初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 多边形的内角和外角和教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）3 多边形的内角和外角和教学设计，共19页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.掌握三角形的中位线的概念和定理，能用其配合辅助线解决问题，进行简单的计算和证明；
2.通过探究三角形的中位线和添加辅助线解决相关问题，发展探索能力、创新能力以及解决问题的能力；
3.经历实践、观察、猜想、证明的探索过程，体会转化的数学思想；
4.在探索的过程中感受事物相互转化的辩证观，体会数学的乐趣.

二、教学重难点
重点：三角形的中位线定理的探索和证明.
难点：通过辅助线，用三角形的中位线进行相关计算和证明.

三、教学过程
情景导入
教师活动：教师描述情境，并提出问题引发学生思考，情境中问题的本质是，应该如何分割三角形，才能得到全等的四个三角形?从而引出本节课要讲解的内容.
小明请了三个同学来家里做客，妈妈端出一块底面为三角形的三明治．小明想要把三明治切成形状和大小完全相同的四块，他应该怎样切？
设计意图：通过情境引入，激发学生的探索兴趣和求知欲望.
探究新知
活动一：三角形的中位线
拿出事先准备好的三角形纸片和剪刀，你能将这个任意的三角形分成四个全等的三角形吗？
小组合作：
1.动手操作，完成探究；2.两人一组，交流思路，完善过程.
思考·交流：小明的做法是：如图，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等三角形.
设计意图：通过对“三明治”转化为三角形，进一步培养学生从实物中抽象出几何图形的能力.
追问：怎么验证是否全等呢？
预设答案：将剪下来的四个小三角形重叠起来，看是否能够完全重合.
设计意图：裁剪活动充分发挥学生的主观能动性，并复习全等三角形的概念.
思考·交流：如图，将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与△ABC面积相等的▱DBCF.
追问：还有其他方法吗？
预设答案：
设计意图：用剪好的纸片直观完成探究，培养动手操作的能力，体会数学与实际生活的联系.
思考多种解决方案，培养发散思维.
思考·交流：从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系吗？与同伴进行交流.
预设答案：以上图为例进行说明：借助▱BDFC，可以发现DF=BC，
且DF∥BC.结合图形可得：2DE=BC，DE∥BC.
引入概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
猜想：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
设计意图：通过猜想培养学生的观察能力和归纳总结的能力.
追问：你能证明你的猜想吗？
已知：如图，DE 是 △ABC 的中位线.
求证：DE∥BC，DE =12BC .
分析：为证明一条线段等于另一条线段的一半，可否把问题先转化为证明与之有关的某两条线段相等？怎样获得与目标线段相等的线段？前面小明的做法对你有哪些启发？
延长DE至F，使DE=EF，连接CF，可通过证明△ADE≌△CFE，进而得到四边形DBCF是平行四边形，结合平行四边形对边平行且相等的性质即可得到最终的结论．
证明：如图，延长 DE 到 F，使 FE = DE，连接 CF.
在△ADE 和△CFE 中，
∵ AE = CE，∠1 =∠2，DE = FE，
∴ △ADE ≌ △CFE.
∴ ∠A =∠ECF，AD = CF.∴ CF∥AB.
∵ BD = AD，∴ CF = BD.
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ DF∥BC， DF = BC.
∴ DE∥BC，DE =12BC.
总结：三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
延伸：三角形中位线定理还可以用来证明我们分割的四个三角形全等.
设计意图：通过归纳让学生熟悉三角形的中位线定理.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【经典例题】
例1：已知：Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，D，E，F 分别是边 BC，CA，AB 的中点，则：
(1) DE= ，DF= ，
(2) EF= .
解：(1)根据三角形的中位线定理直接可以得出：DE=12AB=4，DF=12AC= 3；
(2)在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²；即BC²=36+64=100.
所以BC=10.
所以EF=12BC= 5.
教师进引导学生根据中位线得出结论后，追问：
求EF有几种方法？
预设答案：三种，还可以直接在Rt△DEF、Rt△AEF中运用勾股定理，求出EF= 5.
【教材例题】
例2：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB=90°，AC=6，OE=1.求AD和BD的长度.
解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，OD=OB(平行四边形的对角线互相平分).
∵E是AB的中点，∴OE是△ADB的中位线(三角形的中位线的定义).
∴AD=2OE=2(三角形的中位线定理).
∵AC=6，OA=OC，∴OA=12AC=12×6=3.
在Rt△ADO中，由勾股定理可得：OD=OA2−AD2=32−22=5.
∴BD=2OD=25.
设计意图：通过解决问题，进一步理解掌握三角形中位线定理，培养逻辑思维能力.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
已知三角形的各边长分别为 8 cm，10 cm 和 12 cm，求以各边中点为顶点的三角形的周长.
解：由三角形的中位线定理可知，三边中点的连线分别长4 cm，5 cm 和 6 cm，
∴周长为4+5+6=15 cm.
2.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后步测出AC，BC的中点M，N，并步测出MN的长，由此他就知道了A，B间的距离.请解释其中的道理.
解：∵M，N分别为AC，BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线.
∴MN=12AB，即AB=2MN(三角形的中位线定理).
∴只要步测出MN的长，就可以知道A，B间的距离.
【自选练习】
3.如图，△ABC 的中线 BE，CF 相交于点 G，用图中添加辅助线的方法（延长 BE 到 D，使 GD = BG，连接 AD）证明：BG = 2GE，CG = 2GF.
证明：由题意知点 E，F，G分别为AC，AB，BD的中点，
∴BG=GD，FG 是△ABD 的中位线，
∴AD=2FG，AD∥FG，
∴ ∠ADE=∠CGE，∠DAE=∠GCE.
又∵ AE = CE，∴ △ADE ≌ △CGE，
GE=ED=12GD，AD=CG，
∴BG = 2GE，CG = 2GF.
总结：当题目中涉及到线段中点时，可以尝试用辅助线构造三角形中位线，利用三角形中位线定理解题.
设计意图：在分析和推理的过程巩固新知，培养观察能力，总结中位线定理的使用诀窍．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.