14.瞬时突变问题和等时圆-2026年新高一物理暑假衔接讲义（内含学生版和教师版）

这是一份14.瞬时突变问题和等时圆-2026年新高一物理暑假衔接讲义（内含学生版和教师版），共19页。学案主要包含了教法备注，思考与讨论等内容，欢迎下载使用。
【教法备注】
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1 . 某同学把一体重秤放在电梯的地板上，他站在体重秤上随电梯运动，并在下表中记录了几个特定时刻体重秤的示数（表内时刻不存在先后顺序），若已知t0时刻电梯处于静止状态，则（ ）
A.t1时刻该同学所受重力发生变化
B.t2时刻电梯可能向上做减速运动
C.t1和t2时刻电梯运动的方向一定相反
D.t3时刻电梯一定处于静止状态
【教法备注】
中
【答案】 B
【解析】 【详解】超重和失重时，物体的重力和质量是不变的，只是对其他接触的物体的压力或者支持力发生了变化，故A错误；t2时刻该同学处于失重状态，电梯的加速度方向向下，电梯可能向上做减速运动，也可能向下做加速运动，B正确；t1时刻该同学处于超重状态，根据牛顿第二定律分析得知，电梯的加速度方向向上，所以t1和t2时刻电梯的加速度方向相反，但是速度方向不一定相反，C错误；t3时刻电梯受力平衡，可能保持静止，也可能做匀速直线运动，故D错误。
2 .如图，质量为15kg的物体放在水平地面上，在恒力 F=60N作用下从静止开始水平向右运动，加速度为2m/s2，取重力加速度为10m/s2，求：（1）2s末物体速度大小？（2）2s内物体位移大小？（3）物体与水平面间的动摩擦因数。
【教法备注】
易
【答案】 （1）4m/s；（2）4m；（3）0.2
【解析】 【详解】（1）根据速度与时间的关系可知
v=at=2×2m/s=4m/s
（2）根据位移时间的关系可知
x=12at2=12×2×22m=4m
（3）根据牛顿第二定律有
F−μmg=ma
代入数据解得
μ=0.2
抛砖引玉
如图，在竖直圆周上的四个位置分别有四只小蚂蚁，同时发现了 a 处有粒大米，同时沿着直线向 a 处出发，忽略空气阻力和摩擦力的情况下，哪只先获得食物呢？
考情分析
目标解读
课程目标
1.通过对比分析弹簧与绳的特征，理解掌握瞬时突变问题 2.掌握等时圆模型的推导过程，熟练记忆等时圆模型的特征
课堂重难点
1. 能够解决弹簧和绳子突变问题，求解瞬时加速度（重点） 2.能够利用等时圆模型解决相关问题（难点）
一、瞬时突变问题
【引入】 认真观看以上视频，对比分析在松手瞬间弹簧和轻绳有什么不同点？
【教法备注】
轻绳、轻杆、接触面间的弹力—属于微小形变产生的弹力，不发生明显形变就能产生弹力，当状态发生变化时，弹力会突变； 轻弹簧、橡皮绳产生的弹力—属于明显形变产生的弹力，产生的弹力形变很大，形变恢复需要较长时间，所以一般此类弹力在系统状态发生变化的瞬间，可认为是不变的；
1. 瞬时问题： 研究某一时刻物体的受力和运动突变的关系称为力和运动的瞬时问题. “瞬时问题”常常伴随着这样一些标志性词语： “瞬时” 、 “突然” 、 “瞬间” 、 “刚刚” 等. “瞬时突变模型”一般涉及到的情景有：绳子剪断瞬间、剪断弹簧、橡皮绳瞬间、抽出木板瞬时等. 2.两类模型： （1） 加速度 和 合外力 具有瞬时对应关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失，但是物体运动的速度是 不能 发生突变的； （2）以下 描述的情景是物体连接着绳子或弹簧，而物体受到的其他外力发生改变瞬间，对应的此时绳子或弹簧 弹力 是否变化； 3.解题思路：
【教法备注】

经典例题
3 .如图（甲）、（乙）所示，图中细线均不可伸长，两小球均处于平衡状态且质量相同．如果突然把两水平细线剪断，剪断瞬间小球A的加速度的大小为 ，方向为 ；小球B的加速度的大小为 ，方向为 ；（θ=37°, g=10m/s2，sin⁡37°=0.6，cs⁡37°=0.8）
【教法备注】
易 单物体瞬时突变模型
【答案】 6m/s2垂直倾斜细线OA向下7.5m/s2水平向右
【解析】 甲：绳子剪断后，重力的切向分力为合外力，所以a=6m/s2，方向垂直倾斜细线OA向下；
乙：绳子剪断后，弹簧的弹力和重力的矢量和为合外力，所以a=7.5m/s2，方向水平向右．
4 .如图甲，乙所示，物块A1、A2、B1、B2的质量均为 m，A1、A2用刚性轻杆连接，B1、B2用轻质弹簧连接，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态。今突然撤去支托物，让物块下落，在撤去支托物的瞬间，A1、A2受到的合力分别为FA1、FA2，B1、B2受到的合力分别为FB1、FB2，不计空气阻力。则（ ）
