2.7 匀变速直线运动平均速度公式和位移差公式的应用-2026年新高一暑假初高中物理衔接（大单元版）

第二章 匀变速直线运动的研究2.7匀变速直线运动平均速度公式和位移差公式的应用1.如图1所示，如果匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，这段时间中间时刻的瞬时速度为，试推导eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)＝.图1答案　方法一　解析法在匀变速直线运动中，对于这段时间t，其中间时刻的瞬时速度＝v0＋eq \f(1,2)at，该段时间的末速度v＝v0＋at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0t＋\f(1,2)at2,t)＝v0＋eq \f(1,2)at＝eq \f(2v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v0＋at,2)＝eq \f(v0＋v,2)＝，即eq \x\to(v)＝eq \f(v0＋v,2)＝.方法二　图像法这段时间位移x＝eq \f(v0＋v,2)t平均速度eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋v,2)中间时刻的瞬时速度对应梯形中位线高，故＝eq \f(v0＋v,2)2. 试证明匀加速直线运动中的位移差公式：如图，物体做匀加速直线运动，经过A，B，C三点，通过AB和BC的时间均为T，请证明位移差公式：，其中：a为加速度，，。【答案】见解析【解析】根据题意，设物体在点速度为，由位移与时间的关系有解得与的位移差为一、匀变速直线运动的平均速度公式1．平均速度公式：eq \x\to(v)＝＝eq \f(v0＋v,2)(1)匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半．(2)若同时涉及位移与时间而不涉及加速度，选用平均速度公式及中间时刻瞬时速度公式＝eq \f(x,t)，eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(x,t).2．三个平均速度公式的比较eq \x\to(v)＝eq \f(x,t)适用于任何运动；eq \x\to(v)＝eq \f(v0＋v,2)及eq \x\to(v)＝仅适用于匀变速直线运动．二、位移差公式Δx＝aT21．内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个常量，即Δx＝aT2.2.推导：如图2，x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2，x2＝v0·2T＋eq \f(1,2)a(2T)2－(v0T＋eq \f(1,2)aT2)＝v0T＋eq \f(3,2)aT2，所以Δx＝x2－x1＝aT2.图23．应用(1)判断物体是否做匀变速直线运动如果Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动．(2)求加速度利用Δx＝aT2，可求得a＝eq \f(Δx,T2).例题1. 某跳伞运动员做低空跳伞表演。从该运动员离开悬停的飞机开始计时，运动员先做自由落体运动，当速度达到时打开降落伞，此后做匀减速直线运动，加速度大小为，到达地面时速度为5m/s，重力加速度。下列说法正确的是（　　）A．运动员在1s内、2s内、3s内的位移大小之比为B．运动员在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度大小之比为C．运动员在1s末、2s末、3s末的速度大小之比为D．运动员距离地面91.25m时打开降落伞【答案】C【解析】A．运动员从开始跳伞到打开降落伞的时间为若运动员在3s内一直做自由落体运动，则根据可知运动员在1s内、2s内、3s内的位移大小之比为，但因运动员在第3s内的后0.5s不是自由落体运动，可知运动员在1s内、2s内、3s内的位移大小之比不等于，选项A错误；B．若运动员在3s内一直做自由落体运动，运动员在第1s内、第2s内、第3s内的位移之比为1:3:5，则平均速度大小之比为1:3:5；但因运动员在第3s内的后0.5s做匀减速运动，则第3s内的位移比值小于5，则平均速度之比不等于，选项B错误；C．运动员在1s末、2s末、3s末的速度大小之比为选项C正确；D．根据解得运动员距离地面60m时打开降落伞，选项D错误。故选C。对点训练1. 如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，进站前连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离等于RS间距离，RS段的平均速度是12m/s，ST段的平均速度是6m/s，则公交车经过S点时的瞬时速度为（　　）A．