2026届高三数学二轮复习专题突破课件：专题二 数列 微专题5　等差数列、等比数列

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【考情提示】1.等差数列、等比数列是高考的热点,主要考查等差数列与等比数列的基本运算和性质,常以选择题、填空题的形式考查.2.等差数列、等比数列的判断与证明也是高考的热点,常以综合解答题第一问的形式考查.
1.牢记概念与公式等差数列、等比数列(其中n∈N*)
2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{an}的常用性质
(2)判断等差或等比数列的常用方法
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法.
对|点|自|测1.已知数列{an}满足an+1=3an+2,则“a1=−1”是“{an}是等比数列”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【方法提炼】等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手,选择恰当的性质进行求解.(2)用性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题.
【方法提炼】等差、等比数列综合问题的求解策略(1)把数列看成特殊的函数,利用函数的图象、性质求解.(2)转化以函数为背景的条件时,应注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是非常容易忽视的问题.(3)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
【多维变通】变式❶ 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,2Sn=2nan−n2+n.(1)求数列{an}的通项公式;【解析】(1)依题意2Sn=2nan−n2+n,①当n≥2时,2Sn−1=2(n−1)an−1−(n−1)2+n−1,②.①②两式相减得2an=2nan−2(n−1)an−1+2−2n,即(n−1)(an−an−1−1)=0,因为n≥2,所以an−an−1−1=0,即an−an−1=1,所以{an}是公差为1的等差数列,又a1=1,故数列{an}的通项公式为an=n.
(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bm}的前100项和S100.【解析】(2)规律探索由于21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,所以b1对应的区间为(0,1],则b1=0;b2,b3对应的区间分别为(0,2],(0,3],则b2=b3=1,即有2个1;b4,b5,b6,b7对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],则b4=b5=b6=b7=2,即有22个2;b8,b9,…,b15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],
则b8=b9=…=b15=3,即有23个3;b16,b17,…,b31对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31],则b16=b17=…=b31=4,即有24个4;b32,b33,…,b63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63],则b32=b33=…=b63=5,即有25个5;b64,b65,…,b100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b64=b65=…=b100=6,即有37个6.所以S100=1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37=480.
【加练备选】设[x]表示不超过x的最大整数(例如:[3.5]=3,[−1.5]=−2),则[lg21]+[lg22]+[lg23]+…+[lg22 046]=(　　)A.9×210−8B.9×211−8C.9×210+2D.9×211+2
【解析】选B.当2n≤x