湖北省襄阳市第五中学2026届高三下学期第一次适应性考试 数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．已知全集是复数， 是有理数， 是无理数， 是实数， 是虚数，那么为（ ）
A．B．C．D．
2．下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数，那么是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果，那么是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
3．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
4．已知平面向量，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．已知椭圆：（）左、右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点，为椭圆的左焦点，则以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为（ ）
A．相交B．内切C．内含D．外切
6．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[lg2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（ ）
A．4097B．4107C．5119D．5129
7．五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（ ）
A．360B．640C．1350D．1440
8．设点在正四面体的棱上，与平面所成角为，则（ ）
A．4B．10C．14D．20
二、多选题
9．已知点，圆，则（ ）
A．圆与圆公共弦所在直线的方程为
B．直线与圆总有两个交点
C．圆上任意一点都有
D．是的等差中项，直线与圆交于两点，当最小时，的方程为
10．下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A．B．C．D．
11．已知函数，的定义域为，若函数是奇函数，函数是偶函数，，且.则下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于直线对称
B．函数为偶函数
C．4是函数的一个周期
D．
三、填空题
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C等于_________.
13．已知点关于轴的对称点在曲线上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的横坐标___________.
14．有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________．
四、解答题
15．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
16．已知数列和满足.若为等比数列，且，.
(1)求与；
(2)设.记数列的前项和为，求.
17．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评级．
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述．
(Ⅰ)写出的可能值集合；
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．
18．在R上定义运算（b、c为实常数）．记，，．令．
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；
（Ⅱ）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记的最大值为，若对任意的b、c恒成立，试求的最大值．
19．如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，.
(1)求证：平面；
(2)点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上.
（i）用表示PQ的长；
（ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求.
参考答案
1．B
【详解】，，
．
故选：B
2．B
【详解】对于A中，若，那么，所以A错误；
对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；
对于C中，若且时，复数，所以C不正确；
对于D中，由虚数单位，可得D错误.
故选：B.
3．C
【详解】根据所给的两个图，可以看出1月份气温不是最高，8月份气温最高，它们的用电量都是最多，所以选项A错误；1月份气温最低，但是其用电量不是最少，所以选项B错误；从5月份开始，气温上升时，用电量随气温升高而增加，所以选项C正确；不存在当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加，所以选项D错误.
故选：C．
4．B
【详解】因为，，若，则，解得或，
所以由推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
5．B
【详解】设的中点为，椭圆的右焦点为，连接、，
所以，又，
因此，
又以为直径的圆的半径，圆心为，
以为直径的圆的半径，圆心为，
即，所以以为直径的圆与以为直径的圆的位置关系为内切.
故选：B
6．B
【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，
，，
，
设，则，
相减得：，
所以，
所以．
故选：B．
7．C
【详解】解析：将2名金牌导游分配到3个景区，有种分配方法，
若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为或.
当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种；
当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种分配方法.
所以不同分配方法有种.
故选:C.
8．B
【详解】取的中点的中点，连接，过作于，
因为四面体为正四面体，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角，
所以，则，
设正四面体的棱长为2，则,
所以，
所以为锐角，所以，
所以
，
在中，，则
，
在中，，则
所以，解得，
所以,
所以
.
故选：B
9．BCD
【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：；错误
对于B：过定点，而在圆的内部，所以直线与圆总有两个交点，正确；
对于C:设，由可得：化简可得： ，所以满足条件的轨迹就是圆，正确；
对于D：因为是的等差中项，所以（不同时为0）
所以可化为，即
可令，
解得，则直线过定点，
设的圆心为，
当与直线垂直时，最小，此时，
即，得，结合
所以，解得
直线的方程为.正确
故选：BCD
10．BC
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
11．BCD
【详解】因为是偶函数，所以，
所以函数图象关于直线对称，
因为是奇函数，所以，
即，代入，得，
所以.由，得，
所以，所以函数为偶函数.故选项B正确；
因为，所以，由，
得，所以，得，
所以，所以4是函数的周期.故选项C正确；
由，得，所以，所以，
由，得，，所以，，
因为，所以，故选项A错误；
由，得即，
所以，故选项D正确.
