2026年高考数学一轮复习解答题突破函数与导数(专项训练，15大题型高分必刷)(原卷版+解析)

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题型一 ： 导数的切线方程以及切线条数问题
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数，其中.
(1)若曲线在处的切线过原点，求的值.
(2)当时，
①判断过点的切线条数，直接写出结果；
②判断过点的切线条数并说明理由.
（25-26高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数.
(1)求在区间上的最值；
(2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.
题型二：利用导数研究函数的单调性（不含参）以及利用单调性求参数
（25-26高三上·四川内江·开学考试）已知函数，为的导函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，
（i）求的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
1．（安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期9月开学考试数学试卷）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围．
题型三：利用导数研究函数的单调性问题（含参）
（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由.
1.（2025·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的值；
(3)若，证明：．
3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
题型四：利用导数研究函数的最值
（2025高三下·全国·专题练习）已知函数在上单调递增.
(1)求a的值；
(2)解不等式（为函数的导函数）；
1.（25-26高三上·辽宁·开学考试）已知函数在上单调递增.
(1)求的值；
(2)设，证明：存在最小值且最小值小于1.
题型五：利用导数研究极值点问题
（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围．
1．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论函数在上的单调性；
(3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围.
2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围．
题型六：利用导数证明不等式
（2025·安徽·模拟预测）已知函数.
(1)若，求函数在上的最值；
(2)若，对，求证：；
(3)若是函数的极小值点，求的取值范围.
1.（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，证明：．
2（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有最大值且为.则求的值.
3．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数．
(1)解不等式：；
(2)设．
①证明：时，函数有最小值；
②若恰有一个极值点，求实数的取值范围．
题型七：利用导数研究不等式恒成立问题
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间；
(2)若对成立，求实数k的取值范围．
1．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数
(1)讨论的单调性，并求相应极值.
(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
题型八：利用导数研究能成立问题
（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数，其中．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
1.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数在上的最值
(2)若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围．
题型九：利用导数研究函数的零点
（25-26高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上有零点，求的取值范围.
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，记的导函数为.
(1)当时，求的零点个数；
(2)若是定义域上的增函数，求的最小值；
(3)若使，求的取值范围.
题型十：利用导数研究双变量问题
（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数．
(1)求函数在上的最值及其零点个数；
(2)若对于任意的，均有，求的取值范围．
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围．
题型十一：利用导数研究端点效应问题
（2025高三·全国·专题练习）设函数．
(1)当时，若函数有2个极值，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数的最小值为4，求实数的值；
(3)当时，求证：总存在实数，当时，．
（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知实数，设．
(1)若，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围．
题型十二：利用导数通过同构研究函数问题
（2025高三·全国·专题练习）已知函数，.
(1)解不等式：；
(2)函数，求的零点个数；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
1.（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）设函数．
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)，是否存在，使得曲线在点处的切线与至少有2个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数.
(1)求函数在上的单调递减区间；
(2)当时，，求的最大值；
(3)证明：方程在上有唯一实数解.
题型十三：极值点偏移问题
（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
1.（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 有两个极值点 且 .
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明: .
2.．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若有两个不同的零点．
(1)求实数的取值范围；
(2)求证：．
3．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数，其中．
(1)求的单调区间；
(2)若函数有两个不相等的零点．
①求实数a 的取值范围；
②证明：
题型十四：隐零点问题
1．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若的极小值小于，求m的取值范围；
(3)当时，证明：有2个零点．
（2025·河南·模拟预测）已知函数．
(1)若，求在上的最值．
(2)若且，关于的方程在上仅有一个实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）求的最大值．
题型十五：利用导数研究方程的根
（25-26高三上·河南新乡·开学考试）已知函数.
(1)若关于的方程有唯一实数根，求实数的值；
(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
1．（24-25高二下·天津滨海新·期中）已知函数，满足.
(1)求实数的值；
(2)求的单调区间和极值.
(3)方程无实数根， 求实数的范围.