A.FA1=0，FA2=2mg，FB1=0， FB2=2mg
B.FA1=mg，FA2=mg，FB1=0， FB2=2mg
C.FA1=mg，FA2=2mg，FB1=mg， FB2=mg
D.FA1=mg，FA2=mg，FB1=mg， FB2=mg
【教法备注】
中 多物体瞬时突变问题
【答案】 B
【解析】 【详解】A1、A2由于用刚性轻杆连接，与刚性轻杆一起下落，根据牛顿第二定律，对整体研究得到，整体的加速度等于重力加速度 g，则A1、A2受到的合力都等于各自的重力，即
FA1=mg、 FA2=mg
对B1和B2在除去支托物前，弹簧的弹力大小等于 mg，支托物对B2的支持力大小等于2 mg，在除去支托物的瞬间，弹簧的弹力没有来得及变化，B1的受力情况没有变化，则B1所受合力为零，即
FB1=0
B2所受的合力大小等于2 mg，即
FB2=2mg
故B正确，ACD错误。故选B。
题型总结
突变不突变， 形变 说了算，形变量大的 不突变 ，形变量小的 易突变 ；
巩固练习
5 .如图所示，两个质量均为 m的小球A和B用轻弹簧连接，然后用细绳悬挂起来，保持静止。设重力加速度为 g，下列说法正确的是（ ）
A.剪断细绳的瞬间，B球的加速度是 g
B.剪断细绳的瞬间，A球的加速度是 g
C.剪断轻弹簧的瞬间，轻绳拉力的大小是 mg
D.剪断轻弹簧的瞬间，B球的加速度是2 g
【教法备注】
易
【答案】 C
【解析】 AB．一开始，A、B均处于静止状态，以B为对象，可知弹簧弹力为
F弹=mg
剪断细绳的瞬间，弹簧弹力保持不变，B球仍受力平衡，B球的加速度为0；A球的加速度大小为
aA=mg+F弹m=2g
故AB错误；
CD．剪断轻弹簧的瞬间，A球处于静止状态，根据受力平衡可知，轻绳对A球的拉力大小为
T′=mg
B球的加速度大小为
aB=mgm=g
故C正确，D错误．故选C．
6 .如图所示，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成θ=45∘角的不可伸长的轻绳一端相连，小球质量为m=1kg，它与水平面的动摩擦因数μ=0.2，此时小球处于静止状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，取g=10m/s2，则：（ ）
A.轻弹簧的弹力大小为 102N
B.小球对地面压力为0
C.小球的加速度大小为 8m/s2
D.小球的加速度方向向右
【教法备注】
中
【答案】 C
【解析】 【详解】A．当剪断轻绳的瞬间，轻弹簧的弹力大小不变，为
F=mgtan⁡45∘=10N
选项A错误；B．当剪断轻绳的瞬间，小球对地面压力为
FN=mg=10N
选项B错误；C．小球的加速度大小为
a=F−μFNm=10−0.2×101m/s2=8m/s2
选项C正确；D．小球的加速度方向向左，选项D错误．故选C．
7 .如图，一轻质弹簧一端固定在天花板的A点，另一端与可视作质点的滑块连接，另有一根水平轻绳也与滑块相连，另一端固定在竖直墙壁的B点，滑块处于静止状态，与固定斜面刚好接触且无弹力．已知斜面倾角为θ=30°，轻弹簧此时偏离竖直方向的角度也为θ，斜面表面光滑，取sin⁡30°=12，cs⁡30°=32，则下列说法正确的是（ ）

A.剪断轻绳瞬间，滑块加速度大小为 33g
B.剪断轻绳瞬间，滑块加速度大小为 g2
C.剪断轻弹簧瞬间，滑块加速度大小为 233g
D.剪断轻弹簧瞬间，滑块加速度大小为 g
【教法备注】
易 瞬时突变模型
【答案】 B
【解析】 滑块处于静止状态，与固定斜面刚好接触且无弹力，根据受力分析可知，此时弹簧弹力
F=mgcsθ=23mg
剪断轻弹簧瞬间，绳中弹力突变为零，滑块加速度
a=mgsin⁡θm=12g
剪断轻绳瞬间，弹力瞬间不变，滑块加速度
a′=Fcs⁡θ−mgsin⁡θm=12g
故选B．
8 .如图所示，四只猴子水中捞月，它们将一颗又直又高的杨树压弯，竖直倒挂在树梢上，从下到上依次为1、2、3、4号猴子。正当1号打算伸手捞“月亮”时，2号突然两手一滑没抓稳，1号扑通一声掉进了水里。假设2号手滑前四只猴子都处于静止状态，四只猴子的质量都相等且为 m，重力加速度为 g，那么在2号猴子手滑后的一瞬间（ ）
A.1号猴子的加速度和速度都等于 0
B.3号猴子对2号猴子的作用力大小为 4mg3
C.2号猴子对3号猴子的作用力不变
D.杆对4号猴子的作用力大小为 3mg
【教法备注】
中
【答案】 B
【解析】 【详解】A．对1号猴子进行分析可得滑手后的一瞬间只受到重力，所以可得加速度大小为 g，初速度为零，故A错误；BC．在手滑前，设树梢对猴子的作用力为 T，对整体有