11m/sB．10m/sC．9m/sD．8m/s【答案】B【解析】由题知，电动公交车做匀减速直线运动，两段距离相等，平均速度是2倍的关系，设所用时间分别为t、2t，平均速度等于中间时刻瞬时速度，速度从12m/s减到6m/s所用时间为1.5t，因此在0.5t时间内速度减小2m/s，公交车经过S点时的瞬时速度为故选B。例题2. 一物体做匀加速直线运动，第2s内的位移是4m，第3s内的位移是6m，下列说法中正确的是（    ）A．1s末至3s末这两秒内物体的平均速度是5m/sB．2.5s末物体的瞬时速度是5m/sC．物体的加速度是D．第4s内物体的位移是10m【答案】A【解析】由于物体做匀加速直线运动，设其初速度为，加速度为，根据匀变速直线运动的规律可得A．第内的位移，可得末物体的速度为所以物体的初速度故物体末和末的速度分别为故物体末和末的平均速度为A正确；B．的瞬时速度B错误；C．根据以上分析可知，物体的加速度为，C错误；D．由可得即第内的位移为，D错误。故选A。对点训练2. 如图所示，一滑块（可视为质点）沿光滑斜面下滑，滑块依次经过斜面上的A、B、C、D四点，已知滑块通过AB、BC、CD的时间分别为T、2T、3T，其中AB的长度为，CD的长度为L，则BC的长度为（　　）A．B．C．D．【答案】B【解析】设的长度为，由匀变速直线运动规律可得滑块在通过的中间时刻的瞬时速度为滑块在通过的中间时刻的瞬时速度由的中间时刻到的中间时刻对应的时间，解得。故选B。一、匀变速直线运动平均速度的灵活应用1.巧妙选取初末时刻和中间时刻2.结合图像面积和平均速度公式求解例题3. 2023年8月株洲清水塘大桥正式通车，大桥全长2.85千米，如图甲所示。图乙中A、B、C、D为大桥上的四根竖直钢丝绳吊索，相邻两根吊索之间的距离均为s。做匀加速直线运动的汽车从水平桥面上通过，通过AC的时间是通过CD的时间的4倍。若通过CD的时间为t，汽车可看成质点，则汽车的加速度大小为（　　）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可得汽车通过AC段的平均速度大小为通过CD的平均速度大小为根据匀变速直线运动的规律：某段时间中点的瞬时速度等于该段时间内的平均速度。结合速度时间公式可得解得故选D。对点训练3. 如图（a）所示，2023年杭州亚运会田径赛场上，工作人员利用电子狗捡铁饼和标枪，这在世界上尚属首次。电子狗在一次捡铁饼的过程，速度时间图像如图（b）所示，其中2~10s为曲线，其余为直线。下列说法正确的是（　　）A．2~10s时间内，电子狗做匀加速直线运动B．0~10s时间内，电子狗的平均速度大小为3m/sC．16s时，电子狗距离出发点最远D．12s时，电子狗开始反向运动【答案】C【详解】A．图像切线的斜率表示加速度的大小和方向，2~10s时间内，切线的斜率减小，加速度减小，所以电子狗做加速度减小的加速直线运动，A错误；B．图像的面积表示位移，0~10s时间内，电子狗的位移x大小0~10s时间内，电子狗的平均速度大小0~10s时间内，电子狗的平均速度大小一定大于3.9m/s，B错误；CD．速度始终为正值，表明电子狗一直向正方向运动，所以16s时，电子狗距离出发点最远，C正确，D错误。故选C。逐差法求加速度1．纸带上提供的数据为偶数段．(1)若已知连续相等时间内的两段位移．由x2－x1＝aT2，得a＝eq \f(x2－x1,T2)(2)若已知连续相等时间内的四段位移．可以简化成两大段AC、CE研究xⅠ＝x1＋x2xⅡ＝x3＋x4tAC＝tCE＝2Ta＝eq \f(xⅡ－xⅠ,2T2)＝eq \f(x3＋x4－x1＋x2,4T2)(3)若已知连续相等时间内的六段位移可以简化成两大段AD、DG研究xⅠ＝x1＋x2＋x3xⅡ＝x4＋x5＋x6a＝eq \f(xⅡ－xⅠ,3T2)＝eq \f(x4＋x5＋x6－x1＋x2＋x3,9T2).2．纸带上提供的数据为奇数段可以先舍去一个较小的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解．例题4. 如图所示为某同学利用电火花打点计时器得到的表示小车运动过程的一条纸带，通过数据处理和分析判断小车的运动性质。纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的频率f=50Hz。纸带上x1=7.71cm、x2=8.12cm、x3=8.53cm、x4=8.94cm、x5=9.35cm、x6=9.76cm。请回答下列问题：(1)电火花打点计时器所用电源为 。A．直流220VB．直流8VC．交流220VD．交流8V(2)通过分析纸带，在表中列出了打点计时器打下B、D、E、F时小车的瞬时速度大小，则打点计时器打下C点时小车的瞬时速度大小为 （结果保留三位有效数字）m/s。(3)通过分析图中纸带的测量数据可以判断出小车做匀变速直线运动，理由是 。(4)小车的加速度a= 。