1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当，恒成立，求的取值范围．
2．（2025·甘肃·模拟预测）已知函数的极小值为．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且存在，使得成立，求实数b的取值范围．
3．（2025·北京海淀·三模）已知．
(1)当时，求函数的极值点和极值；
(2)时，求函数在上的最小值；
(3)若不等式的解集非空，求a取值范围．
4．（2025·山东日照·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若方程有3个不同的实数解，求a的取值范围．
5．（2025·江西萍乡·二模）已知函数．
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围．
6．（2025·广东茂名·二模）已知为常数，且．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若方程有且仅有2个不等的实数解，求的值．
7．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
(1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
(2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
①求的取值范围；
②若，证明：．
8．（2025·天津南开·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若方程有两个不同的实数解，证明：．
9．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值．
10．（24-25高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求函数在的最大值和最小值；
(3)若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
11．（2025·湖北·二模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
12．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，且在处取得极值．
(1)求m的值及的单调区间；
(2)若存在，使得，求实数a的取值范围．
13．（2025·湖南·三模）已知函数，．
(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若为函数的极值点，求a的值；
(3)设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围．
14．（2021·吉林长春·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若在上有解，求实数的取值范围．
15．（2026高三·全国·专题练习）设函数，．
(1)求证：当时，；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围．
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．
(1)求的最大值；
(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；
(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．
2．（2025·天津·高考真题）已知函数
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，且.
（i）求a的取值范围；
（ii）证明．
3．（2025·上海·高考真题）已知．
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．
(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设分别为在区间的极值点和零点.
（i）设函数.证明：在区间单调递减；
（ii）比较与的大小，并证明你的结论．
5．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值；
（2）给定和，证明：存在使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
6．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
8．（2024·天津·高考真题）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意成立，求实数的值；
(3)若，求证：．
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
根据求切线方程构造函数切线方程
当切线条线为三条时，切线方程有三个零点
当切线条线为三条时，切线方程有两个零点
当切线条线为三条时，切线方程有一个零点
3.根据方程和零点之间的关系求参数的取值范围
求导
令导函数等于0
导函数大于0的函数区间为函数的单调递增区间，导函数小于0的函数区间为函数的单调递减区间
含参数单调性讨论：
1.求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
2.变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
3.恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
4.根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
5.判断定义域是否符合取值范围
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．
一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：
（1）求在内的极值（极大值或极小值）；
（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
解题步骤：
求导
判断单调区间
根据函数的单调性确定函数的最值，从而求参数的取值范围
求可导函数极值的一般步骤
1.先确定函数的定义域；
2.求导数；
3.求方程的根；
4.检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值.
5.通过函数的极值点个数问题求参数的取值范围
利用导数证明或判定不等式问题
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
恒成立问题：
设函数的值域为或，或或中之一种，则
①若恒成立（即无解），则；
②若恒成立（即无解），则；
解题步骤：
求导判断单调性
分离参变量或者分类讨论
①常规法分离参数：如；
②倒数法分离参数：如；
注意：【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】
③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如；
⑤不完全分离参数法：如；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
导数能成立问题知识点：
若有解（即存在使得成立），则；
若有解（即存在使得成立），则；
若有解（即无解），则；
若无解（即有解），则．
求导判断单调性
分离参变量或者分类讨论
通过能成立问题相关知识点进行求解参数的取值范围
求导，判断函数单调性
通过函数单调性和函数性质确定零点个数以及通过零点个数求参数的取值范围
1.求导，判断函数单调性
2.通常通过其中一个变量的取值范围来判断另一个变量的取值范围
利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步
①利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件
②利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调
③若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件
利用以下函数同构问题进行构造
1、积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
2、商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
3、和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
比如令，得．
然后根据导数的定义和性质进行求解。
若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.
（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；
假设此处在上单调递减，在上单调递增.
（2）构造；
注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.
（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；
假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.
（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；
接上述情况，由于时，且，，
故，
又因为，且在上单调递减，
从而得到，从而得证.
（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.
1、隐零点的处理思路
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
2、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作
分离参数构造出相关的方程
通过讨论函数单调性判断参数的取值范围