T−4mg=0
当2号猴子手滑后的一瞬间，对2、3、4号猴子整体分析可得
T−3mg=3ma′
联立解得
a′=13g
方向竖直向上，对2号猴子分析可得
F23−mg=ma′
解得2号猴子与3号猴子之间的作用力大小为
F23=43mg
根据牛顿第三定律可知3号猴子对2号猴子的作用力大小为43mg，故B正确；C．手滑前3号猴子对2号猴子的作用力大小为2mg,由牛顿第三定律可知2号猴子对3号猴子的作用力为2mg，则手滑后2号猴子对3号猴子的作用力变小，故C错误；D．杆对4号猴子的作用力保持不变，所以作用力大小仍为4 mg，故D错误。故选B。
9 .如图所示，吊篮 A、物体 B、物体 C的质量均为 m， B和 C分别固定在竖直弹簧两端，弹簧的质量不计。整个系统在轻绳悬挂下处于静止状态。现将悬挂吊篮的轻绳剪断，在轻绳刚断的瞬间（ ）
A.物体 B的加速度大小为 g
B.物体 C的加速度大小为2 g
C.吊篮 A的加速度大小为3 g
D. A、 C间的弹力大小为0.5 mg
【教法备注】
易 瞬时突变问题 接触、弹簧、轻绳
【答案】 D
【解析】 A．在轻绳刚断的瞬间，弹簧的弹力不能突变，则物体 B受力情况不变，故物体 B的加速度大小为零，选项A为错误选项；BC．将 C和 A看成一个整体，根据牛顿第二定律得
aAC=F+2mg2m=mg+2mg2m=1.5g
（ F为弹簧弹力 F= mg）即 A、C的加速度均为1.5 g，故BC为错误选项；D．剪断细线的瞬间， A受到重力和 C对 A的作用力，对 A
FC+ mg=ma
得
FC= ma–mg=0.5 mg
故D为正确选项。故答案为D。
10 .(多选)如图，A、B两球质量相等，光滑斜面的倾角为 θ，图甲中A、B两球用轻弹簧相连，图乙中A、B两球用轻杆相连，系统静止时，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，在突然撤去挡板的瞬间（ ）
A.图乙中A、B球间杆的作用力为零
B.图乙中A球的加速度为 gsin θ
C.图甲中B球的加速度为2 gsin θ
D.图甲中B球的加速度为 gsin θ
【教法备注】
中 瞬时突变 整体隔离法
【答案】 ABC
【解析】 【详解】撤去挡板前，对整体分析，挡板对B球的弹力大小为2 mgsin θ，因弹簧弹力不能突变，而杆的弹力会突变，所以撤去挡板瞬间，图甲中A球所受合力为零，加速度为零，B球所受合力为2 mgsin θ，加速度为2 gsin θ；图乙中杆的弹力突变为零，即图乙中A、B球间杆的作用力为零，A、B球所受合力均为 mgsin θ，加速度均为 gsin θ。故选ABC。
学生总结

二、等时圆模型
【思考与讨论】 先看左图，在竖直面内的圆环上，从圆环最高点向下伸出两个倾角不同的光滑斜轨道，现在两轨道上从最高点同时由静止释放两个完全相同的小球使其自由滑下，则其滑至轨道最低点所用时间是否相等？ （1）观察右图判断下滑时间的长短？ （2）能否推导验证上述结果？
【教法备注】
证明：取其中一个轨道做辅助线，以轨道最低点连接圆环最低点和做直径的垂线，如下图所示设圆环的半径为 R ，物块的质量为 m 轨道与水平面之间的夹角为α ，再由几何关系，直径所对的圆周角为直角，找出其他α 角 根据受力分析及牛顿第二定律可知，物块下滑的加速度大小为a=gsin⁡α 有几何关系可知，物块下滑的位移为 x=2Rsin⁡α 根据运动学公式，物体做初速度为零的匀加速直线运动，则t=2xa=2×2Rsin⁡αgsin⁡α=2Rg 由此表达式可知，物体下滑的时间只与圆环的半径唯一相关，与物体质量及轨道倾角无关
1.等时圆模型 模型特点： 物体从静止开始，沿着以竖直平面圆的竖直直径为公共斜边的光滑轨道下滑至最低点所用的时间都相同 ，且都等于自由下落高度为 直径长度时的时间. 2.等时轨道条件： a. v0=0 b. 斜面轨道光滑（无摩擦） c. 以公共竖直直径为斜边3.等时轨道结论： 运动时间与斜面的长短和倾角无关 .
经典例题
11 .如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆上，C是圆上任意一点，A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点．B点在y轴上且∠BMO=60∘，O′为圆心．现将a、b、c三个小球分别从A、B、C三点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，若所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC的大小关系是（ ）
A. tA