（请充分利用数据并减小误差）【答案】(1)C(2)(3)见解析(4)【解析】（1）电火花打点计时器所用电源为交流220V。故选C。（2）纸带上相邻计数点时间间隔为打点计时器打下C点时小车的瞬时速度大小为（3）由纸带数据，可得即纸带上连续的相邻的相等时间间隔内的位移差相等，所以小车做匀变速直线运动。（4）根据逐差法可得小车的加速度大小为对点训练4. 在研究匀变速直线运动规律的实验中，图示纸带记录的是小车的运动情况，A、B、C、D、E为相邻的计数点，相邻计数点的时间间隔，电源铭牌显示该电源频率为50Hz（计算结果均保留两位有效数字）。(1)打下纸带上D点时小车的瞬时速度大小为 m/s。(2)小车的加速度大小为 。(3)若电源实际频率低于50Hz，计算时仍按照50Hz计算，则加速度大小的测量值比真实值 （选填“偏大”或“偏小”、“不变”）。【答案】(1)0.85(2)2.5(3)偏大【解析】（1）根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则打下纸带上D点时小车的瞬时速度大小为（2）根据逐差法可得小车的加速度大小为（3）若电源实际频率低于50Hz，计算时仍按照50Hz计算，则代入计算的时间偏小，加速度大小的测量值比真实值偏大。一、单选题1．如图所示，一滑块放置在水平桌面的最左端，给滑块一个水平向右的初速度v0，经过3s，滑块运动到桌面的最右端并从最右端飞出。已知滑块的加速度大小为1m/s2，则滑块的初速度大小v0和桌面的长度L可能是（　　）A．v0=2.5m/s，L=3mB．v0=3.5m/s，L=6mC．v0=4.5m/s，L=8 mD．v0=5m/s，L=10m【答案】B【解析】A．设滑块的末速度大小为v1，根据匀变速直线运动规律得故A错误；B．若v0=3.5m/s，则可得v1=0.5m/s故B正确；C．若v0=4.5m/s，则可得v1=1.5m/s故C错误；D．若v0=5m/s，则可得v1=2m/s故D错误。故选B。2．汽车由静止开始从A点沿直线ABC做匀加速直线运动，汽车从A点运动到C点用时2s，前一半时间汽车的平均速度大小为1m/s，后一半时间的平均速度大小为3m/s，B点为AC的位置中点，汽车可以视为质点，下列说法正确的是（    ）A．汽车的加速度为1m/sB．AC两点的距离为8mC．汽车在C点的速度为6m/sD．汽车在B点的速度为【答案】D【解析】A．根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，可知时汽车的速度为时汽车的速度为则汽车的加速度为故A错误；B．AC两点的距离为故B错误；C．汽车在C点的速度为故C错误；D．根据可得汽车在B点的速度为故D正确。故选D。3．商场自动感应门如图所示，人走进时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为（　　）A．B．C．D．【答案】C【解析】设门的最大速度为，根据匀变速直线运动的规律可知加速过程和减速过程的平均速度均为，且时间相等，均为2s，根据可得则加速度故选C。4．两辆汽车A、B在相邻车道以不同的速度匀速行驶，前方十字路口红灯，两车刹车过程中并排行驶时，如图甲所示，车头到前方停车线的距离均为20m，最终两车头均恰好到达停车线前。以两车并排行驶时车头所在处为位移0点并开始计时，以汽车运动方向为正方向建立 x轴，汽车A整个过程的x-t图像如图乙所示，是开口向下的抛物线的一部分，汽车B整个过程的y-t图像为如图丙所示的直线，下列说法正确的是（　　）A．两汽车同时到达停车线前B．汽车A的初速度大小为6m/sC．汽车B的加速度大小为1m/s2D．两车头沿运动方向的最大距离为【答案】D【解析】A．B车做的是匀减速运动，则解得t=8s，而A车到达停止线只花了5s，故A错误；B．因为汽车A的x-t图像如图乙所示，是开口向下的抛物线的一部分，则汽车A做匀减速直线运动，则汽车A的初速度大小和加速度为，故B错误；C．汽车B 的加速度大小为故C错误；D．两车速度相等时，两车头沿运动方向的距离最大，则8-1.6t=5-0.625t解得两车头沿运动方向的最大距离为故D正确。故选D。5．一辆小车在水平地面上做匀减速直线运动，第内的位移大小是，第内的位移大小是，下列说法正确的是（　　）A．小车在末到末质点的平均速度大小为B．小车的总位移大小为C．小车的加速度大小为D．小车的初速度大小为【答案】B【解析】A．2s末至4s末这两秒内平均速度是故A错误；C．质点的加速度的大小故C错误；D．第3s末瞬时速度等于第3s和第4s这两秒内的平均速度，即，根据速度时间关系可得解得初速度故D错误；B．小车的总位移大小代入数据可得故B正确。故选B。6．如图所示，物体自O点由静止出发开始做匀加速直线运动，途经A、B、C三点，其中A、B之间的距离，B、C之间的距离。若物体通过、这两段位移的时间相等，则根据已知的条件，可以求出下列哪个物理量（　　）A．通过的时间间隔B．物体运动的加速度C．物体经过B点的瞬时速度D．O、C之间的距离【答案】D【解析】D．