为，，垂足为，.
（i）证明：平面平面；
（ii）设平面与平面交线为，若，，求二面角的大小.
【答案】（1）或或或；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据“鳖臑”的概念，由题意，由线面垂直的判定定理和性质，直接补充条件即可；
（2）（i）根据线面垂直的判定定理，先证明平面，平面，推出，；再得到平面，根据面面垂直的判定定理，即可证明面面垂直；
（ii）先由题意，设，连结，则即为，根据线面垂直的判定定理和性质，证明即为二面角的一个平面角，再由题中数据，直接计算，即可得出结果.
【详解】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又平面，所以，，；即，为直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）证明：
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（ii）由题意知，在平面中，直线与直线相交.
如图所示，设，连结，则即为.
∵平面，平面，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，.
∴即为二面角的一个平面角.
在中，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的大小为.

【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求二面角的大小，熟记线面垂直与面面垂直的判定定理，以及二面角的求法即可，属于常考题型.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三下·湖南长沙·月考）如图，水平放置的正方形的边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转，得到正方形，则平面与平面所成的角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将正方形放于两个全等正方体的公共面上，根据旋转的情况结合正方体的结构特征，计算所求二面角.
【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，
正方形ABCD和正方形的位置如图所示，
连接，如图所示，
平面与平面平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，
平面，平面，，
正方形中，，
平面，，平面，
同理平面，
平面与平面所成的锐二面角，等于直线AP与AN所成的角，
由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为.
故选：C.
2．如下图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据射影面积法找到平面ABCD，平面，平面所成的锐二面角的关系，进而求的结果.
【详解】如图，作，．
在平面内，由平面．
在平面内，由面．又因为与全等，
设平面ABCD为平面α，平面为平面β，平面为平面γ.
由面积射影定理知：，
同理可得，
所以，故有．
故选：B.
【点睛】射影面积法求二面角大小的方法点睛：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式，求出二面角的大小.
3．（2024·河北·模拟预测）已知四面体中，，过点的其外接球直径与、夹角正弦值分别为、，则与夹角正弦值为 .
【答案】/
【分析】由题意，将四面体放在长方体中，则即为长方体的体对角线，设，再结合已知即可得解.
【详解】由题意，将四面体放在长方体中，如图所示，
则即为长方体的体对角线，
设，
则，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为与、夹角正弦值分别为、，
所以，
而，
即，所以，
即，
所以与夹角正弦值为.
故答案为：.
4．如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且.
(1)若平面，求值；
(2)若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理得到，进而说明为中点；
（2）延长，与的延长线交于点，作出二面角的平面角，然后根据解三角的知识求解.
【详解】（1）如图，取的中点，连结，,
因为分别是、的中点，且，所以，,
因为平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，故.
（2）延长梯形的两腰交于，连，
因为平面，过作于，连，
则，所以是平面与平面的夹角，
所以，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
所以．在中，，由余弦定理，得
，
.
因为，
所以，
因为，化简整理得，解得，
且．
所以，．
5．在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH.
(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较θ和的大小；
(3)如图3，已知AB=10，AP=8，BC=12，M为平面PBC内一点，且AM=8，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）取的中点为，连接，利用线面垂直的判定和性质推理即得结论.
（2）过点向作垂线，垂足为点，利用线面垂直的性质，结合直角三角形边角关系及余弦函数性质推理即得结论.
（3）利用（1）的信息，结合等体积法求出点到平面的距离，进而求出线面角，再利用（2）的结论求出最小值.
【详解】（1）取的中点为，连接，
由，为的中点，得，
由，为的中点，得，
而，平面，则平面，
又平面，所以.
（2）因为点P在平面ABC内的投影为H，所以平面，
平面，则，由（1）知，
又，平面，于是平面，
而平面，因此，又，为锐角，
过点向作垂线，垂足为点，连接，则，
由点P在平面ABC内的投影为H，，得，
由平面，平面，得，
而，，平面，则平面，
由平面，则，于是，显然，
因此，当时，重合，等式成立，
所以，由，得，
又函数在上单调递减，所以；
（3）设点到平面的距离为，直线与直线的夹角为，
直线与平面的夹角为，
由（1）知，
，，
，
设到平面的距离为，所以，
由，得，解得，又，
所以，即，
由（2）知，直线AM与直线BC夹角，
所以异面直线AM与直线BC夹角的最小值为.
（1）先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面做垂线，确定垂足O；
（2）连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；
（3）把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。
用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=ℎl，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律
（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，
在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角
三垂线法（面上一点双垂线法）
（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
1、方法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为S射影，
平面和平面所成的二面角的大小为，则csθ=S射影S.
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
2、以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。
A
B D C
证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.
于，，
在内的射影为.
又，
（三垂线定理的逆定理）.
为二面角—BC—的平面角.
设△ABC和△的面积分别为S和，，则.
.
垂面法（空间一点垂面法）
（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
（2）具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，
面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的射影面积法解题