2026年高考数学一轮复第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(综合训练)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(综合训练)(全国通用)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了已知随机变量的分布列如下，已知m，且，则下列等式正确的是，已知随机变量，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为，，，的个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为，，的小正方形涂相同的颜色，则共有（ ）种涂法，
A．B．C．D．
2．已知两个随机事件A和B，其中，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．小明打算在周末约自己的crush一起出去玩.他精心准备了三种不同的约会方案：方案A（去游乐园）、方案B（看新上映的电影）、方案C（去郊外野餐）.为了增加约到同学的成功率，小明决定每天随机选择一种方案去邀请同学，且选择每种方案的可能性均等.已知小明计划连续邀请同学3天（每天独立选择方案），那么在这3天中，恰好有2天选择同一种约会方案（这2天方案相同，另1天方案不同）的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（ ）．
A．与为对立事件B．与为相互独立事件
C．与为相互独立事件D．与为互斥事件
5．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（ ）
A．1B．3C．5D．7
6．已知随机变量的分布列如下（），则（ ）
A．若一定，随的增大先减小后增大
B．若一定，随的增大而减小
C．若一定，随的增大先增大后减小
D．不论，取何值，恒成立
7．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（ ）
A．B．若某天只有34min可用，李明应选择自行车
C．D．若某天只有40min可用，李明应选择公交车
8．甲、乙两人玩游戏，对于给定的实数，按下列方式操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的骰子，如果出现两个奇数点朝上或两个偶数点朝上，则把乘以2后再减去6，如果出现一个奇数点朝上，一个偶数点朝上，则把除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数．对实数仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数，当时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则的取值范围是（ ）
A．或B．C．或D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，且，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：．2025贺岁档电影精彩纷呈，小明同学家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（ ）
A．第二天去甲影院的概率为0.54
B．第二天去乙影院的概率为0.44
C．若第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为
D．若第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中的系数是 ．（结果用数字作答）
13．如图所示，墙上挂着两串礼品，甲、乙、丙、丁四人依次挑选礼品，每次只能从一串礼品的最下端取一件礼品，已知礼品最好，那么取得礼品可能性最大的是 ．
14．在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
某停车场临时停车按时段收费，标准为：每辆车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时按8元收费（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人临时停车，两人停车都不超过4小时．
(1)若甲停车不超过1小时的概率为，停车费超过14元的概率为，求甲停车1小时以上且不超过2小时的概率；
(2)若每人停车的时长在每个时间段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和超过36元的概率．
16．（15分）
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
17．（15分）
某商场为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送大奖”的活动，游戏规则如下：棋盘上从左到右共有16个格子，依次标有数字0~15，每个参赛者的起始点都在“0”处，游戏过程中参赛者需要通过掷骰子来决定棋子移动的格子数，若掷出的点数不超过4，则向右移动1格，否则向右移动2格，每位参赛者最多掷10次骰子，每次掷骰子的结果互不影响，10次内移动到终点则可获得奖品．记棋子移动到“”处的概率为．
(1)当掷骰子4次时，求；
(2)记，证明数列是等比数列．
18．（17分）
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案.
(1)若甲的消费金额为288元，他选择方案二且抽到的代金券总额为8元的概率为，求p；
(2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当最大时，求p；
(3)若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案.
19．（17分）
某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ.
(1)求θ（结果用p表示）；
(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题：
（ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）；
（ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）.
0
1
2
0.2