故选:BCD
12．.
【详解】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA，
所以b2＋c2－2bccsA＝3b2＋3c2－2bcsinA，sinA－csA＝，
所以2sin(A－)＝，当且仅当取等号
因此b＝c，A－＝⇒A＝，所以C＝＝.
故答案为：
13．/0.25
【详解】因为曲线的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性知，点在抛物线上，且在轴的下方，点为此抛物线的焦点.
由抛物线的定义可知，则，
解得或（舍去），所以点的横坐标为.
故答案为：
14．
【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内；
从中取出数为，则也在这个集合内.
设，
则，
所以，，，
所以，，，.
又表示，共有种可能；
表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能，
且所有的取法种数为，
所以，，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)或．
【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．
16．(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，，，
知，，
又有，得公比或（舍去），
所以数列的通项公式为，
所以，
故数列的通项公式为，；
（2）由（1）知，，
所以，
17．(Ⅰ)｛0，2，4，6，8｝ (Ⅱ)见解析(Ⅲ) (i)1/216(ii)见解析
【详解】解: ( 1 ) X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
:在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个,
所以a2 , a4中的奇数个数等于a1 , a3中的偶数个数,
与的奇偶性相同，
所以必为偶数,
X的值非赖,且易知其值不大于8，
.:.X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}
( 2 )可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，
计算每种排列下的x的值，
在等可能的假定下，
得到
(3)①首先
将三轮测试都有X≤2的概率记做P ,有上述结果和独立性假设得
②由于是一个很小的概率,
这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，
:我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能,不是靠随机猜测.
18．（Ⅰ），
（Ⅱ），或，
（Ⅲ）
【详解】由R上运算的定义及函数的表达式，
可得∴．
（Ⅰ）∵函数在处有极值，∴，
得，
从而解得，或，
但当，时，
，恒成立，
从而当，时，单调递减，故不是极值点而是拐点．
所以，要舍去．
当，时，则．当变化时，、的变化情况如下表：
∴当x=1时，在有极大值．因此，．
（Ⅱ）设x0是曲线上的斜率为c的切线与曲线的切点，则
，得x0=0或x0=2b，当x0=0时；
当x0=2b时，故切线的方程为
或，联立
得或
联立得，，
解得或
综上所述，曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点为，
或，．
（Ⅲ）记，（），
（），
的对称轴为
（1）当时，，对称轴：x=b在区间外面，从而在
上的最大值在区间端点处取得．
记g（1），g（-1）中的最大者为，则，
所以，而，故当
时M＞2．
（2）当时，，区间跨越对称轴：x=b，
从而此时，
因为，所以，
．
①当时，，所以，因此
②当时，，所以，因此
综上所述，对，都有成立．
故对任意的b、c恒成立的的最大值为．
19．(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为，，，
又，则.
记为弧的中点，则，
又因为平面平面，且平面，平面平面，
则，又因为，则.
又根据题意知球心为，截面圆圆心为，连接，
则，，则，
又平面，平面，且，
则平面，又平面，则，
所以为平面与的夹角，即，
又，所以，已知，又为中点，
所以，则，即，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面．
（2）（i）连接，延长交于，
由（1）性质可知，
，，如图，
在中，，
由余弦定理得，，
则，在中，，，
则，由于三点共线，
所以在中，由，
又，所以．
（ii）如图，过作，垂足为，连接，
因为平面，平面平面且交线为，
因此平面，所以即为与平面所成角的平面角．
设平面，连接，过作，垂足为.
由平面，则，平面，平面，
则平面，平面，平面平面，
则，同理，由可得，
则四边形是平行四边形，则，且平面，
又平面，则，
则，且，
则，
则，
故，
令，则，
构造函数，
则，
在上单调递增，
并存在唯一零点，
故在上单调递增，在上单调递减．
则当时，有最大值， 由DQ与平面ABC所成角的范围为，
故当与平面所成角最大时，．
1
﹣
﹢
﹣
↘
极小值
↗
极大值
↘