初中25.2.1 配方法第1课时教案

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第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
教师备课 素材示例
●归纳导入 如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值．
【分析】这个正方形的边长是x m．由题意列方程，得x2－7＝9.
【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？
解：由题意，得x2－7＝9.x2＝16.
根据平方根的意义，得x＝± eq \r(16)＝±4，
∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4.
∵边长不能为负数，∴x＝4.
∴x的值是4.
【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解．
●复习导入 (1)如果x2＝a，那么x叫作a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫作开平方．非负数a的平方根为__± eq \r(a)__，非负数a的算术平方根为__ eq \r(a)__．
(2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3 eq \r(2)__；若x2＝5，则x＝__± eq \r(5)__.
【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法．
命题角度 用直接开平方法解一元二次方程
形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝± eq \r(p)；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝± eq \r(p).
【例1】解下列方程：
(1)(x－2)2－13＝108；
解：移项、合并同类项，得(x－2)2＝121.
由此可得x－2＝±11.
x－2＝11，或x－2＝－11.
即x1＝13，x2＝－9.
(2)x2＋10x＋25＝2.
解：(x＋5)2＝2，
由此可得x＋5＝± eq \r(2)，
x＋5＝ eq \r(2)，或x＋5＝－ eq \r(2).
即x1＝ eq \r(2)－5，x2＝－ eq \r(2)－5.
【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D)
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
【例3】若4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__．
高效课堂 教学设计
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．
2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．
3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
▲重点
运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
▲难点
通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．
◆活动1 新课导入
求下列各数的平方根：
(1)144； (2) eq \f(36,49).
解：± eq \r(144)＝±12. 解：± eq \r(\f(36,49))＝± eq \f(6,7).
◆活动2 探究新知
教材P5 第1个探究．
提出问题：
(1)(__± eq \r(5)__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？
(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；
(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？
(4)上述所解方程有什么共同点？
学生完成并交流展示．
◆活动3 知识归纳
1．一般地，对于方程x2＝p，
(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－ eq \r(p)，x2＝ eq \r(p)__；
(2)当p＝0时，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；
(3)当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程__无__实数根．
提出问题：
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为两个__一元一次__方程．
◆活动4 例题与练习
例1 解下列方程：
(1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0.
解：(1)x1＝6，x2＝－6.
(2)y1＝5 eq \r(2)，y2＝－5 eq \r(2).
(3)p1＝ eq \f(\r(5),4)，p2＝－ eq \f(\r(5),4).
例2 解下列方程：
(1)2(2x－1)2－10＝0；
(2)y2－4y＋4＝8；
(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
解：(1)由2(2x－1)2－10＝0，得(2x－1)2＝5.
由此可得2x－1＝± eq \r(5)，2x－1＝ eq \r(5)，或2x－1＝－ eq \r(5)，
即x1＝ eq \f(1＋\r(5),2)，x2＝ eq \f(1－\r(5),2).
(2)原方程可化为(y－2)2＝8.
由此可得y－2＝±2 eq \r(2)，y－2＝2 eq \r(2)，或y－2＝－2 eq \r(2)，
即y1＝2＋2 eq \r(2)，y2＝2－2 eq \r(2).
(3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2.
由此可得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，
2(3x－1)＝3(3x＋1)，或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
即x1＝－ eq \f(5,3)，x2＝－ eq \f(1,15).
例3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．
解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2.
∴原方程为(x－3)2＝9，
解得x1＝6，x2＝0.
∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6 练习．
2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( C )
A．2 B．－2 C．±2 D．不能确定
3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为( A )
A．8 B．8或－2 C．－2 D．28
4．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__± eq \f(1,2)__．
◆活动5 课堂小结
1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝± eq \r(p)，再解两个一次方程即可求得解．
2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．
1．作业布置
(1)教材P17 习题25.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思