由于经过与的时间相等，设时间为T，且物体做匀变速直线运动，所以有由于B是A、C之间的中间时刻，所以有设OA之间的距离为L，有解得所以O、C之间的距离为故D项正确；ABC．由之前的分析可知，通过题中数据，其通过的时间、物体运动的加速度以及物体通过B点的速度无法求解，故ABC错误。故选D。7．两木块甲、乙自左向右做直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知两木块（　　）A．甲木块做匀速直线运动，乙物块做匀加速直线运动B．甲木块做变加速直线运动，乙木块做匀速直线运动C．至时间内，甲、乙物块的平均速度相等D．整个运动的过程，甲木块始终在乙木块的前面【答案】C【解析】AB．甲木块在相等时间内的位移之差是一恒量，知甲木块做匀加速运动，乙木块在相等时间内的位移大小相等，做匀速直线运动，故AB错误；C．至时间内，甲乙两个木块的位移相等，时间相等，根据可知平均速度相等，故C正确；D．由图可知，至时间内乙木块在甲木块前面，故D错误．故选C。8．一辆汽车行驶在平直的公路上，从时开始制动，汽车在第1s、第2s、第3s内前进的距离如图所示。某同学根据题目所提供的信息，猜想汽车制动后做匀减速直线运动。如果他的猜想是正确的，那么他可进一步推断（　　）A．汽车的加速度大小是18m/s2B．汽车刚制动时第1s末的速度为8m/sC．汽车由开始制动到静止，运动的距离为21mD．汽车在第1s末、第2s末、第3s末的速度之比为【答案】B【解析】A．根据可知故A错误；B．根据平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可知汽车在第1s末速度故B正确；C．汽车开始制动的初速度为根据速度位移关系汽车由开始制动到静止，运动的距离为故C错误；D．汽车在第1s末、第2s末、第3s末的速度之比为故D错误。故选B。二、多选题9．如图所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5…所示小球运动过程中每次曝光的位置，连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。根据图中的信息，下列判断正确的是（　　）A．位置“1”是小球释放的初始位置B．小球是做匀加速直线运动C．小球下落的加速度为D．小球在位置“3”的速度为【答案】BCD【解析】A．如图可知从位置“1”开始相邻两曝光位置之间的距离分别为，，，，若小球从位置“1”开始释放，根据自由落体运动的比例关系，则应该有但实际并不满足此比例关系，所以位置“1”不是小球释放的初始位置，A错误；B．连续相等时间内的位移差满足，可知小球是做匀加速直线运动，B正确；C．根据可求出C正确；D．根据匀加速直线运动中间时刻瞬时速度等于该过程平均速度可得小球在位置“3”的速度为D正确。故选BCD。10．如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，汽车在第1s、第2s、第3s内前进的距离分别是5.4m、7.2m、9.0m。下列说法正确的是（　　）A．汽车在这3s内的位移就是路程B．汽车在这3s内的平均速度是C．汽车在1.5s末的瞬时速度是D．汽车在3s末的瞬时速度是【答案】CD【解析】A．汽车在这内位移的大小等于路程，但位移有方向是矢量，路程是标量，故A错误；BC．汽车在这内的平均速度为汽车在末的瞬时速度等于前的平均速度，则汽车在1.5s末的瞬时速度是，故B错误，C正确；D．根据可得加速度大小为则汽车在3s末的瞬时速度为故D正确。故选CD。11．A、B两辆摩托车沿同一直线运动的图像如图所示，之后，B车图线与时间轴平行。已知时A、B两摩托车恰好并排经过同一路标，则下列说法正确的是（　　）A．A车在0～10s内的平均速度大小为B．B车在0～5s内做加速度不断减小的加速运动C．时，A、B两车恰好相遇D．时，A、B两车恰好相遇【答案】AB【解析】A．A车0~10s内做匀变速直线运动，则平均速度大小为故A选项正确；B．图像的斜率表示加速度，B车在0~5s内图像的斜率逐渐变小，即B车在0~5s内做加速度不断减小的加速运动，故B正确；CD．图像与t轴围成的面积表示位移，在t=0时刻两车在同一位置，根据图像可知A、B两车相遇的时间在10s后的某个时刻，故CD错误故选AB。12．物体做匀变速直线运动，在第1s，第2s，第3s，第4s内的位移分别是1m，2m，3m，4m。以下对汽车运动的描述中正确的是（　　）A．第4s内的平均速度是1m/sB．加速度是C．第2s末的速度是2.5m/sD．第1s初的速度是1m/s【答案】BC【解析】A．第4s内的平均速度为故A错误；BCD．根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则第2s末的速度为第1s末的速度为则加速度为第1s初的速度为故BC正确，D错误。故选BC。位置BCDEF速度/（）0.7920.8740.9150.956